第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化.doc

第五章 特征值与特征向量 矩阵的对角化本章介绍矩阵的特征值和特征向量概念, 并利用它们解决矩阵的对角化问题。另外特征值理论在解线性微分方程组和工程技术中诸如振动与稳定性问题时, 都有广泛的应用。1 矩阵的特征值与特征向量定义1 设A是n阶方阵,如果存在数和非零的n 维向量,使得 (1.1)那么, 称为矩阵A的一个特征值,而称为A 的属于特征值的一个特征向量。从几何上看, 矩阵A的特征向量经过矩阵A作用后所得到的向量与特征向量共线, 而比例系数就是特征向量所属的特征值。如果是矩阵A的属于特征值的特征向量, 则的任何一个非零倍数也是A的属于的特征向量, 因为从(1.1)式可以推出进一步,若，都是A的属于的特征向量,且0, 则仍然是A的属于的特征向量。这说明特征向量不是被特征值所唯一决定的。相反,特征值却是被特征向量所唯一决定的。因为,容易证明一个特征向量只能属于一个特征值。下面讨论特征值和特征向量的求法。根据定义, 若为n阶矩阵的属于特征值的特征向量,则为齐次线性方程组即（1.2）的非零解,反之亦然。根据线性方程组解的理论可知,是矩阵的特征值的充分必要条件为方程组(1.2)的系数行列式。定义2 对于n阶矩阵，是的n次多项式,称为方阵的特征多项式,方程称为方阵的特征方程。根据前面的讨论，得到求矩阵的特征值和特征向量的具体步骤:(1)写出矩阵的特征多项式;(2)求出特征方程的全部根。这些根就是的全部特征值。(3)对所求得的每一个特征值,代入齐次线性方程组,求出一个基础解系:，则 不全为0)便是的属于特征值的全部特征向量。例1 求矩阵的特征值和特征向量。解 的特征多项式为所以的特征方程为，得的特征值。对于时,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量是,其中,为实数。对于,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量是,其中,为实数。例2 求矩阵的特征值和特征向量。解 的特征多项式为:所以的特征方程为=0，得的特征值。对于时,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量是 ，其中,为实数。对于,解方程,由得基础解系,所以属于特征值的全部特征向量为(其中,是不全为0的实数)。例3 求n阶数量矩阵的特征值和特征向量。解 矩阵的特征多项式。从而的特征方程为,得的特征值 。对于,解方程组此方程组的系数矩阵是零矩阵,所以任意n个线性无关的向量都是它的基础解系。取单位向量组, 作为基础解系,于是的属于特征值的全部特征向量为(不全为0)。由例3可推广,任一对角矩阵的特征值就是它的主对角线上的元素,从而对角矩阵的所有特征值之和等于主对角线上元素之和，而的所有特征值的乘积等于行列式,根据多项式的根与系数之间的关系,此结论可推广到任意方阵。设n阶矩阵有n个特征值为(k重特征值算作k个特征值),则(1) ； （2） 。其中是的主对角线元素之和,称为矩阵的迹,记作。例4 设是方阵的特征值,证明是的特征值。证 因为是方阵的特征值,所以存在非零向量,使。从而。所以是的特征值。按例4类推,若是的特征值,则是的特征值,是的特征值，其中,(留作练习)。定理1设是矩阵的互不相同的特征值,是其对应的特征向量,则是线性无关的。证 对不同特征值的个数作数学归纳法。当时,因为特征向量非零,所以是线性无关的,结论成立。假设定理对成立,下面证明: 时也成立。设 (1.3)用矩阵左乘上式两端,得即 (1.4)将(1.3)式两端分别乘以,得 (1.5)(1.5)式两端分别减去(1.4)两端,得由假设线性无关,于是有 , 由已知条件是个不同的特征值,从而(),所以 (1.6)将(1.6)式代入(1.3)式,得由特征向量,得,故线性无关。综合上述，定理成立。推论1 设是n阶矩阵A的个互不相同的特征值,对应于的线性无关的特征向量为(),则由所有这些特征向量构成的向量组线性无关。2 相似矩阵和矩阵的对角化 对角矩阵是最简单的一种矩阵, 现在考虑对于给定的n阶方阵, 是否存在可逆矩阵,使为对角矩阵, 这就称为把方阵对角化。为此,首先给出相似矩阵的概念。定义1 设都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵,使则称矩阵与相似,或、是相似矩阵,记为,可逆矩阵称为将变换成的相似变换矩阵。由定义可知,矩阵的相似关系是一种特殊的等价关系, 具有如下性质(1) 反身性 ；(2) 对称性 若, 则；(3) 传递性 若, 则。它们的证明,留给读者作为练习。定理1 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而也有相同的特征值。证 设, 则存在可逆矩阵,使,故。推论1 相似矩阵的行列式相同, 迹相同, 秩也相同。下面介绍矩阵可对角化,即相似于对角矩阵的条件。定理2 n阶矩阵可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量。证 必要性 设可对角化, 则存在可逆矩阵, 使即将矩阵按列分块,令=(), 则有=()因此 ()。