湖南省桃江四中高中数学 1.4.2a正弦函数、余弦函数的性质课件 北师大版必须4.ppt

1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 问题提出 问题1 根据正弦函数和余弦函数的图象 你能说出它们具有哪些性质 注意 求函数定义域首先应考察函数的定义域是否关于原点对称这一必要条件 周期函数的概念 思考1 观察上图 正弦曲线每相隔个单位重复出现 2 诱导公式 其理论依据是什么 当自变量x的值增加2 的整数倍时 函数值重复出现 数学上 用周期性这个概念来定量地刻画这种 周而复始 的变化规律 思考2 设f x sinx 则可以怎样表示 f x 2k f x 这就是说 当自变量x的值增加到x 2k 时 函数值重复出现 为了突出函数的这个特性 我们把函数f x sinx称为周期函数 2k 为这个函数的周期 其中k z且k 0 思考3 把函数f x sinx称为周期函数 那么 一般地 如何定义周期函数呢 周期函数的定义 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t就叫做这个函数的周期 思考4 周期函数的周期是否唯一 正弦函数y sinx的周期有哪些 答 周期函数的周期不止一个 2 4 6 都是正弦函数的周期 事实上 任何一个常数2k k z且k 0 都是它的周期 周期函数的定义 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t就叫做这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 则这个最小正数叫做f x 的最小正周期 今后本书中所涉及到的周期 如果不加特别说明 一般都是指函数的最小正周期 周期函数的定义 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t就叫做这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 则这个最小正数叫做f x 的最小正周期 答 正弦函数y sinx有最小正周期 且最小正周期t 2 思考5 我们知道 2 4 6 都是y sinx的周期 那么函数y sinx有最小正周期吗 若有 那么最小正周期t等于多少 正弦函数y sinx是周期函数 2k k z且k 0 都是它的周期 最小正周期t 2 余弦函数y cosx是周期函数 2k k z且k 0 都是周期 最小正周期t 2 思考6 就周期性而言 对正弦函数有什么结论 对余弦函数呢 二 周期概念的拓展 思考1 判断下列说法是否正确 思考2 周期函数的定义域有什么特点 函数f x sinx x 0 是周期函数 函数f x sinx x 0 是周期函数 函数f x sinx x 3k 是周期函数 函数f x sinx x 0 10 是周期函数 例1求下列函数的周期 y 3cosx x r y sin2x x r y 2sin x r 3cos x 2 由周期函数的定义可知 原函数的周期为2 解 3cosx y sin2x x r sin2 x 由周期函数的定义可知 原函数的周期为 sin2x 解 y 2sin x r 由周期函数的定义可知 原函数的周期为4 解 一般地 函数y asin x a 0 0 的最小正周期是多少 由上例知函数y 3cosx的周期t 2 函数y sin2x的周期t 函数y 2sin 的周期t 4 想一想 以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗 例2已知定义在r上的函数f x 满足f x 2 f x 0 试判断f x 是否为周期函数 分析 由已知有 f x 2 f x f x 4 即f x 4 f x 由周期函数的定义知 f x 是周期函数 f x f x f x 2 f x 2 2 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个最小的正数 则这个最小正数叫做f x 的最小正周期 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x t f x 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t就叫做这个函数的周期 归纳整理 1 说说周期函数的定义 3 什么叫周期函数的最小正周期 2 函数的周期性是函数的一个基本性质 判断一个函数是否为周期函数 一般以定义为依据 检验它