天津市大学数学竞赛试题参考答案

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）三、求极限（本题6分）解：；由此得到： 四、求星形线，在处的切线与Ox轴的夹角（本题6分）解：， ，故 ，即倾角的正切tg=1，于是得到切线与Ox轴的夹角。五、已知方程定义了函数，求。（本题7分）解：,六、计算（本题6分）解：命：，于是七、计算。（本题7分）解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。九、已知a0，x10，定义 求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：注意到：当n 2时，因此数列有下界。又，即xn+1xn ，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限 设：，则有.由，有，解得（舍掉负根），即。十、证明：当x 0时，。（本题7分）证明：设（x 0），则 即在区间（0,+）上函数y单调递减，又，所以（x 0），即。十一、设函数在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）证明：由积分中值定理知，存在，使得. 又函数在区间上连续,内可导,由罗尔定理知,至少存在一点，使得。十二.设在区间上具有二阶导数,且,.证明 （本题8分）证明：对任意的，及任意的h 0，使x + h (a，+)，于是有，其中,即故，（，h 0）.命，试求其最小值。命，得到，所以，在处得极小值，亦即最小值， 故，（）。 2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。）1. 。2. 设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3. 。 4. 设，则。5将二重积分变换积分次序得I = 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。）1. 曲线的渐近线有（ B ） （A） 1条；（B） 2条；（C） 3条；（D） 4条。2. 若，则当n2时（ A ）（A）； （B）； （C）； （D）3. 已知函数f (x)在（，+）内有定义，且x0是函数f (x)的极大值点，则（ C ）（A）x0是f (x)驻点； （B）在（，+）内恒有f (x)f (x0)；（C）x0是f (x)的极小值点； （D）x0是f (x)的极小值点。4. 设，则z = z (x,y)在点（0，0）（ D ）（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微； （C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。5. 设D为由折线所围成的区域，D1，D2，D4为D在第1、2、4象限部分，则（ D ）（A）；（B）；（C）；（D）三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分）解：，故。四、已知函数f (x) 连续，求。（本题6分）解：命u = t x，则当 t = 0 时，u = x；t = x 时，u = 0，于是五、设方程， 当常数a ，b满足何种关系时，方程有唯一实根？ 当常数a ，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）解：设，x+，求导得。命得唯一驻点，又，故当时，y有最小值。且最小值为, 又当x 时，y ；x 时，y ，因此， 当且仅当时，方程有唯一实根 当时，方程无实根。六、在曲线y = x2（x 0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为，试求： A点的坐标； 过切点A的切线方程； 该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）解： 设A点坐标为 (x0，y0)，则y0 = x02，于是可知切线方程:y x02 = 2x0（x x0）即由题设，有,故有。 切线方程为。 在上述切线方程中命y = 0，得到，故所求旋转体的体积七、计算。（本题7分）解：解法1命，则有，于是有。同理，所以有。解法2命，则八、设，其中具有连续的一阶偏导数，且。（本题7分）解：将y = sinx代入，得到，显然方程确定了 z 是x 的隐含数 z = z (x) ，所以又由,得到九.设某工厂生产A、B两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y（单位为吨）时总收益函数为（万元）,已知生产产品A时，每吨需支付排污费1万元；生产产品B时，每吨需支付排污费2万元。若要限制排污费为14万元，试问这两种产品的产量各为多少时，工厂的总利润最大？最大总利润为多少？（7分） 解：问题化为在条件 x + 2y = 14下，求利润函数的最大值。设，命解得唯一驻点 x = 6，y = 4。因驻点唯一，且实际问题存在最大值，故当x = 6，y = 4时，工厂获得最大利润。此最大利润为万元。十、计算，其中区域D为：。（本题7分）解：把区域D划分为D1，D2，D3，其中 在D1上；在D2上；在D3上。故十一、证明：当 0 x 1时，。（本题7分）证明：本题即证当 0x 0时，因而在区间(0,1)内单调减少，即，于是有，即。