山东省沂水县第一中学高二数学《等差数列的前n项和》课件3.ppt

3 5等比数列的前n项和 一 1 等比数列的定义 定义 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q来表示 即 2 等比数列的通项公式 复习回顾 解决关于国际象棋的传说问题 也就是求数列 1 2 4 8 263的和 s64 1 2 4 8 263 两边同时乘以等比数列的公比2 2s64 2 4 8 16 263 264 比较这两个式子 得 s64 264 1 264 1 1 84 1019 粒 假定千粒重为40g 那么麦粒的总重量约为7378 7亿吨 若铺在地球表面上 可以得出一个麦粒层 厚度约为9毫米 国王是拿不出这么多麦子的 新课教学 等比数列的前n项和公式设有等比数列a1 a2 a3 an 它的公比是q 它的前n项和为sn a1 a2 a3 an 由等比数列的通项公式 上式可以写成 sn a1 a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 两边同时乘以公比q qsn a1q a1q2 a1qn 2 a1qn 1 a1qn 得 1 q sn a1 a1qn 因为a1qn a1qn 1 q anq 所以等比数列的前n项和公式还可以写成 当q 1时 sn na1 1 q sn a1 a1qn 注 1 当已知a1 q n时用第一个公式 当已知a1 q an时用第二个公式 2 如果公比q是一个字母 在求和时要对公比是否为1进行讨论 3 要把公式记准 通项公式an中 q的指数是n 1 前n项和公式sn中 q的指数是n 4 可以用等比数列前n项和公式解决关于国际象棋的传说问题 因为a1 1 q 2 n 64 所以 例1 已知等比数列 1 求前8项之和 2 求第5项到第10项的和 3 求此数列前2n项中所有偶数项的和 解 例题解析 例1 已知等比数列 2 求第5项到第10项的和 解 确定但首项是 此题也可用解得 例1 已知等比数列 3 求此数列前2n项中所有偶数项的和 解 3 确定项数为n 公比为 首项为 注意 将等比数列中拿出角标码成等差数列的项会组成一个新的等比数列 要确定好新数列的首项 公比及项数 才不会出错 例2 某商场第1年销售计算机5000台 如果平均每年的销售量比上一年增加10 那么从第1年起 约几年内可使总销售量达到30000台 保留到个位 分析 根据题意 每年销售量比上一年增加的百分数相同 所以从第一年起 每年的销售量组成一个等比数列 an 其中 a1 5000 q 1 10 1 1 sn 30000 代入等比数列求和公式 即可得关于n的一个方程 解方程即可求得n 解答见教材 例3 等比数列 an 中 s2 7 s6 91 求s4 解 由题设有 2 1 得 解得 舍去 将q2 3代人 1 得当q 1时 不满足上面条件 说明 1 前面在等比数列一节中 已经分析了在等比数列解题中的运算特点 在本节牵涉到和的运算中 仍要注意消元方法 2 另外在和的运算中 还要注意整体意识 即将作为一整体求解 3 另外还要注意 套用求和公式时是在q 1的时候成立的 要注意讨论q是否能为1 w w w k s 5 u c o m 于是 b 例5 已知 an 为等比数列 且sn a s2n b ab 0 求s3n 解法一 设等比数列 an 的公比为q 若q 1 此时数列为常数列 则sn na1 a s2n 2na1 b 从而有2a b s3n 3na1 3a 或s3n 若q 1 即2a b 由已知 又ab 0 2 1 得 将 3 代入 1 得 解法二 见练习 1 教科书练习1 2 2 辨析下面证法 已知数列 an 是等比数列 sn是前n项和 证明 s7 s14 s7 s21 s14成等比数列 证明 练习 评析 套用求和公式时是在q 1的时候成立的 要注意讨论q是否能为l 所以 上面的证明是在q 1的时候成立 当q 1时 s7 7a1 s14 14a1 s21 21a1 可证之 所以对公比q为字母时一定要有讨论意识 成等比数列 3 an 是等比数列 sn是其前n项和 数列sk s2k sk s3k s2k k n 是否仍成等比数列 解析 当q 1且k为偶数时 sk s2k sk s3k s2k 不是等比数列 此时 sk s2k sk s3k s2k 0 当q 1或k为奇数时 sk a1 a2 a3 ak 0 s2k sk pk a1 a2 a3 ak 0 s3k s2k p2k a1 a2 a3 ak 0 sk s2k sk s3k s2k k n 成等比数列 评述 应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论 还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件 例