漫谈天体运动问题的十种物理模型.pdf

VO 1 36 NO 8 Aug 2007 中 王 参考 高 考薯 ic 攒 漫 谈 天 体 运 动 问 题 的 十 种 物 理 模 型 闫 俊 仁 山西省忻州市第一中学0 3 4 0 0 0 航空航天与宇 宙探 测是 现代科 技 中的重 点 内容 也是 高 考理综物理命题的热点内容 所涉及 到的知识 内容 比较 抽象 习题类型较多 不少学生普遍 感觉到 建模 困难 导致 解题 时找 不到切人点 下 面就本模 块不 同类 型 习题 的建模 与解 题方 法 做一归类分析 一 椭圆轨道 模型 指行星 卫星 的运动轨道为椭 圆 恒星 或行星 位 于该椭 圆轨道 的一个焦点上 由于受数 学知 识 的 限制 此 类模 型适 宜 高 中生 做 的题 目不多 所用 知识 为开 普勒第 三定 律及 椭 圆轨道 的对 称性 例 1 天文学家 观察到 哈雷 彗星 的周期 约是 7 5年 离太 阳最近的距离是 8 9 1 0 m 但它离 太阳的最远距 离不能测 出 试根据开普勒定律计 算这个 最远距 离 已知太 阳系的开普 勒常量 k 3 3 5 4 1 0 m s 解析设 哈雷彗星 离太 阳的最 近距 离为 R 最远距 离为 R 则椭圆轨道半长轴为R R 1 Rz D 3 根据开普勒第三定律 一k 得 R 2 2 一R 8 3 3 5 4 1 0 7 5 3 6 5 2 4 3 6 0 0 m 8 9 1 0 m 一5 2 2 4 1 0 m 二 中心天体 圆周 轨道 模型 指一个天体 中心天体 位于中心位置不动 自转除外 另 一 个 天体 环绕天体 以它为圆心做匀 速圆周运动 环绕天体 只 受中心天体对它的万有引力作用 解答思路 由万有引力提供 环绕天体 做 圆周 运动 的向心 力 据牛顿第二定律 得 G 一 m 等 一 z T m f 孥 r 一 一 r 式中 M 为 中心天体的质量 m为环绕天体的质量 n 仉 和 T 分别表示环绕天体做 圆周运动 的向心加速度 线 速度 角速度 和周期 根据问题的特点条件 灵 活选 用 的相 应的公式 进行分 析求解 此类模 型所能求 出的物理量也是最多的 1 对 中心天体而言 可求量有两个 质 量 M 密 度 lD 一 蒜 特 殊 地 当 环 绕 天 U U j l 体为近地卫星时 r R 有 p G T z 2 对 环 绕 天 体 而 言 可求 量 有 六 个 线 速 度 一 角 速 度 周 期 T r r 一 加 速 度 桃力 F G g t 道所在处的重力加速度 g 一 各式推导略 2 7 厂 r 3 可求第一宇宙速度 物体 在地 球 表 面 附近 环绕 地 球运 转 其 实 就是 中心 天 体 圆周轨 道 模型 求第一宇 宙速 度有 两种方法 由 G m 7 2 得 一 或由 m g m 得 一 其他 星球 的第一 宇宙速 度计 算方 法 同上 M 为该 星球 的 质量 R为该星球 的半径 g为该星球表 面的重力加 速度 依 据 已知条件 灵 活选 用计 算公 式 例 2 2 0 0 6 年 全国理综卷 I第 1 6题 我 国将要发射一颗 绕月运行 的探月卫星 嫦娥 1号 设该 卫星 的轨道是 圆形的 且 贴 近 月 球 表 面 已 知 月 球 质 量 约 为 地 球 质 量 的 责 月 球 的 半 径 约 为 地 球 半 约 的 地 球 上 的 第 一 宇 宙 速 度 约 为 7 9 k m s 则该探月卫星绕月运行的速度约为 A 0 4 k m s B 3 6 k m s C 1 1 k m s D 1 8 k m s 解析设地 球质量 半径 分别 为 M R 月球质量 半径 分 别为 m r 则 m一豇M r 1 R 在星体 表面 物体 的重 力近似 等于万有 引力 若 物体质 量 为 m o jl l u G M m o 一 g 即 G M g R 在 月球 表 面 满 足 G M g l r 2由此可得 g 一 g 一 g 地球表 面的第一 宇宙速度 一 一7 9 k m s 在月球表面 有 一 g R 一 吾 一 吾 O1 s k m s I 三 同步卫星 模 型 地球 同步卫 星是位 于赤 道上 方 相对 于地 面静 止不 动 的 一 种人造卫星 