（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习专题能力训练10等差数列与等比数列.docx

专题能力训练10等差数列与等比数列专题能力训练第26页一、能力突破训练1.在等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-10答案:D解析:因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.在各项均为正数的等比数列an中,若log2(a2a3a5a7a8)=5,则a1a9=()A.4B.5C.2D.25答案:A解析:由题意得log2(a2a3a5a7a8)=log2a55=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1a9=a52=4.故选A.3.设an是等比数列,Sn是an的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.0答案:A解析:设公比为q,an+2an+1+an+2=0,a1+2a2+a3=0,a1+2a1q+a1q2=0,q2+2q+1=0,q=-1.又a1=2,S101=a1(1-q101)1-q=21-(-1)1011+1=2.4.已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,dS40D.a1d0答案:B解析:设an的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d.a3,a4,a8成等比数列,(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0.d0,a1d=-53d20,且a1=-53d.dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d20,a80,所以a3a8a3+a822=822=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.7.设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.答案:64解析:由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2an=8n121+2+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为直线n=-722-12=3.5,又nN*,所以当n=3或4时,a1a2an取最大值为2-1232+732=26=64.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1x,1y,1z成等差数列,则xz+zx=.答案:3415解析:由题意知(12y)2=9x15z,2y=1x+1z,解得xz=122915y2=1615y2,x+z=3215y,从而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=32152y21615y2-2=3415.9.已知Sn为数列an的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(nN*).(1)求证:an-2n为等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-32n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=30.故an-2n为等比数列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,an=2n+3n,Sn=2(1-2n)1-2+3(1-3n)1-3=2n+1+3n+12-72.10.记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.11.已知数列an是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),nN*,求实数t的值;(2)若在1a1与1a4之间插入k个数b1,b2,bk,使得1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差数列,求k的值.解:设等比数列an的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1)a1+a2+a2n=t(a12+a22+an2),a1(1-q2n)1-q=ta12(1-q2n)1-q2,即1-22n1-2=t1-22n1-4对nN*都成立,t=3.(2)1a1=1,1a4=18,1a5=116,且1a1,b1,b2,bk,1a4,1a5成等差数列,公差d=1a5-1a4=-116,且1a4-1a1=(k+1)d,即18-1=(k+1)-116,解得k=13.二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110答案:A解析:设数列的首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推,设第n组的项数为n,则前n组的项数和为n(1+n)2.第n组的和为1-2n1-2=2n-1,前n组总共的和为2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.由题意,N100,令n(1+n)2100,得n14且nN*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数N满足:N100且前N项和为2的整数幂,则SN-Sn(1+n)2应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN*,n14),所以k=log2(n+3),解得n=29,k=5.所以N=29(1+29)2+5=440,故选A.13.设等比数列an的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是()A.a5a3B.S5S3C.an+1anD.Sn+1Sn答案:D解析:等比数列an中,8a2+a5=0,a5=-8a2,q=-2,a5a3=4,an+1an=q=-2,S5S3=a11-(-2)51+2a11-(-2)31+2=113,Sn+1Sn不能确定.14.若存在等比数列an,使得a1(a2+a3)=6a1-9,则公比q的取值范围为.答案:-1-52,00,-1+52解析:因为a2+a3=a1(q+q2),所以a12(q+q2)-6a1+9=0.当q+q2=0时,易知q=-1满足题意,但q0;当q+q20时,=36-36(q+q2)0,解得-1-52q-1+52,综上,q-1-52,00,-1+52.15.设Sn为等差数列an的前n项和,a2+a3=8,S9=81.(1)求an的通项公式;(2)若S3,a14,Sm成等比数列,求S2m.解:(1)S9=9a5=9(a1+4d)=81,a2+a3=2a1+3d=8,a1=1,d=2,故an=1+(n-1)2=2n-1.(2)由(1)知,Sn=n(1+2n-1)2=n2.S3,a14,Sm成等比数列,S3Sm=a142,即9m2=272,解得m=9,故S2m=182=324.16.等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列1bn的前n项和.解:(1)设数列an的公比为q.由a32=9a2a6得a32=9a42,所以q2=19.由条件可知q0,故q=13.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=13.故数列an的通项公式为an=13n.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-n(n+1)2.故1bn=-2n(n+1)=-21n-1n+1,1b1+1b2+1bn=-21-12+12-13+(1n-1n+1)=-2nn+1.所以数列1bn的前n项和为-2nn+1.17.若数列an是公差为正数的等差数列,且对任意nN*有anSn=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3)2n-1(nN*)?若存在,求出数列bn的通项公式及其前n项和Tn;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列an的公差为d,则d0,an=dn+(a1-d),Sn=12dn2+a1-12dn.对任意nN*,恒有anSn=2n3-n2,则dn+(a1-d)12dn2+a1-12dn=2n3-n2,即dn+(a1-d)12dn+a1-12d=2n2-n.12d2=2,12d(a1-d)+da1-12d=-1,(a1-d)a1-12d=0.d0,a1=1,d=2,an=2n-1.(2)数列anbn的前n项和为An=5+(2n-3