河北省邢台市2016届高三上期末数学试卷(理)含答案解析.doc

2015-2016学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若集合A=x|x26x+80，集合B=xN|y=，则AB=（）A3B1，3C1，2D1，2，32若z=12i，则复数|z1|在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若sin=，为第三象限的角，则cos（）等于（）ABCD4某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟的概率为（）ABCD5已知在ABC中，A=60，D为AC上一点，且BD=3， =，则等于（）A1B2C3D46阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A64B73C512D5857一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD8过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作斜率为1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（）AB2CD9若函数y=sinx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且区间，上为增函数，则正整数的值为（）A6B7C8D910（x2x+ay）7的展开式中，x7y2的系数为，则a等于（）A2BC2D11棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3，则a等于（）A2BC2D12设函数f（x）=，若曲线y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0）=y0成立，则实数a的取值范围为（）A0，e2e+1B0，e2+e1C0，e2e1D0，e2+e+1二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13函数g（x）=sinxlog2（+x）为偶函数，则t=14已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是15已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且FBC为正三角形，当ABC的面积是时，则抛物线的方程为16已知a，b，c是ABC的三边，且b22ab2c=0，2a+b2c+1=0，则ABC的最大角的余弦值为三、解答题（本大题共5小题，共70分）（22、23、24题任选一题作答，每题10分）17已知等差数列an的前5项的和为55，且a6+a7=36（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=，且数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn18近日有媒体在全国范围开展“2015年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机访问10个步行的路人，其年龄的茎叶图如下：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取3人，其中50岁以上的路人数为X，求X的数学期望19在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4（1）求证：CE平面PAB；（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，D为短轴上一个端点，且DOF的内切圆的半径为，离心率e是方程2x25x+2=0的一个根（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线lAB交椭圆C于M，N两点，是否存在常数，使得|AB|2=|MN|？若存在，请求出；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=的最大值为1（1）求实数a的值；（2）如果函数m（x），n（x）在公共定义域D上，满足m（x）n（x），那么就称n（x）为m（x）的“线上函数”，若p（x）=，q（x）=（x1），求证：q（x）是p（x）的“线上函数”四、选择作答（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10分）选修4-1：几何证明选讲22如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A（1）若BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=， =，求的值选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标线中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系已知直线与椭圆的极坐标方程分别为l：cos+2sin=0，C：2=（1）求直线与椭圆的直角坐标方程；（2）若P是椭圆C上的一个动点，求P到直线l距离的最大值选修4-5：不等式选讲24不等式|2x1|x+1|2的解集为x|axb（1）求a，b的值；（2）已知xyz，求证：存在实数k使+恒成立，并求出k的最大值2015-2016学年河北省邢台市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1若集合A=x|x26x+80，集合B=xN|y=，则AB=（）A3B1，3C1，2D1，2，3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围，找出正整数解确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x2）（x4）0，解得：2x4，即A=（2，4），由B中y=，xN，得到3x0，xN，解得：x3，xN，即B=0，1，2，3，则AB=3，故选：A2若z=12i，则复数|z1|在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可得出【解答】解：z=12i，则复数|z1|=|12i1|=2=2=+i，在复平面上对应的点在第二象限故选：B3若sin=，为第三象限的角，则cos（）等于（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（）的值【解答】解：sin=，为第三象限的角，cos=，则cos（）=coscossinsin=（）=，故选为：D4某学生在上学路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯时相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是1分钟，则这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】这名学生在上学路上遇到红灯停留的总时间至多是2分钟共包括三种情况，一是没有遇到红灯，二是遇到一次，三是遇到二次，分别求出三种情况的概率，然后代入互斥事件概率加法公式即可得到答案【解答】解：设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是2min为事件A，这名学生在上学路上遇到k次红灯的事件Ak（k=0，1，2）则由题意，得：P（A0）=（）3=，P（B1）=，P（B2）=由于事件A等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，事件B的概率为P（B0）+P（B1）+P（B2）=故选：A5已知在ABC中，A=60，D为AC上一点，且BD=3， =，