主要用 于全 球通信 和转播 电视信号 同步卫星在 赤道上 空一 定高 度环 绕地球 运 动也 属于 中 E ma i l p h c f e 2 1 o o m 维普资讯 高 考 焉 横 中 b 圣 学参 考 心天体 一 环绕天体 模型 同步卫 星具有四个一 定 定轨道平 面 轨道平面 与赤道平面共面 定运行周期 与地球 的 自转周期相 同 即 T 一2 4 h 定 运 行 高 度 由 G 等 一 m R f 擎 得 同 步 卫 星 离 地 面 的 高 度 为 一 一 R 3 6 X l O k m 定 运 行 速 率 一 3 0 k m 一 颗 同步卫星可 以覆盖地 球大 约 4 O 的面 积 若 在 此轨 道上均匀分布 3颗通信卫星 即可实 现全球 通信 两极有 部分 盲区 为 了卫星之间不相互干扰 相邻 两颗卫星对地心的张角 不f i le d 于 3 这样地 球 的 同步轨道 上至 多能 有 1 2 0颗通信 卫 星 可见 空 间位置也是一种资源 例 3 某颗 地球 同步 卫 星 正 下方 的地 球表 面 上 有 一观 察 者 他 用天 文望远 镜 观察 被 太 阳光 照 射 的此 卫 星 试 问 春 分那 天 太 阳光直 射 赤 道 在 日落 1 2小 时 内有 多 长 时 间 该 观察 者看 不 见此 卫 星 已知地 球 半 径 为 R 地 球 表 面处 的重力 加速度 为 g 地球 自转 周期 为 T 不 考 虑 大气 对 光 的 折 射 解析设所求的 时间为 t 用 M 分 别表示 卫 星和地 球 的质量 r表示 卫星 到地 心 的距 离 有 G 一 叫孥 春分时 太 阳光直 射地球赤 道 如图 1所示 图 中圆 E表 示 赤道 S表示 卫 星 A 表 示 观 察 者 o表 示地 心 由 图可 看 出当 卫星 S绕地心 0 转到 图示位 置 图 1 光 以后 设地球 自转是沿 图中逆时针方 向 其正下方的观察者将 看不见它 据此再考虑到对称性 有 r s i n O R 2 0T G 一 K一 由 以 上 各 式 可 解 得 f 一 a r c s in 4 2 R 四 天体相遇 模型 两天体 行星 卫 星或 探测器 相 遇 实际上是指 两天体 相 距最近 若两环绕天体的运 转轨道在 同一平 面 内 则两环绕 天 体 与中心天体在 同一 直线 上 且位 于 中心天 体 的同侧 时相距 最近 两环绕天体与 中心天体 在 同一 直线上 且位 于 中心天体 的异侧 时则相距最远 设卫 星 1 离地球近些 与卫星 2 某 时刻相距最 近 如果经 过 时间 t 两卫星与地 心连线 半径 转过 的角 度相差 2 的整数 倍 则两卫星又相距最近 即 1 t z f 一2 m r 一1 2 3 如 果 经过 时间 t 两卫星与地心连线半径转过的角度相差 的奇 数倍 则两卫星相距 最远 即 1 t 一 2 t 一 2 一 1 一 1 2 3 句 E ma i l p h y r c f e 2 1 C O rn 第3 6 卷第8 期 2 0 0 7 年8 月 例 4 2 0 0 6年江 苏物理卷 1 4题 如图 2所 示 A 是地球 的同步卫星 另一卫星 B 的圆形轨道 一 一 o 位 于 赤 道 平 面 内 离 地 面 高 度 为 已 b B 地 球 表 面 的 重 力 加 速 度 为 g o 为 地球 中心 1 求卫星 B的运行周期 一 一 2 如卫星 B绕行方 向与 地球 自 阑 2 转方 向相 同 某 时 刻 A B 两 卫星 相 距最近 o B A在 同一直线上 则至少经过多 长时间 他们再 一 次相距最近 解析 1 由万有引力定律和向心力公式得 G 一 m R 4 7 2 联立 两式得 2 由题意得 由 式得 代入 式得 G M 百 e mg B 一蛐 t 2 r 一 R E 一 一 t 一 一一 g R 对一些未知天体 通 过测 量一 些数据 并应 用万 有引 力定 律的计算 可以发现和预测未知天体的一些物理量 五 地球 自转 忽略 模型 在地球表面 分析计算表 明 物体在赤道 上所受 的向心力 最大 也才是地球引力的 0 3 4 故 通常情形可忽 略地 球 的 自 转效应 近似地认为质 量为 m 的物体 重力等 