山东省枣庄四中高中数学《3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义》课件 新人教A版选修22.ppt

复数的加 减运算复数的加 减法运算 1 复数的加 减运算类似于合并同类项 实部与实部合并 虚部与虚部合并 注意符号是易错点 2 复数的加 减运算结果仍是复数 3 对应复数的加法 或减法 可以推广到多个复数相加 或相减 的混合运算 4 实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用 例1 计算 1 1 2i 3 4i 5 6i 2 5i 3 4i 1 3i 3 a bi 2a 3bi 3i a b r 审题指导 本题考查的是复数的加 减法的法则 解答本题可以先分离出每一个复数的实部和虚部 然后利用复数加 减法的法则进行实部与实部相加 或相减 虚部与虚部相加 或相减 最后化简为复数z a bi a b r 的形式 规范解答 1 原式 1 3 5 2 4 6 i 1 8i 2 原式 5i 4 i 4 4i 3 原式 a 2a b 3b 3 i a 4b 3 i 变式训练 计算 1 3 5i 4 i 3 4i 2 1 i 1 i 解析 1 原式 3 4 3 5 1 4 i 4 10i 2 原式 1 1 i 0 误区警示 解答本类题容易出现符号错误 计算时应细心 复数加 减法的几何意义1 运用复数的几何意义时注意对应在运用复数的几何意义时 一要注意复数与复平面内的点一一对应关系 二要注意复数与复平面内的所有以原点为起点的向量一一对应 复数问题可以转化为向量问题来解决 充分利用数形结合思想解决问题 2 复数有以下常用结论 在复平面内 z1 z2对应的点为a b z1 z2对应的点为c o为坐标原点 则四边形oacb 为平行四边形 若 z1 z2 z1 z2 则四边形oacb为矩形 若 z1 z2 则四边形oacb为菱形 若 z1 z2 且 z1 z2 z1 z2 则四边形oacb为正方形 1 复数的加 减运算可以转化为点的坐标或向量运算 2 复数的加 减运算转化为向量运算时 同样满足平行四边形法则和三角形法则 例2 复数z的模为1 求 z 1 i 的最大值和最小值 审题指导 解答本类题可用以下几种思路思路一 几何法利用复数的几何意义采用数形结合法来求解 思路二 代数法设出复数z a bi a b r 的代数形式 代入 z 1 i 来求解它的模 然后用二次函数方法求解 思路三 综合法设出复数z a bi a b r 的代数形式 代入 z 1 i 然后利用几何意义求出模 规范解答 方法一 由题设 z 1表示以原点为圆心 1为半径的圆 z 1 i z 1 i 表示圆上的点到点a 1 1 的距离 如图由于点a到原点的距离是 因此圆上的点到点a的最大距离是 最小距离是 方法二 代数法设出复数z a bi a b r 的代数形式 代入 z 1 i 得 z 1 i a bi 1 i a 1 b 1 i 由于 z 1 知 其中 a 1 b 1 所以b 0时 b 代入中 转化为二次函数形式 求解 这个方法很繁琐 方法三 综合法设出复数z a bi a b r 的代数形式 代入 z 1 i 得 z 1 i a bi 1 i a 1 b 1 i 利用几何意义 z 1 i 是以原点为圆心 1为半径的圆上的点到a 1 1 的距离 结合图形 由于点a到原点的距离是 因此圆上的点到点a的最大距离是 最小距离是 变式训练 1 m z z 1 1 n z z i z i 求满足m n的复数z 解析 利用复数的几何意义解决问题 在复平面内 z 1 1的几何意义是以点 1 0 为圆心 以1为半径的圆 z i z i 的几何意义是到点a 0 1 和点b 0 1 距离相等的点的集合 是线段ab的垂直平分线 也就是x轴 m n的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数 故z 0或z 2 2 设复数z满足 z 1 z i 