浙江省宁波市支点教育培训学校八年级数学上册 特殊三角形复习课件1 浙教版.ppt

第二章特殊三角形复习课 等腰三角形的性质与判定1 性质 1 等腰三角形的两个底角相等 2 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 2 判定定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 2 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形性质与判定的应用 1 计算角的度数利用等腰三角形的性质 结合三角形内角和定理及推论计算角的度数 是等腰三角形性质的重要应用 已知角的度数 求其它角的度数 已知条件中有较多的等腰三角形 此时往往设法用未知数表示图中的角 从中得到含这些未知数的方程或方程组 2 证明线段或角相等 以等腰三角形为条件时的常用辅助线 如图 若ab ac 作ad bc于d 必有结论 1 2 bd dc 若bd dc 连结ad 必有结论 1 2 ad bc 作ad平分 bac必有结论 ad bc bd dc作辅助线时 一定要作满足其中一个性质的辅助线 然后证出其它两个性质 不能这样作 作ad bc 使 1 2 例1已知一腰和底边上的高 求作等腰三角形 分析 我们首先在草稿上画好一个示意图 然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程 已知 线段a h求作 abc 使ab ac a 高ad h作法 1 作pq mn 垂足为d2 在dm上截取da h3 以点a为圆心 以a为半径作弧 交pq于点b c4 连结ab ac则 abc为所求的三角形 例题分析 例2 如图 已知在 abc中 ab ac bd ac于d ce ab于e bd与ce相交于m点 求证 bm cm 证明 ab ac abc acb 等边对等角 bd ac于d ce ab于e bec cdb 90 1 acb 90 2 abc 90 直角三角形两个锐角互余 1 2 等角的余角相等 bm cm 等角对等边 说明 本题易习惯性地用全等来证明 虽然也可以证明 但过程较复杂 应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用 例题分析 例3 已知 如图 a 90 b 15 bd dc 请说明ac bd的理由 解 bd dc b 15 dcb b 15 等角对等边 adc b dcb 30 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和 a 90 ac dc ac bd 例题分析 例4 已知 如图 c 90 bc ac d e分别在bc和ac上 且bd ce m是ab的中点 求证 mde是等腰三角形 分析 要证 mde是等腰三角形 只需证md me 连结cm 可利用 bmd cme得到结果 证明 连结cm c 90 bc ac a b 45 m是ab的中点 cm平分 bca 等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合 mce mcb bca 45 b mce mcb cm mb 等角对等边 在 bde和 cem中 bdm cem sas md me mde是等腰三角形 例题分析 例5 如图 在等边 abc中 af bd ce 请说明 def也是等边三角形的理由 解 abc是等边三角形 ac bc a c ce bd bc bc ac ce cd ae在 aef和 cde中 aef cde sas ef de同理可证ef df ef de df def是等边三角形 说明 证明等边三角形有三种思路 证明三边相等 证明三角相等 证明三角形是有一个角为60 的等腰三角形 具体问题中可利用不同的方式进行求解 例题分析 例6 如图2 8 1 中 ab ac d为ab上一点 e为ac延长线上一点 且bd ce de交bc于g请说明dg eg的理由 思路因为 gdb和 gec不全等 所以考虑在 gdb内作出一个与 gec全等的三角形 说明本题易明显得出dg和eg所在的 dbg和 ecg不全等 故要构造三角形的全等 本题的另一种证法是过e作ef bd 交bc的延长线于f 证明 dbg efg 同学们不妨试一试 例题分析 例7 如图2 8 6 在 abc中 ab ac cb ae cd ad be相交于p bq ad于q 请说明bp 2pq的理由 思路在rt bpq中 本题的结论等价于证明 pbq 30 证明 ab ca bae acd 60 ae cd bae acd abe cad bpq abe bap cad bap 60 又 bq ad pbq 30 bp 2pq 说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数 这种转换问题的方法值得同学们细心体会 例题分析 例8 如图 在 abc中 d e在直线bc上 且ab bc ac ce bd 求 eac的度数 探索 如图 在 abc中 d e在直线bc上 且ab ac ce bd dae 100 求 eac的度数 例题分析 1 下列结论叙述正确的个数为 