湖南省洞口一中高考数学二轮专题总复习 专题3第2课时 不等式的证明与基本不等式课件 理.ppt

第2课时不等式的证明与基本不等式 1 高考考点 1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 2 易错易漏 1 应用基本不等式解决简单的最大 小 值问题时 取 号条件的判断 2 不等式证明的书写格式 3 归纳总结 1 执因索果 与 执果索因 的分析问题能力 2 解题中要贯穿转化与化归 数形结合 函数与方程的思想 b 解析 两个不相等的正数的算术平均数大于几何平均数 2 面积为225的矩形的周长的最小值为 a 60b 30c 100d 900 a 5 若正数a b满足ab a b 3则a b的取值范围是 1 比较法是最基本也是非常重要的方法 作差比较法的步骤 作差 变形 判断差的符号 变形是手段 判断差的符号才是目的 作商比较法的步骤 作商 变形 判断商与1的大小 2 分析法与综合法是对立统一的两种方法 分析法是执果索因 步步寻求上一步成立充分条件 其逻辑关系是b 结论 b1 b2 bn a 已知 综合法是由因导果 利用已证明过的不等式或不等式的性质 推导所要证明的不等式 其逻辑关系是a 条件 a1 a2 an b 结论 通常用分析法探索证题途径 然后用综合法表述证明过程 所以分析法和综合法经常合在一起使用 3 不等式的证明方法还有 放缩法 换元法 反证法 数学归纳法 利用函数的单调性证法 构造一元二次方程利用判别式证法 数形结合法等 5 以不等式为纽带 体现了各数学分支之间的交叉和综合 尤其是对变量的范围和最大 小 值的研究 常常用到不等式的性质以及平均值定理等 题型一不等式的证明 例1 1 证明 a2 b2 1 a b ab 2 一杯未饱和的糖水中加入一些糖 溶解后糖水更甜了 请根据这个事实写一个不等式 并证明 分析 1 不等式证明的常规方法 比较法 综合法 分析法 2 实际问题 糖水更甜 转化为数学问题 浓度更大 证法2 因为a2 b2 2ab b2 1 2b 1 a2 2a 所以2 a2 b2 1 2 a b ab 所以a2 b2 1 a b ab 当且仅当a 1 b 1时取等号 证法3 a2 b2 1 a b ab a2 b 1 a b2 b 1 令g a a2 b 1 a b2 b 1 则d b 1 2 4 b2 b 1 3b2 6b 3 3 b 1 2 0 所以g a 0 所以 a2 b2 1 a b ab 0 即a2 b2 1 a b ab 点评 1 证法1是比较法 证明的关键是设法把差变形 变形的常用方法是配方法和因式分解法 证法2是综合法 其关键是利用某些已经证明过的不等式作为基础 再运用不等式的性质推导出所要证的不等式 证法3构造一元二次方程 并利用判别式证法证明不等式 2 本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题和解决问题的能力 当要证明的不等式较为复杂时 两端的差异难以消除或者已知信息量太少或者已知与待证间的联系不明显时 一般采用分析法 题型二基本不等式的应用 分析 先找出定点a的坐标 再找出m n的一个等量关系 最后