则等于（）A1B2C3D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】可画出图形，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，并设AD=m，这样根据便可得到，从而得到m=，这样在ABD中由余弦定理便可建立关于c的方程，可解出c=，从而有m=，然后进行数量积的计算便可求出的值【解答】解：如图，设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且设AD=m；A=60，由得：；又BD=3，在ABD中由余弦定理得：；，m=；故选：C6阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）A64B73C512D585【考点】程序框图【分析】结合流程图写出前几次循环的结果，经过每一次循环判断是否满足判断框中的条件，直到满足条件输出S，结束循环，得到所求【解答】解：经过第一次循环得到S=0+13，不满足S50，x=2，执行第二次循环得到S=13+23，不满足S50，x=4，执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73故选B7一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可【解答】解：三视图复原的几何体是三棱锥，底面是底边长为2，高为2的等腰三角形，三棱锥的一条侧棱垂直底面，高为2三棱锥的体积为： =故选D8过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作斜率为1的直线，且l与此双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若=，则此双曲线的离心率为（）AB2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把B，C表示出来，再由向量共线的坐标表示，求出b，c与a的关系，即可求双曲线的离心率【解答】解：设右焦点为F（c，0），过双曲线=1（a0，b0）的右焦点F作斜率为1的直线为：y=x+c，渐近线的方程是：y=x，由得：B（，），由得，C（，），所以=（c，）=（，），=（，）=（，），又 =，即有=，化简可得b=a，由a2+b2=c2得， a2=c2，所以e=故选：A9若函数y=sinx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，且区间，上为增函数，则正整数的值为（）A6B7C8D9【考点】正弦函数的图象【分析】利用三角函数的图象和性质即可解答【解答】解：函数y=sinx能够在某个长度为1的区间上至少两次获得最大值1，三角函数的图象与性质可知：图象的周期的长度+个周期长度必须小于等于1；即：；解得：，由题意可知：只能取：8或9，又x，上为增函数上为增函数考查：=8和=9当=8时，使得函数区间，上为增函数故选：C10（x2x+ay）7的展开式中，x7y2的系数为，则a等于（）A2BC2D【考点】二项式定理的应用【分析】根据（x2xay）7表示7个因式（x2xay）的积，得出展开式中含x7y2项的系数由2个因式取y，其余的5个因式中有3个取x，有2个取x2，列出方程求出a的值【解答】解：（x2x+ay）7的展开式中，：（x2xay）7表示7个因式（x2xay）的积，故有2个因式取y，其余的5个因式中有3个取x，有2个取x2，可得出含x7y2项的系数；所以x7y2项的系数为（a）2（1）3=210a2=，即a2=a=，故选：D11棱长为a的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，并且图中三角形（正四面体的截面）的面积是3，则a等于（）A2BC2D【考点】球内接多面体【分析】将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的ABD的面积【解答】解：如图球的截面图就是正四面体中的ABD，已知正四面体棱长为a所以AD=a，AC=所以CD=a截面面积是：，a=2故选：C12设函数f（x）=，若曲线y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0）=y0成立，则实数a的取值范围为（）A0，e2e+1B0，e2+e1C0，e2e1D0，e2+e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的值【分析】利用函数f（x）的单调性可以证明f（y0）=y0令函数f（x）=x，化为a=x2lnxx令h（x）=x2lnxx，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：1sinx1，当sinx=1时，y=sinx+取得最大值y=+=e，当sinx=1时，y=sinx+取得最小值y=+=1，即函数y=sinx+的取值范围为1，e，若y=sinx+上存在点（x0，y0）使得f（f（y0）=y0成立，则y01，e且f（y0）=y0若下面证明f（y0）=y0假设f（y0）=cy0，则f（f（y0）=f（c）f（y0）=cy0，不满足f（f（y0）=y0同理假设f（y0）=cy0，则不满足f（f（y0）=y0综上可得：f（y0）=y0y01，e函数f（x）=，的定义域为（0，+），等价为=x，在（0，e上有解即平方得lnx+x+a=x2，则a=x2lnxx，设h（x）=x2lnxx，则h（x）=2x1=，由h（x）0得1xe，此时函数单调递增，由h（x）0得0x1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数取得极小值，即h（1）=1ln11=0，当x=e时，h（e）=e2lnee=e2e1，则0h（x）e2e1则0ae2e1故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13函数g（x）=sinxlog2（+x）为偶函数，则t=【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可【解答】解：g（x）=sinxlog2（+x）为偶函数，g（x）=g（x），即sinxlog2（x）=sinxlog2（+x），即log2（x）=log2（+x），则log2（x）+log2（+x）=0，即log2（x）（+x）=log2（x2+2tx2）=log22t=0，即t=，故答案为：14已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x2+y2的取值范围是，5【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，根据zx2+y2的几何意义求出z的范围即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，z=x2+y2的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方，显然A到原点的距离最大，此时z=5，设原点到直线x+2y2=0的距离是d，则d=，故z的取值范围是：，515已知点A是抛物线y2=2px上的一点，F为其焦点，若以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，且FBC为正三角形，当ABC的面积是时，则抛物线的方程为y2=16x【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意得|BC|=|AF|=p，利用ABC的面积是，由抛物线的定义可得pp=，求出p，可得抛物线的方程【解答】解：由题意得|BC|=|AF|=p，ABC的面积是，由抛物线的定义可得pp=，p=8，抛物线的方程为y2=16x故答案为：y2=16x16已知a，b，c是ABC的三边，且b22ab2c=0，2a+b2c+1=0，则ABC的最大角的余弦值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】将已知两式子相加可解得：c=，相减可得a=10，显然ca，解得：b2+，或b0（舍去），再由cb=b=0（b2+），可得最大边为c，由余弦定理可得：（）2=（）2+b22bcosC，化简可解得cosC的值【解答】解：b22ab2c=0，2a+b2c+1=0，+可解得：c=，可解得：a=10，显然ca，解得：|b|2，即：b2+，或b0（舍去），再比较c与b的大小cb=b=0（b2+）cb，最大边为c由余弦定理可得 