1 等腰三角形高 中线 角平分线重合 2 等腰三角形两底角的外角相等 3 等腰三角形有且只有一条对称轴 4 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 练习 2 等腰三角形顶角为36 底角为 3 等腰三角形顶角和一个底角之和为100 则顶角度数为 4 等腰三角形两个角之比为4 1 则顶角为 底角为 5 等腰三角形两边长为4 6 这个三角形周长为 6 已知 abc中ab ac ab垂直平分线交ac于e 交ab于d 连结be 若 a 50 ebc 7 abc中 ab ac ad bc于d 若 abc的周长为50 abd的周长为40 则ad 8 若等腰三角形顶角为n度 则腰上的高与底边的夹角为 9 如图 线段od的一个端点o在直线a上 以od为一边画等腰三角形 并且使另一个顶点在直线a上 这样的等腰三角形能画多少个 150 a 9 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成 两部分 已知三角形底边长为 求腰长 解 如图 令cd x 则ad x ab 2x 底边bc 5 bc cd 5 xab ad 3x 5 x 3x 2 1或3x 5 x 2 1 x x 2x 5 10 如图 d是正 abc边ac上的中点 e是bc延长线上一点 且ce cd 试说明bd de的理由 1 2 解 abc是正三角形 abc acb 600 d是ac边上的中点 1 abc 300 ce cd 2 e 2 e acb 600 e 300 1 e bd de 3 如图 在rt abc中 acb 900 cab的平分线ad交bc于d ab边上的高线ce交ab于e 交ad于f 求证 cd cf 1 2 3 f 分析 cd cf 1 2 1 b bad 2 3 dac 3 b 1 90 bad 90 cad acb 90 ce是ac边上高 1在直角三角形中 两个锐角 2 直角三角形 的平方和等于 的平方 如果用字母a b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边 那么 3 如果三角形中 两边的平方和等于 一边的平方 那么这个三角形是直角三角形 所对的角是直角 4 在直角三角形中 如果一个锐角等于 度 那么它所对的直角边等于 的一半 5 在直角三角形中 如果一条直角边等于 那么这条直角边所对的角等于300 还记得吗 3 如果等腰三角形底边上的高线等于腰长的一半 那么这个等腰三角形的三内角分别是 4 一艘轮船以16千米 时的速度离开港口向东北方向航行 另一艘轮船同时离开港口以12千米 时的速度向东南方向航行 那么它们离开港口1 5小时后 相距 千米 温故知新 一 填空1 在 abc中 如果 a b c 且ac 1 2ab 则 b 2 如图 abc中 acb 90o cd ab 垂足是d bc 5cm bd 1 2bc 则ad cm 30o 7 5 30o30o120o 30 二 选择 1 满足下列条件的 abc 不是直角三角形的是 a b2 a2 c2b c a bc a b c 3 4 5d a b c 12 13 152 下列条件中 不能判定两个直角三角形全等的是 a 一条直角边和一个锐角分别相等b 两条直角边对应相等c 斜边和一条直角边对应相等d 两个锐角对应相等 3 如图 ea ab bc ab ab ae 2bc d为ab的中点 有以下判断 1 de ac 2 de ac 3 cab 30o 4 eaf ade 期中正确结论的个数是 a 一个b 两个c 三个d 四个4 如图 在 abc中 acb 90o cd是高线 e是ab上一点 且ae ac ace acd 3 1 则与 dce相等的角是 a ab bc bced 以上都错 6 如图 某校a与公路距离为3000米 又与该公路旁上的某车站d的距离为5000米 现要在公路边建一个商店c 使之与该校a及车站d的距离相等 则商店与车站的距离约为 a 875米 b 3125米 c 3500米 d 3275米 5 如图 一个长为25分米的梯子 斜立在一竖直的墙上 这时梯足距墙底端7分米 如果梯子的顶端沿墙下滑4分米 那么梯足将滑 a 15分米 b 9分米 c 8分米 d 5分米 思考 若a城与b地的方向保持不变 为了确保a城不受台风影响至少离b地多远 解 作ad bf 由已知可得 fba 300 ad 1 2ab 150km而150 200 a城会受到台风的影响 应用与延伸 例9 如图 设a城市气象台测得台风中心 在a城正西方向300千米的b处 正向北偏东600的bf方向移动 距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域 那么a城是否受到这次台风的影响 为什么 如果你是气象员 请你算一算 d 例10 如图 已知ab ad cb cd ac bd相交于点o 若ab 5 ac 7 bd 6 求 bcd的度数 分析 ab ad 点a在线段bd的中垂线上同理点也在bd的中垂线上 ac bd且平分bd bd 6 bo 3 ab 5由勾股定理得ao 4 ac 7 oc 3 boc等腰直角三角形 bco 45 同理 dco 45 bcd 90 例11