1-1线性空间.doc

第一专题 线性空间和线性变换矩阵是研究线性模型最基本的工具之一。根据本书的性质，我们假定读者已具备了这方面的基础知识。本书的目的是对本科线性代数教材中没有论及或讨论不够充分，而在线性模型讨论中经常用到的一些矩阵知识，给予系统而扼要地叙述。1 线性空间一、线性空间的概念与性质线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提炼出来的一个数学概念。粗略地说，在一个非空集合上定义了线性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集合就成为一个线性空间。因此，一个线性空间必须有由线性运算规定的代数结构(由集合与满足一定运算规律的一些代数运算合在一起组成的系统)，以便于用数学方法对它研究。为了说明它的来源，在引入定义之前，先看几个熟知的例子。例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量。向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法。我们看到，不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的。例2 为了解线性方程组，我们讨论过以元有序数组作为元素的维向量空间。对于它们，也有加法和数量乘法，那就是： 从这些例子中我们可以看到，所考虑的对象虽然不同，但它们有一个共同点，那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算。抽取它们的共同点，把它们统一起来加以研究，我们可以引入线性空间的概念。在第一个例子中，我们用实数和向量相乘。在第二个例子中用什么数和向量相乘，就要看具体情况。例如，在有理数域中解线性方程组时，用有理数去作数量乘法就足够了，而在复数域中解线性方程组时，就需要用复数去作运算。可见，不同的对象与不同的数域相联系。当我们引入抽象的线性空间的概念时，也必须选定一个确定的数域作为基础。定义1 设是一个数集，其中包含0和1。如果中任意两个数（它们可以相同）的和、差、积、商（除数不是0）仍是中的数，那么称为数域。显然，全体实数集、全体复数集、全体有理数集等都是数域。而全体正实数集，全体整数集等都不是数域。定义2 设是一非空集合,是数域（本书特指实数域）,对中任意两个元,定义一个加法运算,记为“+”:（元称为与的和）；定义一个数乘运算:（元称为与的数积）。这两种运算（也称为的线性运算）,满足下列规则,则称为数域上的线性空间（或向量空间）。加法满足下面四条规则：(1) ；(2) ；(3) 在中存在零元素0；对任何，都有；(4) 对任何，都有的负元素，使，记；数量乘法满足下面两条规则：(5) ；(6) ；数量乘法与加法满足下面两条规则；(7) ；(8) ，在以上运算中，等表示数域中的数，等表示集合中的元素。数域上的线性空间，记为，中的元称为向量；当是实数域时，称为实线性空间；当是复数域时，称为复线性空间。在不需要强调数域时，就称为线性空间。下面再举几个例子。例3 按照矩阵的加法及数与矩阵的乘法，由数域上的元素构成的全体矩阵所成的集合，在数域上构成一个线性空间，称为矩阵空间，记为，其中为由一切实矩阵构成的实线性空间。但秩为的全体矩阵所构成的集合不构成线性空间。事实上，零矩阵。例4 区间上的连续函数的全体，对于通常意义的函数加法和数乘函数，构成线性空间，记为，而表示由区间上的连续可微函数的全体，对于通常的函数加法和数乘函数所构成的线性空间。例5实数域上的多项式全体，按通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为。如果只考虑次数不大于的多项式全体，再添加零多项式（系数全是零的多项式）所构成的集，则对于通常意义的多项式加法及数与多项式乘法，构成线性空间，记为。例6数域按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间。全体实维向量组成的集合，对于通常意义下的向量加法和数乘向量，构成一个实线性空间，记为。全体复维向量组成的集合，对于通常的向量加法和数乘向量，也构成线性空间。