立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例).ppt

立体几何 习题课 例1 已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形 另一个侧面是等腰直角三角形 求此三棱锥的体积 A B C S E F 提示 设三棱锥S ABC 侧面SAC SBC为等边三角形 边长为 SA SB 取SA中点E AB中点F 连接AE BE EF 可证得 SC 平面ABE 利用 VS ABC VS ABE VC ABE得三棱锥体积 注意 分割法求体积 KEY A B C S D 例1 已知三棱锥的两个侧面都是边长为的等边三角形 另一个侧面是等腰直角三角形 求此三棱锥的体积 法二 取AB中点D 连接SD CD 易得 ABC为等腰直角三角形 ACB 90o 则有SD AB CD AB 又SA SB SC S在底面的射影为底面的外心 即点D SD 平面ABC 由VS ABC S ABC SD得三棱锥体积 解法2 例2 在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中 求D1到截面C1BD的距离 A B C D A1 B1 C1 D1 提示 利用 求解 注意 等体积法求点面距离 KEY 例3 在各棱长均为1的正三棱柱ABC A1B1C1中 1 BC1与侧面ABB1A1所成的角为 2 如果M为CC1的中点 则截面AB1M与底面所成的角的大小为 A B C A1 B1 C1 D N 注 1 中利用面面垂直的性质找线面成角 2 中射影面积公式的应用 S AB1M cos S ABC 45o 例4 三棱锥V ABC中 VA 底面ABC ABC 90o VA a VB b AC c c b M是VC中点 1 求证 V A B C四点在以M为球心的球面上 2 求VC与AB所成的角的大小 A V B C M E F G 例5 已知三棱锥P ABC PA BC 5 PB AC PC AB 求三棱锥的体积 提示 分别以三组对棱作为一长方体的相对面的对角线 将原三棱锥补成一个长方体 如图 则VP ABC V长方体 4V 设长方体长宽高分别为a b c 则有 所以三棱锥P ABC的体积为20 立方单位 P A B C 例6 三棱锥P ABC中 AP AC PB 2 将此棱锥沿三条侧棱剪开 其展开图是一个直角梯形P1P2P3A 1 求证 侧棱PB AC 2 求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值 A B C P D B P1 P2 P3 A D C E 2 2 m m m n n 甲 乙 B P1 P2 P3 A D C E 2 2 m m m n n A B C P D 解 1 略 2 甲图中 作PD AC于D 连接BD 可得 PDB即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角 乙图中 作AE CP3于E点 则AE P1P2 4 PA AC 即P3A AC E为CP3的中点 设AP1 AC AP3 m CE EP3 n 由CP2 CP3得 m n 2n m 3n 又在 ACP3中有 AE CP3 AC DP3 而AE 4 由 得 DP3 8 3 即PD 8 3 甲图Rt BPD里 BD 10 3 cos PDB 4 5 为所求 甲 乙 2 如图 有一轴截面为正三角形的圆锥形容器 内部盛水高度为h 放入一个小球后 水面恰好与球相切 求球的半径 R 2R