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立体几何的向量方法 综合应用 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 1 求证 pa 平面edb 2 求证 pb 平面efd 3 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f 例题剖析 小结1 小结2 小结3 a b c d p e f y 2 解法一 如图所示建立空间直角坐标系d xyz 设dc 1 则p 0 0 1 b 1 1 0 e 0 1 2 1 2 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 2 求证 pb 平面efd 如图 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd 底面abcd pd dc e是pc的中点 作ef pb交pb于点f 2 求证 pb 平面efd 2 解法二 如图所示建立空间直角坐标系d xyz 设dc 1 则p 0 0 1 b 1 1 0 e 0 1 2 1 2 a b c d p e f d e f p b c 又e 0 1 2 1 2 f 1 3 1 3 2 3 a b c d p e f x z b c y 3 求二面角c pb d的大小 a b c d p e f x y z 3 求二面角c pb d的大小 b c y 其中由 2 知pb 平面efd 小试牛刀 小结4 方法一 方法二 a 如图 一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 在它的顶点处分别受力 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 且 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动 这三个力最小为多大时 才能提起这块钢板 合力 答案 合作探究 坐标系 1 立体几何中的向量方法的 三部曲 用空间向量表示立体图形中的点 直线 平面等元素 2 解决立体几何问题常用方法 综合法 向量法 坐标法 这节课你学到了什么 总结 l 求平面法向量的方法和步骤 4 解方程组 另其中一个变量等于一个特殊值 再代入方程求出其它变量 即得一个法向量 例1 l 例1 方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 2 设二面角的大小为其中ab 三 二面角的平面角 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 如图 向量 则二面角的大小 若二面角的大小为 则 法向量法 注意法向量的方向 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 一进一出 二面角等于法向量夹角 即 同进同出互补 一进一出相等 或 三 二面角的平面角 同进同出互补 例1 同进同出互补 例1 四 异面直线成角 l m l m 1 定义 设a b是两条异面直线 过空间任一点o作直线a a b b 则a b 所夹的锐角或直角叫a与b所成的角 练习 一 用向量解决如下问题 1 平行和垂直2 角度 二 向量的 数 和 形 运算 三 向量解决立体几何的 三部曲 用空间向量表示立体图形中的点 直线 平面
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