且 z z 2 求复数z 解题提示 在复平面内 满足 z 1 z i 的复数z对应的点与 1 0 和 0 1 的距离相等 满足 z z 2的复数z对应的点到点 0 和 0 的距离之差等于2 解析 设z x yi x y r z 1 z i 复数z对应的点 x y 在以 1 0 0 1 为端点的线段的垂直平分线上 y x z z 2 复数z对应的点 x y 在以 0 和 0 为焦点 2为实轴长的双曲线的左支上 由得故所求复数z i 综合题复数问题实数化解决复数问题时 用代数法解决 常设出z a bi a b r 利用复数相等或模的概念 列方程求实部 虚部 这样把复数问题实数化 例 试研究方程x2 5 x 6 0在复数集上解的个数 审题指导 本题是在复数集上求方程的解 则x可能是实数或虚数 可以巧设x a bi a b r 把方程转化为实数问题 列方程组求解 规范解答 设x a bi a b r 则原方程可以化为即x 2或x 3或x i 故方程在复数集上的解共有6个 变式备选 在实数范围内求关于x的方程x2 5 x 6 0的解的个数 解题提示 本题是在实数范围内解方程 x 是x的绝对值 所以本题突破点是把x2写成 x 2 所以方程可以变形为 x 2 5 x 6 0 利用因式分解法求方程的解 解析 将方程变形为 x 2 5 x 6 0 x 2 x 3 0 x 2或 x 3 x 2或x 3 故方程在实数集上的解共有4个 典例 12分 在复平面内 a b c分别对应的复数为 z1 1 i z2 5 i z3 3 3i以ab ac为邻边作一个平行四边形abdc 求d点对应的复数z4及ad的长 审题指导 解答本题可根据复数加 减法运算的几何意义把复数的加减运算转化为坐标运算 另外也可利用复数与向量的一一对应关系 通过向量的加 减法运算求复数z4及 规范解答 方法一 如图所示对应的复数是z2 z1 对应的复数是z3 z1 对应的复数是z4 z1 2分 由复数的加 减运算的几何意义得 4分 z4 z1 z2 z1 z3 z1 6分 z4 z2 z3 z1 5 i 3 3i 1 i 7 3i 8分 ad的长为 z4 z1 7 3i 1 i 6 2i 10分 z4 7 3i ad的长是 12分 方法二 在复平面内 利用复数与向量的一一对应关系 可得 2分 4分 6分 8分 10分 z4 7 3i 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 已知复平面内三点a b c a点对应的复数是3 2i 向量对应的复数为2 i 向量对应的复数为1 i 求点c对应的复数 解题提示 由复数 点及向量的对应关系可知 所求复数即为向量对应的复数 由加 减法运算的几何意义 得 解析 向量对应的复数为2 i 向量对应的复数为1 i 所对应的复数为 1 i 2 i 1 2i 又 点c对应的复数为 3 2i 1 2i 2 1 已知z1 3 4i z2 5 2i z1 z2对应的点分别为p1 p2 则对应的复数为 a 8 6i b 8 6i c 8 6i d 2 2i 解析 选b 由复数的几何意义知对应的复数为z1 z2 3 4i 5 2i 3 5 4 2 i 8 6i 故选b 2 在复平面内 z1 1 3i z2 2 4i 复数z z1 z2 则复数z对应的点位于 a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 解析 选b z z1 z2 1 3i 2 4i 1 7i 复数z所对应的点为 1 7 故选b 3 已知复数z的模为2 则 z i 的最大值为 解析 由题意知 复数z是以原点o为圆心 2为半径的圆 z i 表示圆上的动点与点 0 1 的距离 由数形结合易知最大值为答案 3 4 定义运算 则符合条件的复数z对应的点在第 象限 解析 方法一 由新定义知 z 1 i 1 2i 1 2i 0 z 1 i 2 0 z 1 i 0 z 1 i 复数z对应的点在第一象限 方法二 设复数z a bi