高三专题复习资料(数列).doc

专题3 数列 江苏省太仓高级中学 陆红力 【课标要求】1.课程目标体会数列是刻画自然界离散型变量的重要数学模型，能从函数的观点理解数列。等差数列和等比数列作为基本数列模型要深入理解，要体会这两种数列模型的广泛应用，并能准确的使用等差与等比模型2.复习要求（1）数列：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数理解数列的通项公式与其前项和的意义（2）等差数列：理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一次函数及等差数列的和与二次函数的关系（3）等比数列：理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和的公式，能运用公式解决一些简单问题能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题了解等比数列与指数函数的关系3.复习建议（1）要让学生明确数列给定的三种方式：通项法，前项和公式法，递推关系法（2）等差、等比数列是复习的重点，要让学生强化基本量的意识，重视等差、等比数列性质的运用（3）将非等差，等比数列化归为等差、等比数列是处理一般数列的重要方法之一，在教学中要注重对学生化归思想方法能力的培养（4）归纳和类比也是处理数列问题的手段之一，要引导学生积极使用上述方法（5）以等差，等比数列为基础，进行构造再与其他数学知识综合的试题是近几年江苏高考命题的一个热点，在教学中要对这一类问题做进一步的探索【典型例题】例1 （填空题）（1）设为等差数列的前项和，若，则_解析：，则（2）（课本改编）已知成等差数列，已知，且，则的最小值为 解析：（当且仅当时，式中等号成立）（3）在等比数列中，若则的值为_解析：由，且得（4）等比数列中，则_解析：，则4（5）已知，把数列的各项排列成如下的三角形状， 记表示第行的第个数，则_解析：（6）数列中，已知，则_解析：，（1）（2）可得：，即，又，易知（7）在等比数列中，已知，则_解析：成公比为等比数列，则成公比为2等比数列，得（8）数列满足若，则_解析：，数列的前4项依次为，数列具有周期性，且周期为3，则（9）（09上海）已知函数.项数为27的等差数列满足，且公差.若，则当= 时，.解析：是上的增函数且为奇函数，数列为等差数列且，则，所以，则 （10）（10天津）设是等比数列，公比，为的前n项和记设为数列的最大项，则= 解析：=，设，则有=，当且仅当，即，当为数列的最大项时，=4例2 （10浙江） 首项为，公差为（）的等差数列的前项和为，且+15=0（）若=5，求及；（）求的取值范围 （）解：由题意知， 解得a1=7 （）解：+15=0，(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0，即2a12+9a1d+10d2+1=0，故(4a1+9d)2=d2-8，所以d28，故d的取值范围为d-2或d2例3 （10全国） 已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求的通项公式；（）设，求数列的前项和（）解：考察数列与数列是等比数列，数列也为等比数列且与有相同的公比设数列的公比为 ，解得：，（），例4 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（）求数列和的通项公式；（）若数列前项和为，问的最小正整数是多少? （）解：, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, 则数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ，则()；（）解： 由可得，所以满足的最小正整数为112.例5 已知数列是由正数组成的等差数列，是其前项的和，并且；（）求数列的通项公式；（）求使不等式对一切均成立的最大实数（）解：是由正数组成的等差数列且，则（）解：，设，则，又，即在上递增当时，例6 已知曲线，点是曲线上的点（n=1,2,）.（）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求点的坐标（）解：，切线的方程：，令可得：，则（）解：切线方程可写为：，则，当且仅当，即时，式中等号成立此时点的坐标为【新题备选】1等比数列的前项的和为，且成等差数列，则的公比为_.解：，即2等差数列公差为2，等比数列首项为1，公比为2，若集合的元素个数恰有2个，则等差数列的首项的取值范围是 解：设，分别列举，的前5项如下：；，结合图像分析可得：3已知分别以和为公差的等差数列和满足，（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，的前项和满足，求数列和的通项公式.（1）解：由题意：又，则（当且仅当时，式中等号成立），故等号不成立（2）解：，则，又，则，则，即，易得：4由原点O向三次曲线y=x3-3ax2+bx(a0)引切线，切于不同于点O的点P1（x1,y1），由P1引此曲线的切线，切于不同于P1的点P2（x2,y2）,如此继续地作下去，得到点列（xn,yn），试回答下列问题：（1）求x1（2）求xn与xn+1的关系（3）若a0，求证：当n为正偶数时，xna.解：（1），由题意：即，则（2）由题意：则，则（3）易得：，当n为正偶数时，；当n为正奇数时，【专题训练】一、填空题1在等差数列中，前项和满足条件：， 则数列的通项公式为 2数列an中，a1=2，a2=1，则an= 3等差数列中，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是第_项4设为等比数列的前n项和，则 5等比数列中，则 6数列中，前项和为，则 7在等比数列中，若，则_8已知三角形的三边长成等比数列，短边长为首项，则公比q的取值范围是_9若某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞的存活数是_10把49个数排成如图所示的数表，若表中每行的7个数自左至右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数，则表中所有数的和为 .11数列中， 则_12若数列中，已知，则 13观察下列三角形数表 1 -第一行 2 2 -第二行 3 4 3 -第三行 4 7 7 4 -第四行 5 11 14 11 5 假设第行的第二个数为，则 14在数列中，均为正实数，则与的大小关系是 二、解答题15已知等差数列满足：，.的前n项和为. （）求 及；（）令（）,求数列的前n项和.16若数列是公差的等差数列，数列是公比的等比数列，已知（）求数列，的通项公式；（）是否存在常数，使对一切都有恒成立，若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由17正项数列的前项和为，且满足成等比数列（）求数列的通项公式；（）设，是否存在常数，使得对一切恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由18已知首项不为零的数列的前项和为，若对任意的，都有. （1）判断是否为等差数列，并证明你的结论；（2）若，数列的第n项减1是数列的第项，求.（3）求和19设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4，）（1）求证：数列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f（t），作数列bn，使b1=1，bn=f（）（n=2，3，4，），求数列bn的通项bn；（3）求和：b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1.20已知数列an，bn，cn的通项公式满足，若数列bn是一个非零常数列，则称数列an是一阶等差数列；若数列cn是一个非零常数列，则称数列an是二阶等差数列（）试写出满足条件，的二阶等差数列的前五项；（）求满足条件()的二阶等差数列的通项公式an；（）若数列an首项，且满足，求数列an的通项公式【专题训练参考答案】1 2 38 4 511 6 75 8 965 1049 1138 121 13 14 15解：（）设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以；=解：（）由（）知，bn=，所以=，即数列的前n项和=