因为为可逆矩阵, 所以的n个列向量都是非零向量, 且为线性无关组,因而是的n个特征值，是的属于特征值的n个线性无关的特征向量。充分性 设有n个线性无关的特征向量,对应的特征值分别为, 则有 ,()。以这些向量为列,构造矩阵(), 则P可逆,且=即为对角矩阵。从定理2的证明过程可以看出, 如果矩阵相似于对角阵,那么的对角线元素都是特征值（重根重复出现），而相似变换矩阵的各列就是的n个线性无关的特征向量,其排列次序与特征值在对角阵中的排列次序相一致。如果n阶矩阵有n个互异的特征值, 根据上节定理1, 每个不同的特征值对应的特征向量必线性无关, 那么必与对角矩阵相似。推论2 如果n阶方阵有n个互异的特征值, 那么与对角阵相似。如果n阶矩阵有重根时,就不一定有n个线性无关的特征向量,从而不一定能对角化(见下面例1（1）)。但如果的每一个重特征值对应有个线性无关的特征向量, 根据上节定理1的推论1, 必有n个线性相关的特征向量, 从而可对角化, 反之亦然。推论3 n阶矩阵的每一个重特征值对应有个线性无关的特征向量的充要条件是相似于对角矩阵。例1 下列矩阵能否对角化? 若能, 求出对角阵及相似变换矩阵,使,若不能,则说明理由。(1) (2) 解 (1) 在上一节的例1中,求得的特征值为,对于二重特征值, 线性无关的特征向量只有一个,根据推论3, 不可对角化。(2) 在上一节的例2中,求得的特征值为,对应的线性无关的特征向量为 , ，由定理2或推论3，可对角化, 取相似变换矩阵 则。例2 设3阶方阵,和都不可逆,问能否对角化？若能,写出其对角阵。解 因为,和都不可逆,所以，即 。从而3阶矩阵有三个不同的特征值, 由推论2，可对角化, 且 。3 实对称矩阵的对角化为了下面讨论需要,先引入矩阵(包括向量)的共轭运算。设=是复数域上的矩阵。则称( )是的共轭矩阵,其中是的共轭复数。容易验证共轭运算具有以下性质:(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。由上节我们知道,并不是任何矩阵都可对角化,但是有一类很重要的矩阵实对称矩阵一定可对角化,其特征值与特征向量有许多特殊的性质。定理1 实对称矩阵的特征值都是实数。证 设复数是矩阵的任一特征值, 为的属于的特征向量, 则两边取转置，再取共轭,得:因为是实对称矩阵, 所以, 从而两边右乘得即 因为, 所以因此, 即为实数。显然,当特征值为实数时, 齐次线性方程组是实系数方程组,由知必有实的基础解系, 从而对应的特征向量一定可以取实向量。定理2 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。证 设是的两个不同的特征值, 是其对应的实特征向量, 则有 从而 =即因为, 所以即正交。定理3 对于任一个n阶实对称矩阵, 都存在正交矩阵, 使得，其中是的n个特征值。证 对n用数学归纳法。当n=1, 结论显然成立。假设当时结论成立, 下面证明对阶实对称矩阵也成立。设是的一个特征值,是属于的实单位特征向量,则: ,根据第三章正交化过程可知,必能找到个维实单位向量(未必是特征向量), 使为两两正交的单位向量组, 令=(), 则为正交矩阵, 且=因为 ()记所以,因为是k-1阶实对称矩阵, 所以由归纳法假设,存在k-1阶正交矩阵, 使得。令 显然, 为正交矩阵, 且=。令, 因为为正交矩阵, 故为正交矩阵, 且由归纳法, 定理成立。定理3说明n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。再结合上一节的推论3得到推论1 实对称矩阵的每一个重特征值恰有个线性无关的特征向量。由定理13,我们得到用正交矩阵将n阶实对称矩阵对角化的具体步骤:(1) 求出特征多项式所有的根, 即的特征值, 设为,其重数分别为, 其中。(2) 对每个求出个线性无关的特征向量, 利用正交化方法, 把它们正交单位化, 得到个相互正交的单位特征向量。(3) 把属于每个特征值的正交单位特征向量放在一起, 得到的n个相互正交的单位特征向量,以它们作为列, 得正交矩阵, 且例1设求正交矩阵,使为对角阵。解 因为为实对称矩阵，所以这样的正交矩阵必存在。(1) 的特征多项式为令,得的特征值为。（2）对于,解方程组,由取其基础解系,可得线性无关的特征向量 , 正交化,得 ,=再单位化,得 , 。对于,解方程组 ，取基础解系,可得线性无关的特征向量单位化,得(3)令因为是两两正交的单位特征向量,所以为正交矩阵,且。要注意,如取(), 则仍为正交矩阵,但 另外,因为基础解系有多种取法,所以两两正交的单位特征向量也有多种解法,因此,使为对角阵的正交矩阵是不唯一的。习题五1 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1) (2) (3) 2 设 n阶方阵,均不可逆,求的所有特征值。 3 设是矩阵的属于二个不同特征值的特征向量, 证明 ()不是的特征向量。4 设是矩阵A的特征值多项式，试证明：（1）是的特征值，（2）若=0，则A的任一特征值满足=0。5 设,试证的特征值只能是或1,并就,举例说明0和1未必都是的特征值。6 设n阶方阵可逆,是的特征值,试证: (1) ； (2) 为的特征值。7 已知3阶矩阵的特征值为1、1、2，设 , 试求及。8 若矩阵可逆,证明: 。9 设 ,