十二、已知函数在区间 0,2a （a 0）上连续， 证明； 计算。（本题8分） 证明：要证原等式，只需证；事实上原题得证。 解：利用的结果，命 2a = ，此时，于是有2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）三、a，b，c为何值时，下式成立。（本题6分）解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0,当b= 0时使用诺必达法则得到，由上式可知：当时,若,则此极限存在,且其值为0;若a = 1,则综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；或a = 1，b = 0，c = 2。四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。 确定a的值，使在点x = 0处可导,并求. 讨论在点x = 0处的连续性（本题8分）解： 欲使在点x = 0处可导，在点x = 0处必须连续，于是有即当时,在点x = 0处连续.当时,；当x = 0时，故：。 所以在点x = 0处连续五、设正值函数在上连续，求函数的最小值点（本题6分）解：注意到：在上,因此，当x 1时,.命:,得，解此方程得到唯一驻点x = 2.又，当时,；当x 2时，所以在点x = 2处取得极小值，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是的最小值点，最小值为。六、设，且，求。（本题6分） 解： 七、设变换，把方程化为，试确定a （本题7分）解： 计算一、二阶偏导数代入方程：，得到，于是有，所以八.计算,其中且均为常数（7分）解：积分区域D为与的公共部分。取极坐标计算，有xtan九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y = f (x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求。（本题8分）解： 过点的曲线y = f (x)的切线方程为：，注意到：由于，所以当时，.因此,此直线在x轴上的截距为.且。利用泰勒公式将在点处展开，得到。类似可得：。代入得十、设函数f (x)在闭区间上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的和，使得（本题7分）证明：取数，由连续函数介值定理知，存在，使得。在区间0,C与C,1上分别应用拉格朗日中值定理，有 显然由于，所以，即。从而，注意到：若取,则,并且,代入得十一、设,试证明在区间上有且仅有两个实根。（本题7分）证明： 由于是偶函数，所以是奇函数，是偶函数，于是知为偶函数。又注意到：，（当x 0时）。因此，函数在闭区间0,1上有且仅有唯一一个实根；又为偶函数，所以在闭区间上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根。十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：,其中：D为圆域。（本题8分）证明：取极坐标系，由，得到，将上式两端同乘r，得到。于是有由积分中值定理，有，其中。故。2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求：，及。（本题6分）解：因为 ，所以 。由无穷小比较，可知 ,以及从而,其中，即由此可得,并有。四、计算。（本题6分） 解：五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）证明：方法一：利用莱布尼兹公式， 又由归纳法可得,故,所以。 方法二：利用泰勒公式，故，。六、设为定义在上，以T 0为周期的连续函数，且。求.（7分）解：对于充分大的x 0，必存在正整数n，使得。又 ，故有 ，。注意到:,且当时,.由夹逼定理可知。七、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）证明：设，则其在区间上连续，且，。因而，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。同理，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。综上可知，方程至少有两个实根。八、求过直线与曲面相切的切平面方程。（本题7分）解：命，则。设过直线与曲面相切的切平面方程为 即 。其法向量为。设曲面与切平面的切点坐标为，则有 由、解得：代入式，得到，解之得，进而可求得。故所求切平面方程为：，或 。即 或。九、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）解： 函数的方向导数的表达式为,其中：为方向的方向余弦。因此于是，按照题意，即求函数在条件下的最大值。设，则由得以及，即得驻点为与.因最大值必存在，故只需比较，的大小。由此可知为所求。十、计算。（本题8分）解：命.记:D为区域；D1为区域；D2 = D-D1。故在区域D1上，；在区域D2上，。所以其中。对于，注意到：的极坐标方程为，因此。故。十一、设。证明存在，并求之。（本题8分）证明： 证明存在：注意到：对于一切的n恒有，因此知数列有界。又，于是可知与同号，故当时，数列单调递增；当时，数列单调递减。也就是