十九、空间几何体(必修二、选修2-1).doc

十九、空间几何体 第一部分 三视图1（2011西城一模理12）.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_.正(主)视图俯视图侧(左)视图3443332（2011西城一模文正(主)视图俯视图侧(左)视图3443335）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A）（B）（C）（D）侧视图正视图1俯视图3（2011朝阳一模理6）已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三 角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 （B） （A） （B） （C） （D）4（2011门头沟一模理2主视图左视图俯视图1113）2主视图左视图俯视图111一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) (B) (C) (D) 5（2011石景山一模理4）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：），则这个几何体的体积是（ ）A B C D 6（2011朝阳一模文正视图俯视图侧视图16.）已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（B）（A） （B） （C） （D）7（2011丰台文ABCDOEA1B1C1D15）如图所示，O是正方体ABCD-A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能是(A) (A) (B) (C) (D)8（2011海淀一模文11）. 如图，在正方体中，点P是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_1_. 9(2011门头沟一模文10).一几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的体积是 俯视图1015主视图左视图1010（第10题图）10（2011石景山一模文4）一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：），则这个几何体的表面积是（ ）A BC D9（）第二部分 立体几何1（2011西城一模文6）对于平面和异面直线，下列命题中真命题是（A）存在平面，使，（B）存在平面，使，（C）存在平面，满足，（D）存在平面，满足，2（2011东城一模理8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离已知平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（C）（A） （B） （C） （D）3（2011西城一模理8）如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命题.不存在点,使四面体有三个面是直角三角OABDC形不存在点,使四面体是正三棱锥存在点,使与垂直并且相等存在无数个点,使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是（A）（B）（C）（D）4（2011东城一模文4）给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；若两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行；若两个平面互相垂直，则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面； 若两个平面互相平行，则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面其中为真命题的是 （A）和 （B）和 （C）和 （D）和5（2011东城一模文8）空间点到平面的距离如下定义：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是，点是上的动点，满足到的距离是到到点距离的倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值为（A） （B） （C） （D）3（2011丰台一模理5）设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面有下列四个命题： 若，则； 若/，则m /； 若，则； 若，则其中正确命题的序号是(D)(A) (B) (C)(D) 4(2011海淀一模理5)已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错误的是 DA若，则 B若，则C若，则 D若，则 5(2011门头沟一模理8)对于四面体，有如下命题 棱与所在的直线异面；过点作四面体的高，其垂足是的三条高线的交点；若分别作和的边上的高，则这两条高所在直线异面；分别作三组相对棱的中点连线，所得的三条线段相交于一点，其中正确的是(A) (B) (C) (D) 6(2011丰台文7)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面有下列四个命题： 若，则； 若/，则m /； 若，则； 若，则其中正确命题的序号是(D)(A) (B) (C) (D) 6(2011朝阳一模文5)已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（C）（A） ，则（B） a，则（C） ，则（D） 当，且时，若，则7(2011门头沟一模文4).已知直线，平面，且，那么“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2（）3（）4（）解答1（2011西城一模理17）.（本小题满分13分）ABCDFE如图, 是边长为的正方形，平面，与平面所成角为.()求证：平面；()求二面角的余弦值；（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.()证明： 因为平面，yBCAEzDFxM所以. 2分因为是正方形，所以，从而平面. 4分()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即， 5分所以.由可知，. 6分则，所以， 7分设平面的法向量为，则，即，令，则. 8分因为平面，所以为平面的法向量，所以. 9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 11分即，解得. 12分此时，点坐标为，符合题意. 13分2（2011西城一模文16）. （本小题满分13分）ABCDFE如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.()证明：因为平面平面，所以平面， 2分所以. 3分因为是正方形，所以，所以平面. 4分()证明：设，取中点，连结，所以，. 5分因为，所以， 6分从而四边形是平行四边形，. 7分因为平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因为平面平面，,所以平面. 11分因为,，所以的面积为， 12分所以四面体的体积. 