函数与方程思想论文(已发表于《福建中学数学》).doc

基于考试的函数与方程思想研究余碧敏1 蔡丽冰2 1 福建省古田第一中学（352200） 2 福建师范大学数学与计算机科学学院（350007）恩格斯曾经这样刻画函数：“数学中的转折点是笛卡儿的变数有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了” 而函数与方程思想则是对函数与方程进一步认识和概括的基础上形成的一般性观点， 它贯穿整个中学数学课程的始终, 蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中,具有强大的生命力,能够联结众多的数学理解,因此，它在中学数学乃至整个数学学科占着举足轻重的地位，对它的考查是数学高考的的必然之举.1 函数与方程思想的内涵函数的思想,实质是抛开研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,用集合与对应的思想抽象出对象的数学特征，利用函数的有关性质解决问题方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,运用方程的性质去分析、转化问题,进而解决问题.函数思想与方程思想是相辅相成的,函数思想在于揭示问题中数量关系的本质特征,从变量的运动、变化、联系和发展的角度研究问题；而方程思想则是动中求静,研究运动中的等量关系.2 函数与方程思想的考查回顾对函数与方程思想的考查,是历年高考的重点,而且考查力度在逐年增加,几乎渗透高中数学的每一个模块,每一个知识点2.1 对函数与方程思想本源的考查函数的有关概念及有关性质与方程的有关理论是函数与方程思想的本源在新课标高考中,全方位、多层次的考查函数与方程的基础知识和基本性质,是每年高考的重点和热点2.1.1 函数与方程性质是函数与方程思想的核心内容函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值,方程的有关理论是函数与方程思想的核心内容,它们往往形影不离,互为依托 例1 （2009福建高考卷理）函数的图象关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数关于的方程的解集都不可能是 评析：本题主要考查二次函数图象和性质,方程的根,复合函数的性质, 是一道集方程与函数,数形结合,转化与化归,特殊与一般等思想于一体的难得的好题考生要能深刻理解二次函数的图象的对称性，真正体现了多思少算，能够明显甄别学生的思维层次，具有一定的选拔功能本题很好地体现了课标的核心：重视三基，注重培养学生的数学素养和思维能力同时也为我们一线教师提出了更高的要求：在新课改中务必时刻重视数学思想和方法的研究与教学2.1.2数形结合是运用函数与方程思想解题的直观手段2011课标中强调：加强几何直观,重视图形在数学学习中的作用,鼓励学生借助直观进行思考函数图象既可以看作是函数的一种特殊的表示方式,又是用来分析和解决问题的重要方法例2 (2009山东高考卷理16)已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间 上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y f(x)=m (m0) 评析：本题综合考查了抽象函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，运用了数形结合及函数与方程的思想是否能由得到的图象关于直线对称，周期为8，是解答本题的关键将抽象函数具体化，根据所给条件，画出函数草图，以形助数解决问题，给人以“一桥飞架南北，天堑变通途”的感觉 2.1.3导数是运用函数与方程思想解题的重要工具导数在高中数学中可以说是“叱诧风云”,具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力它是解决函数方程、不等式 、数列和曲线等问题的利器,是沟通初等数学与高等数学的桥梁例 （2011全国高考卷理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为，（）求的值；（）如果当，且时，求的取值范围，评析：第（）问突出考查方程思想第（）通过构造新函数解决不等式，构造的依据是不等式中隐含的函数关系，又应用导数及二次函数及二次方程根的有关理论解决问题，突出考查了函数与方程思想，体现导数的工具性功能，考查考生综合处理问题的能力，很好体现了高考的选拔性功能2.1.4函数零点与方程的解是函数与方程思想统一性的体现例（2009福建高考卷文11）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是 