第八章 8.4 直线、平面垂直的判定及其性质.ppt

一轮复习讲义 直线 平面垂直的判定及其性质 忆一忆知识要点 相交 垂直 任意 平行 平行 忆一忆知识要点 一条垂线 交线 忆一忆知识要点 两个半平面 垂直 直线与平面垂直的判定与性质 平面与平面垂直的判定与性质 线面 面面垂直的综合应用 线面 二面角的求法 06 几何证明过程要规范 答题规范 1 定义 如果直线l与平面 内的 直线都垂直 则直线l与此平面 垂直 2 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直 则该直线与此平面垂直 3 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 任意一条 相交 平行 1 直线与平面垂直 1 定义 如果两个平面所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 3 性质定理 两个平面垂直 则一个平面内 的直线与另一个平面垂直 直二面角 垂直于交线 垂线 2 平面与平面垂直 3 线面角 射影 锐 1 二面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作 的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 3 二面角的平面角的范围 两个半平面 垂直于棱 4 二面角的有关概念 判定 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 则称这条直线和这个平面垂直 1 直线与平面垂直 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 1 直线与平面垂直 判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 则这两个平面互相垂直 2 平面与平面垂直 性质 如果两个平面互相垂直 则其中一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 2 平面与平面垂直 立体几何 证明 1 连结ac1交a1c于e 连结de aa1c1c为矩形 则e为ac1的中点 又d是ab的中点 在 abc1中 de bc1 bc1 平面ca1d 又de 平面ca1d bc1 平面ca1d e e 1 证法二 1 证法三 a1 b1 c1 a b c d d1 又aa1 ab a cd 平面aa1b1b 又cd 平面ca1d 平面ca1d 平面aa1b1b 又aa1 平面abc cd 平面abc aa1 cd 证明 2 ac bc d为ab的中点 在 abc中 ab cd 例2 如图 在rt abc中 已知 acb 90 ac bc 1 pa 平面abc 且pa 求pb与平面pac所成的角 解 pa 平面abcbc 平面abc bc pa bc acpa ac a bc 平面pac bpc是pb与平面pac所成的角 在rt pac中 ac 1 pa 在rt pbc中 即pb与平面pac所成的角是300 例3 09 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd ad cd db平分 adc e为pc的中点 ad cd 1 db 2 1 证明pa 平面bde 2 证明ac 平面pbd 3 求直线bc与平面pbd所成的角的正切值 1 证明 设ac bd h 连结eh 在 adc中 因为da cd 且db平分 adc 又e为pc的中点 pa 平面bde 故eh pa 所以pa 平面bde 所以h为ac的中点 又eh 平面bde 例3 09 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd ad cd db平分 adc e为pc的中点 ad cd 1 db 2 例3 09 天津 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd ad cd db平分 adc e为pc的中点 ad cd 1 db 2 1 若pa pb pc 则o是 abc的 p a b c o 外心 例4 关于三角形的四心问题 设o为三棱锥p abc的顶点p在底面上的射影 2 若pa pb pc c 900 则o是ab的 点 中 p a b c o 例4 关于三角形的四心问题 垂心 e f p a b c o 3 若三条側棱两两互相垂直 则o是 abc的 例4 关于三角形的四心问题 4 若p到 abc三边的距离相等 且o在 abc的内部 则o是 abc的 d e f 内心 p a b c o 例4 关于三角形的四心问题 e f p a b c o 5 若三条側棱与底面成相等的角 则o是 abc的 外心 例4 关于三角形的四心问题 1 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 则a1d与平面abcd所成的角是 bd1与平面abcd所成的角的正弦值是 a1b与平面a1b1cd所成的角是 a b c d a1 b1 c1 d1 a b c d a1 b1 c1 d1 o 补偿练习 v b c a d 解 设棱长为2 取vc的中点 连接ad bd 2 已知正三棱锥v abc所有的棱长均相等 则二面角a vc b的余弦值为 补偿练习 3 已知abcd为正方形 pa 平面ac 问 图中所示的7个平面中 共有 对平面互相垂直 1 平面pab 平面abcd2 平面pac 平面abcd3 平面pad 平面abcd4 平面pab 平面pbc5 平面pab 平面pad6 平面pad 平面pcd7 平面pac 平面pbd 7 补偿练习 4 在正方体ac1中 m n分别是aa1和ab的点 若b1m mn 则 c1mn n a d c b a1 d1 b1 c1 m 90 补偿练习 5 如图 ab为平面 的一条斜线 b为斜足 ao 平面 垂足为o 直线bc在平面 内 已知 abc 60 obc 45 则斜线ab和平面 所成的角是 a c o d b 45 补偿练习 设ob 2 6 在棱长为1的正方体中 则点a1到平面ab1d1的距离是 a c d b a1 b1 d1 c1 方法一 坐标法 补偿练习 6 在棱长为1的正方体中 则点a1到平面ab1d1的距离是 a c d b a1 b1 d1 c1 方法二 等体积法 补偿练习 6 在棱长为1的正方体中 则点a1到平面ab1d1的距离是 a c d b a1 b1 d1 c1 x y z 方法三 综合法 补偿练习 2010 四川 如图 二面角 l 的大小是60 线段ab b l ab与l所成的角为30 则ab与平面 所成的角的正弦是 c o 学习改变命运思考成就未来 今日作业 又ad 平面abc ad bc 因为d为正三角形abc的边bc的中点 即二面角c1 da c