福建省长泰县第一中学高三数学二轮复习 专题02 思想方法 数形结合的思想方法课件.ppt

高考复习系列课件92 数学第二轮复习 02 思想方法 数形结合的思想方法 92 思想方法 数形结合的思想方法 考题剖析 规律总结 知识概要 03 05 23 数形结合的思想方法 1 数形结合是数学解题中常用的思想方法 使用数形结合的方法 很多问题能迎刃而解 且解法简捷 所谓数形结合 就是根据数与形之间的对应关系 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法 数形结合思想通过 以形助数 以数解形 使复杂问题简单化 抽象问题具体化 能够变抽象思维为形象思维 有助于把握数学问题的本质 它是数学的规律性与灵活性的有机结合 2 实现数形结合 常与以下内容有关 实数与数轴上的点的对应关系 函数与图象的对应关系 曲线与方程的对应关系 以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念 如复数 三角函数等 所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义 如等式 x 2 2 y 1 2 4 知识概要 返回目录 数形结合的思想方法 3 纵观多年来的高考试题 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题 可起到事半功倍的效果 数形结合的重点是研究 以形助数 4 数形结合的思想方法应用广泛 常见的如在解方程和解不等式问题中 在求函数的值域 最值问题中 在求复数和三角函数问题中 运用数形结合思想 不仅直观易发现解题途径 而且能避免复杂的计算与推理 大大简化了解题过程 这在解选择题 填空题中更显其优越 要注意培养这种思想意识 要争取胸中有图 见数想图 以开拓自己的思维 视野 返回目录 知识概要 数形结合的思想方法 考题剖析 返回目录 1 设命题甲 0 x 3 命题乙 x 1 4 则甲是乙成立的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 不充分也不必要条件 考题剖析 返回目录 数形结合的思想方法 解析 解法1 由命题乙 x 1 4可得 3 x 5 所以命题甲是命题乙的充分不必要条件 解法2 将两个命题用数轴表示 如图 从上图可以看出 命题甲是命题乙的充分不必要条件 所以选a 点评 对于处理集合的问题 可以用数形结合的方法 如果是含字母参数的 可以画韦恩图 如果是具体的数集 则可以画数轴 都可以使用集合间的关系直观化 a 2 已知函数y f x 0 x 1 的图象如右图 若0 x1 x2 1 则 a b c d 以上都不正确 返回目录 考题剖析 数形结合的思想方法 解析 由选项的结构特点 联想到两点间的斜率公式 事实上 可以看作是点 x f x 与原点连线的斜率 由图象不难得出答案为a 点评 在解题的过程中 要注意一些式的几何意义 一般地可联系到斜率 可联系到距离公式 a 3 已知双曲线的右焦点为f 若过点f的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 则此直线斜率的取值范围是 a b c d 返回目录 解析 如图 当过右焦点的直线与渐近线平行时 由双曲线性质可知 此时直线与双曲线右支有且仅有一个交点 且与整个双曲线也仅此一个交点 当过右焦点的直线位于两条渐近线之间时 直线与双曲线左右支均交于一点 也符合题干条件 又由双曲线方程 1 有双曲线的渐近线方程为y x 所以有 k 点评 本题还可以设直线方程为y k x 4 与双曲线方程联立 求 0 但不可忽略直线与双曲线左右支各交于一点的情况 利用韦达定理确定k的值 基于本题是选择题 不提倡采用解析法 本题重点在于考查数形结合的思想 c 考题剖析 数形结合的思想方法 4 2007 湖南三市七校试题 若不等式 x a 0 的解集为 x m x n 且 m n 2a 则a的值为 a 1b 2c 3d 4 返回目录 解析 画出y y x的图象 依题意 m a n a 从而 aa 0或2 故选b 点评 本题很好地体现了数形结合的优越性 如果单纯地从数的观点来解题的话 得出m a与n a也是有一定的难度的 但从形的角度出发 可以很直观地看出 这也就说明了解小题时 一定要重视这种思想的应用 b 考题剖析 数形结合的思想方法 5 甲 乙两人相约7 00 8 00在某地会面 假定每人在这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性是相同的 先到者等20分钟后便离去 则两人能会面的概率为 返回目录 解析 在平面上建立直角坐标系 直线x 60 直线y 60 x轴 y轴围成一个正方形区域g 设甲7时x分到达会面地点 乙7时y分到达会面地点 这个结果与平面上的点 x y 对应 于是试验的所有可能结果就与g中的所有点一一对应 考题剖析 数形结合的思想方法 由题意知 每一个试验结果出现的可能性是相同的 甲乙两人能会面 当且仅当他们到达会面地点的时间相差不超过20分钟 即 y x 20 x 20 y x 20 因此 图中的阴影区域g就表示 甲乙能会面 容易求得g的面积为602 402 2000 g的面积为3600 由几何概型的概率计算公式 甲乙能会面 的概率p 甲乙能会面 g的面积 g的面积 点评 解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形 利用图形的几何度量来求随机事件的概率 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 6 设函数y f x 是最小正周期为2的偶函数 它在区间 0 1 上的图象为如右图所示的线段ab 则在区间 1 2 上 f x 解析 解法1 题目已给出f x 在区间 0 1 的图象 