3（2011东城一模理16）（本小题共14分）已知四棱锥的底面是菱形，与交于点，分别为，的中点OECABDPH（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值 （）证明：因为，分别为，的中点， 所以OECDBAPH 又平面,平面 所以平面（）证明：连结， 因为，所以在菱形中，又因为，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，为的中点，所以又因为所以平面（）解：过点作，所以平面如图，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系可得，所以，设是平面的一个法向量，则，即，令，则设直线与平面所成的角为，可得所以直线与平面所成角的正弦值为4（2011东城一模文16）（本小题共13分）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面（）证明：因为，分别为，的中点， 所以 因为平面 平面 所以平面6分（）证明：连结 因为，所以在菱形中，因为所以平面 因为平面 所以平面平面 13分5（2011朝阳一模理16）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（）求证：平面；ABPCD（）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角的余弦值.解法一：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 4分（）在上存在中点，使得平面， EFABPCD证明如下：设的中点是， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，GHABPCD所以平面. 8分（）设为中点，连结，则 .又因为平面平面，所以 平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. 13分zyxABPCD解法二：因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，两两垂直.分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，. （），,所以 ，所以，.又因为， 所以平面. 4分（）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，所以 取，则.所以， 所以.因为平面，所以平面. 8分（）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为. 13分6(2011丰台一模理16.)（本小题共14分）PABCDQM如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）若点M是棱PC的中点，求证：PA / 平面BMQ；（）求证：平面PQB平面PAD； （）若二面角M-BQ-C为30，设PM=tMC，试确定t的值 证明：（）连接AC，交BQ于N，连接MN 1分BCAD且BC=AD，即BCAQ四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又点M在是棱PC的中点， MN / PA 2分 MN平面MQB，PA平面MQB，3分 PA / 平面MBQ 4分（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ 6分ADC=90 AQB=90 即QBAD又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD， 7分BQ平面PAD 8分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 9分另证：AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点 BC / DQ 且BC= DQ， 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD 6分 PA=PD， PQAD 7分 PQBQ=Q，AD平面PBQ 8分 AD平面PAD，平面PQB平面PAD 9分（）PA=PD，Q为AD的中点， PQADPABCDQMNxyz平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD10分（不证明PQ平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；，11分设，则， ， 12分在平面MBQ中， 平面MBQ法向量为 13分二面角M-BQ-C为30， ， 14分7(2011海淀一模理16). （本小题共14分）在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值. 解：()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1证明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分过作交于，则平面.平面， . 6分，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 5分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分设平面的法向量为，即，令,得. 12分设二面角的大小为，则， 13分二面角的余弦值为 14分8(2011门头沟一模理16)（本小题满分14分）APDCOB 已知四棱锥的底面为菱形，且，与相交于点.（）求证：底面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若是上的一点，且，求的值xzyAPDCOB （）证明：因为为菱形，所以为的中点1分因为,所以所以底面 3分（）因为为菱形，所以建立如图所示空间直角坐标系又得 4分所以 ,5分设平面的法向量有 所以解得所以 8分 9分与平面所成角的正弦值为 10分（）因为点在上,所以所以,因为所以,得 解得所以 9（2011石景山一模理17） （本小题满分14分）如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点（）求证：平面；（）求异面直线与所成的角的余弦值；（）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由解：如图分别以所在的直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知得， 2分（）取中点，则， 又，由，与共线从而，平面， 平面，平面 6分（），异面直线与所成角的余弦值为 9分（）假设满足条件的点存在，可设点（），平面的一个法向量为， 则 ，取 11分易知平面的一个法向量，依题意知， 或，即，解得13分，在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为 14分10(2011朝阳一模文17)（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面，. 若.（）求证：平面；ABPCDE（）设侧棱的中点是，求证：平面.解：（）因为 ，ABPCDE所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 6分EFABPCD（）设侧棱的中点为， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以. 且.所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 13分11(2011丰台文16)（本小题共13分）PABCDQM 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点（）求证：AD平面PBQ； （）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA/平面BMQ证明：（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，PABCDQMN 四边形BCDQ为平行四边形， 2分CD / BQ ADC=90 ， AQB=90 ， 即QBAD 3分 PA=PD，Q为AD的中点， PQAD 4分 PQBQ=Q ， 5分AD平面PBQ 6分（）当时，PA/平面BMQ （没写结论扣2分） 8分连接AC，交BQ于N，连接MNBCDQ，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点， 9分点M是线段PC的