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习题课 定积分及其相关问题 第五章 一 定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 矩形面积 梯形面积 解决步骤 1 大化小 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 常代变 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3 近似和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 定积分的性质 设所列定积分都存在 k为常数 6 若在 a b 上 则 a b 7 设 则 积分中值定理 则至少存在一点 使 积分上限的函数及其导数 则变上限函数 定理2 若 说明 1 定理2证明了连续函数的原函数是存在的 2 其他变限积分求导 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 牛顿 莱布尼茨公式 牛顿 莱布尼茨公式 定理3 函数 则 则有 微积分基本公式 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 莱布尼茨公式 基本积分法 换元积分法 分部积分法 换元必换限配元不换限 一 与定积分概念有关的问题的解法 1 用定积分概念与性质求极限 2 用定积分性质估值 3 与变限积分有关的问题 例1 求 解 因为 时 所以 利用夹逼准则得 解 将数列适当放大和缩小 以简化成积分和形式 已知 利用夹逼准则可知 1998考研 例2 求 二 有关定积分计算和证明的方法 1 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法 2 注意特殊形式定积分的计算 3 利用各种积分技巧计算定积分 4 有关定积分命题的证明方法 思考 下列作法是否正确 例10 选择一个常数c 使 解 令 则 因为被积函数为奇函数 故选择c使 即 可使原式为0 例12 如图 曲线C的方程为 解 是它的一 个拐点 线 其交点为 2 4 设函数f x 具有三阶连续导数 计算定 积分 直线l1与l2分别是曲线C在点 0 0 与 3 2 处的切 2005考研 0 例14 证明恒等式 证 令 则 因此 又 故所证等式成立 例17 设 证 设 且 试证 则 故F x 单调不减 即 成立 作业 P2695 2 3 10 9 12 13 例16 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 且 1 在 a b 内f x 0 2 在 a b 内存在点 使 3 在 a b 内存在与 相异的点 使 2003考研 证 1 由f x 在 a b 上连续 知f a 0 所以f x 在 a b 内单调增 因此 2 设 满
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