可运用数形结合与对称的思想方法 由y f x 是偶函数 由 形 对称变换到 形 得函数y f x 在区间 1 0 上的图象 如下图的线段ca 由y f x 是最小正周期为2的函数 再由 形 向右平移到 形 得到函数y f x 在区间 1 2 上的图象 如右图所示的线段bd 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 由 形 到 数 函数y f x 在区间 1 2 上的图象是经过b 1 1 d 2 2 的直线 由待定系数法 求得f x x x 1 2 考题剖析 数形结合的思想方法 解法2 也可以由 形 到 数 用待定系数法求得 当x 0 1 时 f x x 2 由偶函数 当x 1 0 时 f x f x x 2 x 2 0 x 1 由最小正周期为2 得当x 1 2 时 f x f x 2 x 2 2 x 返回目录 点评 解法1根据偶函数与周期函数的特征作出在 1 2 上的图象 再根据图象找出解析式 解法2 先由图形确定在 0 1 上的解析式 再利用周期性和奇偶性将 1 2 上的解析式化归到 0 1 上进行处理 两种解法都恰当利用了 数 与 形 的有机结合 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 7 函数y 的最大值为 最小值为 解析 y 表示点p cosx sinx 与点a 2 0 连线的斜率的取值范围 而点p在单位圆上 如右图 过a作单位圆的切线ab ac 易知kab kac 为斜率的最大值和最小值 那么y的最大值为 最小值为 点评 对于分式型问题的处理 常可构造斜率模型 利用数形结合的思想方法进行求解 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 8 解关于x的不等式 x2 1 0 解析 设分别作出两个函数的图象 由令y1 y2 求出交点横坐标 x1 x2 从图形不难看出当函数y2的图象位于y1的图象的上方时 对应的x值的取值范围即为原不等式的解 x 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 点评 图象法解不等式与图象法解方程有类似之处 首先求出两函数图象交点的横坐标 即方程的根 然后根据不等式的方向从图象中判断解的区间 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 9 实系数一元二次方程x2 ax 2b 0的一根在 0 1 上 另一根在 1 2 上 求的取值范围 分析 用二次函数的图象研究根的分布问题 再研究所得不等式和式子的几何意义 解析 由x2 ax 2b 0的二根分别在区间 0 1 与 1 2 上的几何意义为y f x x2 ax 2b与x轴的两交点的横坐标分别在区间 0 1 1 2 内 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 在aob坐标平面内 上面不等式表示的点集为 abc的内部 如图所示 a点由解得a 3 1 b点由解得b 2 0 c点由解得c 1 0 而的几何意义是点 a b 与点d 1 2 连线的斜率 kad kcd 1 由图知kad kcd 1 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 点评 本题是二次方程根的分布 线性规划等的小型综合题 本题解法中两次用到数形结合 一是研究方程根的分布 利用了二次函数的图象 二是在研究的取值范围时 根据其几何意义为斜率 列出不等式 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 10 2007 岳阳质检 已知奇函数f x 1 求实数m的值 并在给出的直角坐标系中画出y f x 的图象 2 若函数f x 在区间 1 a 2 上单调递增 试确定a的取值范围 解析 1 当x0 f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 f x f x x2 2x f x x2 2x m 2y f x 的图象如右所示 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 2 由 1 知f x 由图象可知 f x 在 1 1 上单调递增 要使f x 在 1 a 2 上单调递增 只需解之得 3 a 1或1 a 3 考题剖析 数形结合的思想方法 返回目录 规律总结 返回目录 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位 其 数 与 形 结合 相互渗透 把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合 使代数问题 几何问题相互转化 使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想 就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系 既分析其代数意义又揭示其几何意义 将数量关系和空间形式巧妙结合 来寻找解题思路 使问题得到解决 运用这一数学思想 要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 规律总结 返回目录 数形结合的思想方法 数形结合的两个方面 即以形助数 以数解形 1 以形助数的体现 利用曲线方程解题 利用 直线的斜率 利用 单位圆 利用 点到直线的距离 利用 两点间的距离 利用 直线的截距 利用 平行线间的距离 利用 直线的方程 利用函数的图象 利用几何图形解题 利用向量运算 利用 三角形三边的关系 利用勾股定理构图 返回目录 规律总结 数形结合的思想方法 2 以数解形的体现 向量坐标