福建省长泰县第一中学高三数学二轮复习 专题01 思想方法 函数与方程的思想方法课件.ppt

高考复习系列课件91 数学第二轮复习 01 思想方法 函数与方程的思想方法 91 思想方法 函数与方程的思想方法 考题剖析 规律总结 知识概要 03 07 17 函数与方程的思想方法 函数与方程是两个不同的概念 但它们之间有着密切的联系 方程f x 0的解就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 函数y f x 也可以看作二元方程f x y 0 通过方程进行研究 就中学数学而言 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面 一是借助有关初等函数的性质 解有关求值 解 证 不等式 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 二是在问题的研究中 通过建立函数关系式或构造中间函数 把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质 达到化难为易 化繁为简的目的 许多有关方程的问题可以用函数的方法解决 反之 许多函数问题也可以用方程的方法来解决 函数与方程的思想是中学数学的基本思想 也是历年高考的重点 知识概要 返回目录 函数与方程的思想方法 1 函数的思想 是用运动和变化的观点 分析和研究数学中的数量关系 建立函数关系或构造函数 运用函数的图象和性质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察 分析和解决问题 2 方程的思想 就是分析数学问题中变量间的等量关系 建立方程或方程组 或者构造方程 通过解方程或方程组 或者运用方程的性质去分析 转化问题 使问题获得解决 方程的思想是对方程概念的本质认识 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题 方程思想是动中求静 研究运动中的等量关系 知识概要 函数与方程的思想方法 返回目录 3 1 函数和方程是密切相关的 对于函数y f x 当y 0时 就转化为方程f x 0 也可以把函数式y f x 看做二元方程y f x 0 函数问题 例如求反函数 求函数的值域等 可以转化为方程问题来求解 方程问题也可以转化为函数问题来求解 如解方程f x 0 就是求函数y f x 的零点 2 函数与不等式也可以相互转化 对于函数y f x 当y 0时 就转化为不等式f x 0 借助于函数图象与性质解决有关问题 而研究函数的性质 也离不开解不等式 3 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数 用函数的观点处理数列问题十分重要 知识概要 函数与方程的思想方法 返回目录 4 函数f x ax b n n n 与二项式定理是密切相关的 利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题 5 解析几何中的许多问题 例如直线和二次曲线的位置关系问题 需要通过解二元方程组才能解决 涉及到二次方程与二次函数的有关理论 6 立体几何中有关线段 角 面积 体积的计算 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决 知识概要 函数与方程的思想方法 返回目录 考题剖析 返回目录 解析 依题意有x2 a 4 x 4 2a 0恒成立 即 x 2 a x2 4x 4 0恒成立 令g a x 2 a x2 4x 4 把g a 看作是关于主元a的函数 则g a 是一次函数 x 2 或是常数函数 x 2 因为a 1 1 要g a 0恒成立 只需 解得x 1或x 3 故选b 1 对任意a 1 1 函数f x x2 a 4 x 4 2a的值总大于零 则x的取值范围是 a 1 x 3b x 1或x 3c 1 x 2d x 1或x 2 b 点评 本题中 体现了主元的思想 对于多个字母恒成立的问题 这是一种基本方法 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 2 已知 1 a b c r 则有 a b2 4acb b2 4acc b2 4acd b2 4ac 解析 解法1 依题意有a 5 b c 0 是实系数一元二次方程ax2 bx c 0的一个实根 b2 4ac 0 b2 4ac 故选b 解法2 去分母 移项 两边平方得 5b2 25a2 10ac c2 10ac 2 5ac 20ac b2 4ac b 点评 解法1通过简单转化 将其看作一个一元二次方程的解 敏锐地抓住了数与式的内在特点 利用方程思想使问题迎刃而解 解法2转化为b2关于a c的函数 可看作是二元函数 利用重要不等式求解 其求解的思想实质是函数的思想方法 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 3 