2019高考数学复习第九章平面解析几何9.4椭圆及其性质练习理.docx

9.4椭圆及其性质考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.椭圆的定义及其标准方程掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握2016天津,19;2015陕西,20;2014辽宁,15选择题解答题2.椭圆的几何性质掌握2017课标全国,10;2017浙江,2;2016课标全国,11;2016江苏,10;2016浙江,19填空题解答题3.直线与椭圆的位置关系掌握2017天津,19;2016四川,20;2016课标全国,20;2015江苏,18解答题分析解读1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.五年高考考点一椭圆的定义及其标准方程1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOAMAO,求直线l的斜率的取值范围.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2或x=,由题意得xB=,从而yB=.由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=.由BFHF,得=0,所以+=0,解得yH=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(xM,yM),由方程组消去y,解得xM=.在MAO中,MOAMAO|MA|MO|,即(xM-2)2+,化简得xM1,即1,解得k-,或k.所以,直线l的斜率的取值范围为.3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB=.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.教师用书专用(4)4.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=.答案12考点二椭圆的几何性质1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是() A.B.C.D.答案B2.(2017课标全国,10,5分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A3.(2016课标全国,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.答案A4.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)1+a2(2-a2)=0.由于k1k2,k1,k20得1+a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2),因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a,由e=得,所求离心率的取值范围为0b0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该椭圆的离心率是.答案7.(2013福建,14,4分)椭圆:+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆的一个交点M满足MF1F2=2MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-18.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=.进而得a=b,c=2b.故e=.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNSkAB=-1,从而有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.9.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.又因为点P在椭圆上,故+=1.由和可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-c,y1=c,进而圆的半径r=c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4.所以直线l的斜率为4+或4-.考点三直线与椭圆的位置关系1.(2016课标全国,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解析(1)因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.(2分)由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为+=1(y0).(4分)(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2).由得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.则x1+x2=,x1x2=.所以|MN|=|x1-x2|=.(6分)过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-(x-1),A到m的距离为,所以|PQ|=2=4.故四边形MPNQ的面积S=|MN|PQ|=12.(10分)可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8).(12分)2.(2017天津,19,14分)设椭圆+=1(ab0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.解析(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为APD的面积为,故=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=.所以,直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.教师用书专用(35)3.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(ab0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.解析(1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当ABx轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB=.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为PC=2AB,所以=,解得k=1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.4.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求的值;(ii)求ABQ面积的最大值.解析(1)由题意知2a=4,则a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(i)设P(x0,y0),=,由题意知Q(-x0,-y0).因为+=1,又+=1,即=1,所以=2,即=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由0,可得m24+16k2.则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以OAB的面积S=|m|x1-x2|=2.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由0,可得m21+4k2.由可知0n0),曲线C2:-=1(ab0).若C1与C2有相同的焦点F1、F2,且P同在C1、C2上,则|PF1|PF2|=()A.m+aB.m-aC.m2+a2D.m2-a2答案B3.(人教A选2-1,二,2-2-1,1,变式)平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是()A.1,4B.2,6C.3,5D.3,6答案C4.