于所受 的地球引 力 即 mg G 所 以 地表 附近 的重力 加速 度为 g 一 利用这一思路 我们可推出 黄金 代换式 G M g R 若物体在 距 地 面 高 处 则 有 m g 一 G 箬 所 以 在 距 地 面 高 h 处 的重力加速度为 GM R g 一 干 一 g Y 4 i J 例 5 神舟 六 号飞船发射升空时 火箭 内测试仪平台上 放一个压力传感器 传感器上面压着一个质量 为 m 的物体 火 箭点火后从地面 向上加速 升空 当升到 某一高度 时 加 速度为 n 一 要 压力传感器此时显示出物体对平台的压力为点火前压 力 的 已知地球的半径为 R g为地面附近的重力加速度 试 求此时火箭离地面 的高度 解析设此时火箭升 空高度 为 h 此 处重力 加速度 为 g 对火箭 内测试仪平 台上的小物体 应用 牛顿第二定律 有 F m ma 根据万有引力定律 有 维普资讯 VO 1 36 NO 8 Au g 2 0 0 7 中 学参 考 g 一 M oc l 譬 一 将 n 一 号 F 一 1 7 m g 代 人 上 式 解 得 一 导 六 星 体 自转 不解 体 模 型 指星球表面上的物体随星球 自转 而绕 自转轴 某点 做 匀 速 圆周运动 其特点为 具有与星球 自转 相同的角速度 和周期 万有引力 除 提供 物体 做 匀速 圆 周运 动所 需 的 向心力 外 还要 产生重力 因此 它既不 同于 星球表 面附 近的卫 星环 绕 星球做 匀 速 圆周运动 二者轨道半径虽 然相 同 但周期 不同 也不 同于 同 步卫星的运转 者周期虽 相同 但 轨道半 径不 同 这 三种情 况又极易混淆 同学们应弄清 例 6 如果 一个 星 球上 宇航 员 为 了估测 星 球 的平 均密 度 设计 了一个简单 的实验 他先利用手表 记 下一昼夜 的时间 T 然后 用弹簧秤测一个砝码 的重力 发现在赤道 上的重力仅 为两极的 9 O 试写 出星球平均密度的估算式 解析设 星球 的质量为 M 半径为 R 平均 密度 为 p 砝码 的质量为 m 砝码在赤道上失重 1 9 O 1 0 表 明砝码在 赤道上随星球 自转 做圆周运动 的向心力为 F自 0 1 F O 1 X G 而一昼夜 的时间 T就是 该星球 的 自转周期 根 据万有 引力 定 律 和 牛 顿 第 二 定 律 有 0 1 X G 一 m R 等 又 M一 D 7 R 所以 该星球平均 密度 的估算式为 lD 一 七 双星 模型 对于双星 问题要注意 两 星球所需 的向 心力 由两星 球间 万有引 力提 供 两 星 球圆周运动 向心力大小相等 两星球绕两星球问连线上 的某 点 转动 中心 做 圆周运 动的角速度 或周期 T 的大小相等 两星球绕转的半径 r r 的和等 于两星球 问的距离 L 即 r 2 L 例 7 2 0 0 1 年北京春招题 改编 较近 由于彼 此 的引 力 作 用 而 沿 轨道互相绕转 的恒 星系统称 为 双 星 已知两颗恒星质量分别为 m mz 两星之 间的距离 为 L 两星分 别绕 共 同 的 中心 做 匀 速 圆 周 运 动 求各 个 恒 星 的运 转 半径 和角 速 度 在天文学 上把两个 相距 图 3 解 析两恒 星构成 的系统 能保 持距 离 L不 变 则 两恒 星 赢 考 缄 赞 转 动的角速度 周期 相 同 设它 们 的角速度为 半径 分别为 r 1 r 2 则 r 1 r 2 一L 它们 问的万有引 力提供 了它们做 圆周运动 的向心力 则 对 恒星 m G 一m r 对恒 星 m G 一m r z 联立 式解得 r 一 m 2 L r rol L 1 十 0 m1 十 0 将 r 一 昔 m 2 代 入 式 得 一 7 1 r L 讨 论 1 当 m 一 m 时 r 一 r 一 导 一 等 2 当 m l 优 时 r t o rz L 一 这 正 是 我 们 已熟知 的人造地球卫 星的运转模型 说 明万有引力公式和 向心力公式 中都有 r 这个物理量 但它们 的含义 不 同 万 有引力 定律 中的 r 是 指 两物体 问 的距 离 而向心力公式 中的 r 则指 的是 圆周运动 的半径 一般情 况 下 它们 二者是相等 的 如月球绕地 球的运动 