不等式4x log3x x2 5的解集为 a rb r c x x 1 d x x 2 c 解析 考察函数f x 4x log3x x2 定义域为 0 在 0 上不难得知函数f x 为单调递增的 当x 1时 f x 5 故4x log3x x2 5的解集为 x x 1 点评 此题初一看上去 是一个含有指数 对数的不等式的题 感觉很难求解 但此题的解法却是巧妙地构造了函数 利用函数的单调性进行求解 这也体现了函数的思想在解题中的应用 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 4 已知f t log2t t 8 对于函数f t 值域内的所有实数m 不等式x2 mx 4 2m 4x恒成立 求x的取值范围 解析 t 8 f t 3 原题转化为 m x 2 x 2 2 0恒成立 为m的一次函数 这里思维的转化很重要 当x 2时 不等式不成立 x 2 令g m m x 2 x 2 2 m 3 问题转化为g m 在m 3 上恒大于0 则 解得 x 2或x 1 点评 首先明确本题是求x的取值范围 这里注意另一个变量m 不等式的左边恰是m的一次函数 因此依据一次函数的特性得到解决 在多个字母变量的问题中 选准 主元 往往是解题的关键 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 5 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s3 s12中哪一个最大 并说明理由 解析 1 由a3 12得 a1 12 2d s12 12a1 66d 144 42d 0 s13 13a1 78d 156 52d 0 d 3 2 sn na1 d dn2 12 d n d 0 sn是关于n的二次函数 对称轴方程为 x d 3 6 当n 6时 sn最大 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 点评 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数 因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题 也可以利用方程的思想 设出未知的量 建立等式关系即方程 将问题进行算式化 从而简洁明快 由此可见 利用函数与方程的思想来解决问题 要求灵活地运用 巧妙的结合 本题的另一种思路是寻求an 0 an 1a2 a13 由s13 13a70得a6 0 所以 在s1 s2 s12中 s6的值最大 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 6 点a b分别是椭圆 1的长轴的左 右顶点 点f是椭圆的右焦点 点p在椭圆上 且位于x轴上方 pa pf 1 求p点的坐标 2 设m是椭圆长轴ab上的一点 m到直线ap的距离等于 mb 求椭圆上的点到点m的距离d的最小值 解析 1 由已知可得点a 6 0 f 4 0 设点p x y 则 x 6 y x 4 y 由已知可得则2x2 9x 18 0 解得x 或x 6 由于y 0 只能x 于是y 点p的坐标是 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 2 直线ap的方程是x y 6 0 设点m m 0 则m到直线ap的距离是 于是 m 6 又 6 m 6 解得m 2 椭圆上的点 x y 到点m的距离d有d2 x 2 2 y2 x2 4x 4 20 x2 x 2 15 由于 6 m 6 当x 时 d取得最小值 点评 方程思想是处理直线与二次曲线有关问题的基本方法 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 证明 由a3 a2 b3 b2a3 b3 a2 b2 a b a2 ab b2 a b a b 又a b 0 则可得 a b 2 ab a b 记a b t 则ab t2 t 可见a b是方程x2 tx t2 t 0的两个不相等的正根 故有1 t 从而得1 a b 7 设a b 0 且a3 a2 b3 b2 求证 1 a b 点评 对于同时含有形如a b ab式子的问题常可视a b为某一元二次方程的两个根 从而可构造出一个一元二次方程 用方程的有关理论求解 考题剖析 函数与方程的思想方法 返回目录 规律总结 返回目录 1 函数思想的应用主要有 求变量的取值范围 从而转化为求该函数的值域 构造函数是函数思想的重要体现 运用函数思想要抓住事物在运动过程中保持不变的规律和性质 从而更快更好地解决问题 运用方程观点解决问题主要有两个方面 一是从分析问题的结构入手 找主要矛盾 抓住某一关键变量 将等式看成关于这个主变量 常称主元 的方程 然后具体研究这个方程 二是在中学中常见的如求曲线交点 求函数值域等问题 经常转化为方程问题去解决 规律总结 函数与方程的思想方法 返回目录 2 在数学各分支中若遇到有关不等