(2017江西九江模拟,8)F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且AF1F2=45,则AF1F2的面积为()A.7B.C.D.答案C5.(2017湖南东部六校4月联考,15)设P,Q分别是圆x2+(y-1)2=3和椭圆+y2=1上的点,则P、Q两点间的最大距离是.答案考点二椭圆的几何性质6.(2018四川凉山州模拟,4)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案D7.(2018四川达州模拟,7)以圆x2+y2=4与x轴的交点为焦点,以抛物线y2=10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案C8.(2017河南4月质检,11)已知椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为()A.B.C.D.答案D考点三直线与椭圆的位置关系9.(2018安徽合肥模拟,8)已知椭圆C:+y2=1,若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上,则l的斜率为()A.-2B.2C.-D.答案A10.(2018广东广州模拟,10)已知点M(-1,0)和N(1,0),若某直线上存在点P,使得|PM|+|PN|=4,则称该直线为“椭型直线”.现有下列直线:x-2y+6=0;x-y=0;2x-y+1=0;x+y-3=0.其中是“椭型直线”的是()A.B.C.D.答案C11.(2017湖南百校联盟4月联考,10)已知椭圆+=1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切,且该圆与y轴的正半轴交于点C,过点C的直线交椭圆于M、N两点.若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案A12.(2017湖南益阳调研,20)已知椭圆+=1(ab0)的离心率e=,点P(0,)在椭圆上,A、B分别为椭圆的左、右顶点,过点B作BDx轴交AP的延长线于点D,F为椭圆的右焦点.(1)求椭圆的方程及直线PF被椭圆截得的弦长|PM|;(2)求证:以BD为直径的圆与直线PF相切.解析(1)椭圆过点P(0,),b=,e=,=,结合a2=b2+c2,得a=2,c=1,椭圆的方程为+=1.则F(1,0),结合P(0,),可得直线PF的方程为y=-(x-1),与椭圆方程联立,得消去y,得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=.由弦长公式得|PM|=|x1-x2|=.(2)证明:易得A(-2,0),B(2,0),直线AP的方程为y=(x+2),直线BD的方程为x=2,两方程联立,求得D(2,2),所以以BD为直径的圆的圆心为(2,),半径R=,圆心到直线PF的距离d=,所以以BD为直径的圆与直线PF相切.B组20162018年模拟提升题组(满分:50分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018四川德阳模拟,9)设点P为椭圆C:+=1上一点,F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点,且PF1F2的重心为点G,若|PF1|PF2|=34,那么GPF1的面积为() A.24B.12C.8D.6答案C2.(2018广东清远模拟,11)已知m、n、s、tR*,m+n=3,+=1,其中m、n是常数且mb0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,O为坐标原点,直线OA的斜率为,=|2,则椭圆的离心率为() A.B.C.D.答案A二、填空题(共5分)4.(2017安徽安庆二模,15)已知椭圆+=1(ab0)短轴的端点为P(0,b)、Q(0,-b),长轴的一个端点为M,AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若PA、PB的斜率之积等于-,则P到直线QM的距离为.答案三、解答题(共30分)5.(2018广东茂名模拟,20)已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为2,设右焦点为F,过原点O的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AF的中点为M,线段BF的中点为N,且=.(1)求弦AB的长;(2)当直线l的斜率k=,且直线ll时,l交椭圆于P,Q,若点A在第一象限,求证:直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.解析(1)由题意可知2c=2,c=,设F(,0),A(x0,y0),B(-x0,-y0),则M,N,由=,则+=5,则|AB|=2=2.(2)证明:直线l的斜率k=,l:y=x,设l:y=x+m(m0),y0=x0,由+=5,得A(2,1),由c=,代入椭圆方程解得a=2,b=,椭圆的方程为+=1,联立整理得x2+2mx+2m2-4=0,=4m2-4(2m2-4)0,即m(-2,0)(0,2).设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则k1=,k2=.由x2+2mx+2m2-4=0,可得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,k1+k2=+=0,即k1+k2=0.直线AP,AQ与x轴围成一个等腰三角形.6.(2017江西红色七校一联,21)已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P,Q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求POQ的面积;(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)(0mb0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆的方程为+y2=1.(2)根据题意得直线l的方程为y=x-1,联立得P,Q的坐标为(0,-1),|PQ|=,易得点O到直线PQ的距离为,所以SOPQ=.(3)存在.假设在线段OF上存在点M(m,0)(0m1),使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,因为直线l与x轴不垂直,所以直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2),由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=,x1x2=,由于以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,|=|,设PQ的中点为N,则N,又kkMN=-1,m=,0mb0)的左、右焦点分别为F1、F2,左顶点为A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的任意一点,求的取值范围.解析(1)|F1F2|=2,椭圆的离心率e=,c=1,a=2,b=,椭圆的标准方程为+=1.(2)设P(x,y),A(-2,0),F1(-1,0),=(-1-x)(-2-x)+y2=x2+3x+5,由椭圆方程得-2x2,二次函数图象开口向上,对称轴为x=-6b0)和圆O:x2+y2=b2,若C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B,满足APB=60,则椭圆C的离心率的取值范围为.答案5.(2017河南开封一模,20)已知平面直角坐标系xOy中,椭圆的中心为坐标原点,焦点在x轴上,其左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆右焦点F2且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点,且+与a=(3,-1)共线.(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆短轴的一个端点到右焦点的距离为,直线l与椭圆C交于P,Q两点,坐标原点O到直线l的距离为,求POQ面积的最大值.解析(1)设椭圆的方程为+=1(ab0),右焦点F2(c,0)(c0),则直线AB的方程为y=x-c.设A(x1,y1),B