椭圆的简单几何性质.ppt

复习 1 椭圆的定义 到两定点F1 F2的距离之和为常数 大于 F1F2 的动点的轨迹叫做椭圆 2 椭圆的标准方程是 3 椭圆中a b c的关系是 a2 b2 c2 当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时 2 1 2 椭圆的几何性质 2 2 2椭圆的简单几何性质 1 椭圆的几何性质 1 范围 由 即 a x a b y b 说明 椭圆落在x a y b组成的矩形中 x 1 范围 对称性 F2 F1 O x y 椭圆关于y轴对称 F2 F1 O x y 椭圆关于x轴对称 A2 A1 F2 F1 O x y 椭圆关于原点对称 2 椭圆的对称性 结论 椭圆关于x轴 y轴 原点对称 椭圆上任意一点P x y 关于y轴的对称点是 同理椭圆关于x轴对称关于原点对称 即在椭圆上 则椭圆关于y轴对称 x y 3 椭圆的顶点 令x 0 得y 说明椭圆与y轴的交点 令y 0 得x 说明椭圆与x轴的交点 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点 叫做椭圆的顶点 长轴 短轴 线段A1A2 B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴 a b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 椭圆几何性质的应用 1 椭圆的焦点决定椭圆的位置 范围决定椭圆的大小 离心率决定了椭圆的扁圆程度 对称性是椭圆的重要特征 顶点是椭圆与对称轴的交点 是椭圆重要的特殊点 若已知椭圆的标准方程 则根据a b的值可确定其性质 2 明确a b的几何意义 a是长半轴长 b是短半轴长 不要与长轴长 短轴长混淆 由c2 a2 b2 可得 已知椭圆的四个顶点 求焦点 的几何作图法 只要以短轴的端点B1 或B2 为圆心 以a为半径作弧交长轴于两点 这两点就是焦点 名师点睛 1 学生活动 课本48页练习1 思考 已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 怎样确定椭圆焦点的位置 o B2 B1 A1 A2 F1 F2 因为a2 b2 c2 所以以椭圆短轴端点为圆心 a长为半径的圆与x轴的交点即为椭圆焦点 练习 课本48页2 离心率 长半轴为a半焦距为c 思考 保持长半轴a不变 改变椭圆的半焦距c 我们可以发现 c越接近a 椭圆越 这样 我们就可以利用 和 这两个量来刻画椭圆的扁平程度 扁平 c a 看动画 椭圆的离心率 因为a c 0 所以e的取值范围是 0 e 1 e越接近于1 则c越接近于a 从而b就越小 因此椭圆就越扁反之 e越接近于0 c就越接近于0 从而b就越接近于a 这时椭圆就越接近于圆 当且仅当a b时 c 0 这时两个焦点就 图形变为 它的方程为 重合 圆 看动画 椭圆的离心率对椭圆形状的影响 2 练习 课本48页5 1 4 椭圆的离心率 e与a b的关系 x a y b 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b a2 b2 c2 x a y b 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b a2 b2 c2 x b y a 同前 b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 同前 同前 同前 椭圆的简单几何性质 自学导引 a b 0 a b 0 a x a 且 b y b b x b 且 a y a A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b B2 0 b A1 0 a A2 0 a B1 b 0 B2 b 0 2b 2a F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 2c x轴和y轴 0 0 例4 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 因此 椭圆的长轴长和短轴长分别是 离心率 焦点坐标分别是 四个顶点坐标是 解题的关键 1 将椭圆方程转化为标准方程2 确定焦点的位置和长轴的位置 例 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过点P 3 0 Q 0 2 2 长轴长等于20 离心率等于 解 1 由椭圆的几何性质可知 点P Q分别为椭圆长轴和短轴的一个端点 为所求椭圆的标准方程 练习 课本48页4 练习 课本48页3 解 x y F F O M 例6 点M x y 与定点F c 0 的距离和它到定直线的距离的比是常数 求点M的轨迹 椭圆第二定义 x y F F O M 4 已知椭圆的短轴长等于2 长轴端点与短轴端点间的距离等于 则此椭圆的标准方程是 解析设椭圆的长半轴长为a 短半轴长为b 焦距为2c 则b 1 a2 b2 2 即a2 4 所以椭圆的标准方程是 y2 1或 x2 1 答案 y2 1或 x2 1 5 已知椭圆的离心率为 则k的值为 解析当k 8 9时 e2 k 4 当k 8 9时 e2 k 答案4或 7 已知椭圆x2 my2 1的焦点在y轴上 且长轴长是短轴长的2倍 则m A B C 2D 4解析将椭圆方程化为标准方程为x2 1 焦点在y轴上 1 0 m 1 由方程得a b 1 a 2b m 答案A 11 已知椭圆长轴长是短轴长的2倍 且过点A 2 6 求椭圆的标准方程 解法一依题意a 2b 1 当椭圆焦点在x轴上时 设椭圆方程为 代入点A 2 6 坐标 得 解得b2 37 a2 4b2 4 37 148 椭圆的标准方程为 2 当焦点在y轴上时 设椭圆方程为 代入点A 2 6 坐标得 b2 13 a2 52 椭圆的标准方程为 综上所述 所求椭圆的标准方程为或 2 1 2 椭圆的几何性质 2 2 2椭圆的简单几何性质 2 自学导引 直线与椭圆的位置关系 种类 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 直线与椭圆的位置关系的判定 代数方法 所以消y得一个一元二次方程 两 一 无 自学导引 知识应用 思考 最大距离为多少 例 已知直线y x 与椭圆x2 4y2 2 判断它们的位置关系 解 联立方程组 消去y 36 0 因为 所以方程 有两个根 变式1 交点坐标是什么 弦长公式 则原方程组有两组解 1 知识应用 所以该直线与椭圆相交 变式2 相交所得的弦的弦长是多少 由韦达定理 k表示弦的斜率 x1 x2表示弦的端点坐标 名师点睛 利用设而不解的方法求解直线与椭圆相交位置关系中的中点 弦长等问题是本节特别常见的方程思想方法 方法技巧函数方程思想在椭圆中的应用 示例 思路分析 求弦AB的长 需确定点A B的坐标 点A B是直线与椭圆的交点 因此由直线方程和椭圆方程组成方程组 解方程组 依据根与系数的关系和弦长公式可求解 方法点评解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法 解题步骤为 1 设直线与椭圆的交点为A x1 y1 B x2 y2 2 联立直线与椭圆的方程 3 消元得到关于x或y的一元二次方程 4 利用根与系