c2=a2+b22abcosC，即：（）2=（）2+b22bcosC，化简可得：cosC=，解得：cosC=，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分）（22、23、24题任选一题作答，每题10分）17已知等差数列an的前5项的和为55，且a6+a7=36（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=，且数列bn的前n项和为Sn，证明：Sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列an的通项公式；（2）由bn=（），利用裂项求和法能求出数列bn的前n项和，再由不等式的性质即可得证【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由前5项的和为55，且a6+a7=36，可得，解得a1=7，d=2，则数列an的通项公式an=7+（n1）2=2n+5；（2）证明：bn=（），可得数列bn的前n项和：Sn=（1+）=（1+）=（），即有原不等式成立18近日有媒体在全国范围开展“2015年国人年度感受”的调查，在某城市广场有记者随机访问10个步行的路人，其年龄的茎叶图如下：（1）求这些路人年龄的中位数与方差；（2）若从40岁以上的路人中，随机抽取3人，其中50岁以上的路人数为X，求X的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图【分析】（1）把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中间两个数的平均数即是中位数；再求出这组数据的平均数与方差；（2）40岁以上有7人，其中4050岁有4人，50岁以上有3人，X=0，1，2，3，计算对应的概率，即可求X的数学期望【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据，把这10个数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的两个数是43和45，则这组数据的中位数是=44；平均数是=（22+34+34+42+43+45+45+51+52+52）=42，方差是s2= （2242）2+（3442）22+（4242）2+（4342）2+（4542）22+（5142）2+（5242）22=82.8；（2）40岁以上的路人有7人，其中4050岁有4人，50岁以上有3人，X=0，1，2，3P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=EX=1+2+3=19在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4（1）求证：CE平面PAB；（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）取AD得中点M，连接EM，CM则EMPA，由CAD=60，CM=AM，得MCAB由此能证明CE平面PAB（2）以C为原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AF与平面AEC所成角的正弦值【解答】证明：（1）取AD得中点M，连接EM，CM则EMPA，EM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB，在RtACD中，CAD=60，CM=AM，ACM=60，而BAC=60，MCABMC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PAB，又EMMC=M，平面EMC平面PAB，EC平面EMC，CE平面PAB解：以C为原点，CA为x轴，CD为y轴，过C作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，E为PD的中点，PA=2AB=4，F为PC的中点，A（4，0，0），C（0，0，0），P（4，0，4），F（2，0，2），D（0，4，0），E（2，2，2），=（2，0，2），=（4，0，0），=（2，2，2），设平面AEC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，3），设AF与平面AEC所成角为，则sin=AF与平面AEC所成角的正弦值为20在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，D为短轴上一个端点，且DOF的内切圆的半径为，离心率e是方程2x25x+2=0的一个根（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线lAB交椭圆C于M，N两点，是否存在常数，使得|AB|2=|MN|？若存在，请求出；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的方程为+=1（ab0），运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数【解答】解：（1）设椭圆的方程为+=1（ab0），由题意可得e=，a2b2=c2，bc=（a+b+c），解方程可得a=2，b=，c=1，即有椭圆的方程为+=1；（2）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3m2+4）y2+6my9=0，即有y1+y2=，y1y2=，|MN|=，设A（x3，y3），B（x4，y4），由x=my代入椭圆方程可得消去x，并整理得y2=，|AB|=|y3y4|=，即有=4故存在常数=4，使得|AB|2=4|MN|21已知函数f（x）=的最大值为1（1）求实数a的值；（2）如果函数m（x），n（x）在公共定义域D上，满足m（x）n（x），那么就称n（x）为m（x）的“线上函数”，若p（x）=，q（x）=（x1），求证：q（x）是p（x）的“线上函数”【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）f（x）=的最大值为1，则函数f（x）在（0，+）不单调，故有极值点，继而到函数的最大值，求出a即可，（2）分别根据导数和函数的最值的关系，求出p（x）和q（x）最值，即可证明【解答】解：（1）f（x）=，x0，f（x），函数f（x）=的最大值为1f（x）=0，解得x=e1a，此时a1f（x）max=f（e1a）=1，解得a=1（2）由（1）可知q（x）=，q（x）=0在（1，+）恒成立，q（x）在（1，+）为减函数，q（x）q（1）=，p（x）=，x1，p（x）=2ex10在（1，+）恒成立，p（x）在（1，+）为增函数，p（x）p（1）=，p（x）q（x），q（x）是p（x）的“线上函数”四、选择作答（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，作答时请写清题号，10分）选修4-1：几何证明选讲22如图，O的弦ED，CB的延长线交于点A（1）若BDAE，AB=4，BC=2，AD=3，求CE的长；（2）若=， =，求的值【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）首先根据题中圆的切线条件再依据割线定理求得一个线段AE的长，再根据勾股定理的线段的关系可求得CE的长度即可（2）由已知AC=2AB，AE=3AD