这时既可用实数乘向量，从而构成实线性空间；又可以用复数乘向量，构成复线性空间，记为。由定义2可以证明线性空间的一些简单性质。性质1 零向量是唯一的。性质2 负向量是唯一的。性质3 。性质4 若则或。注：（1）线性空间是一个集合（向量），它满足一定条件。（2）线性空间中的加法运算和乘法运算可以有不同的定义。例如：在正实数集中，为实数域，定义加法和数乘运算为： ，其中,“”表示加法，“ 。”表示数乘。那么构成实线性空间。此时加法零元素是中的数1，中元素的负元素是。二、线性空间的基、维数与坐标定义3 设是线性空间，若存在个向量满足(1)线性无关；(2)中任一向量总可有线性表示，则称为线性空间的一个基，称为线性空间的维数，记为dim,并称该线性空间为维线性空间，记作。按照这个定义，不难看出，几何空间中向量所构成的线性空间是3维的，元数组构成的空间是维，例3所述的线性空间是维的。因为中的任一矩阵可表示为 其中表示第行第列处的元素为1，其余元素为0的矩阵，并且显然是线性无关的，是的一个基。而例5中的则是无限维的。注:(1)基就是线性空间的最大无关组，因为最大无关组不唯一，所以基不唯一，但基与基之间是等价的。基可以看成空间直角坐标系的推广，从而线性空间的维数是唯一的。(2)线性空间可用基表示：，从而显示出的构造。定义4 若是线性空间的一个基，则称数是在基下的坐标向量(或坐标)，记为，称为在基下的第个坐标。例7 求中向量在基下的坐标。解 ，故该向量在所给基下的坐标为。一般地中向量在所给基下的坐标为。例8 求中向量在基下的坐标。解 设所求的坐标是，则 即 解得 于是所求的坐标是例9 在中取基，则多项式在基下的坐标是，因为 。若另取一个基，则由知在的坐标为。注： 坐标是与基有关的，同一个向量在不同基底下有不同的坐标。建立了坐标以后，就把抽象的向量与具体的数组向量联系起来，并把中抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来。设，有，于是，即的坐标是，的坐标是。总之，当在维线性空间的取定一个基时，中的向量与维数组向量空间中的向量之间存在着一一对应关系，且这个对应关系具有下述性质：设，则1.;2.也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应。因此，我们可以说与有相同的结构，我们称与同构。定义5 一般地，设与是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间与同构。显然，任何维线性空间都与同构，即维数相等的线性空间都同构，从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。同构的概念除元素一一对应外，主要是保持线性运算的对应关系，因此，中的抽象的线性运算就可转化为与中的线性运算，并且中凡是只涉及线性运算的性质就都适用于。但中超出线性运算的性质，在中就不一定具备，例如中的内积概念在中就不一定有意义。三、基变换与坐标变换由例9可以看出，坐标是与基有关的，同一个向量在不同的基下有不同的坐标，那么不同的基与不同的坐标之间有怎样的关系呢？定义6 设及是线性空间的两个基，且 (1)则 或 (2)其中阶方阵称为由基到基的变换矩阵（或过渡矩阵），(1)或(2)式称为相应的基变换公式。注：(1)由于线性无关,线性无关,易得过渡矩阵可逆。(2)基变换公式中的第个列向量就是第二组基的第个基向量在第一组基下的坐标。(3)由，可逆，易得所以由基到基的过渡矩阵是。定理1 设中的向量，在基下的坐标为，在基下的坐标为。若基到基的过渡矩阵为。则有坐标变换公式 或 (3) 证明 由 所以 因为线性无关，故(3)式成立，定理得证。容易证明这个定理的逆命题也成立。即若任意向量的两种坐标满足坐标变换公式(3)，则两个基满足基坐标变换公式(2)。例10 设的两组基分别为和。(1)求从基到基的过渡矩阵。(2)求向量在基下的坐标。(3)求在这两个基下有相同坐标的所有向量。解 (1)由基过渡公式(2)给出 从中可求得 (2)由,得在基下的坐标为,由,得 (3)设是所求的向量，它在基和基下的坐标下相同，不妨设为。由题意容易得出： 又因为线性无关，所