评析：本题主要考查了函数、零点、方程问题，应用导数与零点存在性定理求解，充分体现了函数、零点、方程的统一性，突出考查了函数与方程思想2.1.5 高等数学知识的渗透是函数与方程思想的内在需求随着新课程标准改革的不断推进,近几年的高考试题非常重视初、高等数学知识的衔接,一方面,以高等数学知识命题,体现了考纲对高考试题命制的创新要求；另一方面,这类题目命题立意新,情境新,思维价值高,能很好地考查考生的阅读理解能力、知识迁移能力、分析问题解决问题的能力,以及进入高校学习的潜能,因此这类考题成了高考试题中的一道亮丽的风景线福建省近几年很关注高等数学知识的考查,让高等数学“搭台”,中学数学“唱戏”,涉及极限、仿射变换、集合的加法封闭性等等2.2 以其它知识点为载体的函数与方程思想的考查函数与方程思想研究的是变量与变量的依赖关系,因此只要蕴含几个变量之间函数关系的问题均会涉及函数与方程思想,它必然会跨越函数,也跨越方程,跨入到不等式、数列、解析几何、立体几何、实际问题等领域 2.2.1 以不等式为载体的函数与方程思想的考查函数与不等式可以相互转化,应用函数与方程思想处理不等式问题,关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论,弄清函数、方程及不等式的内在联系,树立相互转化的观点例 （2010天津高考卷文16）设函数,对恒成立,则实数的取值范围是_评析 本题主要考查了恒成立问题的基本解法、函数与方程思想、分类讨论思想等,它是通过分离变量构造函数转化为求函数最值的方法来求解的 2.2.2 以数列为载体的函数与方程思想的考查数列的通项公式及前项和公式实质上是定义在正整数集上的函数,因此可利用函数思想与方程的思想来解决有关数列问题 例 （2010辽宁高考卷理16）已知数列满足则的最小值为_评析 本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性解决问题的过程让人感觉“心有灵犀一点通”的和谐共鸣2.2.3 以立体几何为载体的函数与方程思想的考查例 (2011江西高考卷文18）如图，在中，为边上的一动点，交于点，现将沿翻折至，使平面平面 （1）当棱锥的体积最大时，求的长； （2）若点为的中点，为的中点，求证：。评析：本题关键在于发现体积随着的变化而变化，这就是函数与方程思想的本质所在，因而可以根据相关条件，确定目标函数，应用导数、不等式等知识解决问题一般地，立体几何中对于求最大值、最小值的实际问题，通过建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答，有效地考查了函数与方程思想.2.2.4 以解析几何为载体的函数与方程思想的考查例 （2009福建高考卷文22）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,直线与直线分别交于两点.（I）求椭圆的方程；（）求线段的长度的最小值；（）略评析 第（I）问突出考查方程思想第（）问设直线的斜率为,建立与的函数关系,是解此题的关键因此,不管以什么知识为载体,只要是关于数集与数集,变量与变量的关系问题无不体现函数与方程的思想,它是跨考点,跨模块,跨题型的 3函数与方程思想的考查展望3.1 注重本质,强化基础,依托主干,凸显函数与方程思想函数是数学永恒的主题,是函数与方程思想的本质导数是研究函数的有力工具,又是高等数学的基础因此,新课标高考强化了对函数基础知识的考查函数、导数与其他知识结合形成了层次丰富的各类综合题,可以充分考查学生的数学基础知识和基本技能,又可考查蕴含其中的以函数与方程思想为主的多种思想的交融,多种能力的交叉,从中考查学生继续学习所必需的数学素养和潜能因此,函数与方程、导数、不等式等知识的交汇是考查函数与方程思想的必然选择3.2 注重应用,回归生活,超越生活,凸显函数与方程思想课标中提出“发展学生的数学应用意识”因此,数学高考“坚持数学应用,考查应用意识”函数应用性问题贴近生活,而解决这类问题所涉及的数学知识,数学思想和方法都是考纲中要求掌握的主干知识和主要思想方法特别地,以函数与方程的思想为指导构建函数模型,可以充分考查学生推理论证能力,抽象概括能力,运算求解能力和应用意识因此,考查应用题是考查函数与方程思想的重要选择当然,数学应用应回归生活世界,呈现数学认识的原初形态,体现数学活动的思维规律.但,如果不去实施超越,那它就不是数学了.因此,数学应用型试题的命制要“回归生活,超越生活”. 3.3注重交汇,规避模式,拓展创新,凸显函数与方程思想以函数