但在此双星问题 中则根本不 同 万有 引力定律 中的 r L 而 向心力 公式 中的 r 则分别为 r 和 r 它们 的关 系是 r L 例 8 2 0 0 6 年广 东高考物理试题 宇宙 中存在 一些离 其 他恒星较远的 由质量相等 的三颗 星组成 的三星 系统 通 常可 忽略其他星体对它 们 的引力 作用 已观测 到稳定 的 三星 系统 存在两种基本的构成形式 一种是 三颗星 位于 同一 直线上 两 颗星围绕中央星在 同一半 径为 R 的圆轨道 上运行 另 一种形 式 是三颗星位于等 边三 角形 的三个 项点 上 并沿 外接 于等边 三角形 的圆形轨道运 行 设每个星体的质量均为 m 1 试求第一种形式下 星体运动 的线速度和周期 2 假设两种形式星体 的运动周 期相 同 第二种 形式下星 体 之间的距 离应为多少 解析 1 第一种形式下 如图 4甲所示 以某个运动的星 体为研究对象 根据万有引力定律和牛顿第 二定 律 有 G 每 G 一 优 簧 一 酉5 Crm T 一 R 一 酉 一 一 田 图 4 E ma il p h y r c e 2 l c o m 维普资讯 膏 考 缄 横 中 j b 教学参考 2 第二种 形 式下 设 星体 之 间的 距 离为 r 如 图 4乙所 示 则三个星体做 圆周运动 的半径为 R 由于星体做 圆周运动所需要 的向心力靠其 他两个 星体 的万 有引力 的合力 提供 由力的合成 和牛顿第 二定律 有 z G c s s o o m 筝 1 o 解得 r f 警1 R 0 八 卫星变轨 模型 解答这一模型 的有关 问题 可 根据 圆周 运动 的 向心力 供 求平衡关系进行分析求解 若 F 供 一F 柬 供求平 衡 物体做匀速 圆周运动 若 F F 柬 供过 于求 物体做 向心运动 例 9 2 0 0 6年 2月 1 0日 面 向社会 征集 的月球 探测 工程 标 志最终确定 上海设计师 作品 月亮 之上 最终 当选 我国 的 探月计划分为 绕 落 回 三 阶段 第一阶段 绕 的任务 由我 国第一颗月球探测 卫星 嫦 娥一 号 来 承担 发 射后 嫦娥 一 号 探测卫星将用 8天至 9天的时 间完 成调相轨 道段 地 月 转移轨 道段和环月轨 道段的飞行 其 中 假设 地一 月转移 轨道 阶段可 以简化为 绕地球做 匀速 圆周 运动 的卫 星 在 适 当的位 置点火 加 速 进入 近 地 点在 地 球 一 一一 表面附近 远 地点 在 月 球表 面附P 乡 Q 近的椭 圆轨 道运行 如 图 5所示 一一一 若要此时的 嫦娥一号 进入环 月 困 E 轨道 则必须 A 在近地点 P启动火箭向运动的反方向喷气 在近月点 远地点 Q启动火箭 向运动的反方 向喷气 C 在 近月点 远地点 Q启动火箭 向运动方 向喷气 D 在近地点 P启动火箭 向运动方向喷气 解析要使月球 探测卫星 在地球椭 圆轨道上变 轨绕 月球 运行 则必须在近月点 Q处点火 减速 即启 动火箭 向运动 的方 向喷气使探 测器 减速 使 月球 对探 测卫 星 的引力 大 于做 圆周 运动所需的向心力而做向心的变轨运动 正确答 案为选项 C 九 航天器对接 模型 航天器 对接是指 两个航 天器 宇宙飞船 航天飞机 空间站 等 在太空轨道会合 并连接成一个整体 它是实现太空装配 补 给 维修 航天员交换等过程 的先决条件 空 间交会对 接技术包 括两部分相互衔接 的空 间操作 即空 间交会和 空间对接 所谓 交会是 指两个航 天器 在轨 道上 按预 定位 置和 时间 相会 而对 接则是两个航天器相会后在结构上连成一个整体 解答两个航 天器 的交会 对接 问题 其实 质仍 然是 航 天器 的变轨运行 问题 即根据 圆周运动 的向心力 供 和 求 关系进 行分析 E ma i h p 时 c f e 2 1 c o m 第3 6 卷第8 期 2 0 0 7 年8 月 例 1 O 如 图 6所示 m m 为两颗一 前一后 在同一轨 道 绕地球做匀速圆周 运动 的卫星 试述 用何 一 一 种方法可使卫星m 追上前面的卫星m f 解析m 2 不能像在地面上行驶的汽 j 车一样加大速度去追赶 m 而应先通过反 向制动火箭把速度 变小 这样 万有 引