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现代数学发展简介 1 一 十九世纪的数学概况 1 十七 十八世纪的数学成就十七世纪数学的最大成就是牛顿 I Newton 1642 1727 微积分思想诞生在英国 十八世纪资本主义的生产方式带来了法国的大革命 数学的中心也移到了法国 当时的一代数学权威有 拉格朗日 J Lagrange 1736 1813 拉普拉斯 P M Laplace 1749 1827 勒让德 A Legendre 1752 1833 蒙日 G Monge 1746 1818 等等 拉格朗日 J Lagrange 1736 1813 拉普拉斯 P M Laplace 1749 1827 勒让德 A Legendre 1752 1833 蒙日 G Monge 1746 1818 2 十九世纪的数学发展十九世纪是法国与德国在数学上争雄的时代 1794年诞生的法国综合技术学校成为19世纪初的世界数学中心 以当时的两大数学家傅里叶 J B Fourier 1768 1830 柯西 A Cauchy 1789 1857 为首的调和分析和分析学方向是其中的代表 他们的影响一直持续的现在 进入19世纪 德国的格丁根大学的崛起 数学王子高斯 C F Gauss 1777 1855 称雄世界 黎曼 G F B Riemann 1826 1866 为人类留下了无数的数学珍宝 十九世纪上半叶的数学思想和成果纯粹数学方面 代数 伽罗瓦 Galois 1811 1832 新动力几何 罗巴切夫斯基 Lobatchevski 1792 1856 鲍耶 Bolyai 1802 1860 高斯 Gauss 1777 1855 非欧几何学数论 解析数论分析 严格化 复变函数理论Cauchy Weierstrass Dedekind Cantor 应用数学取得伟大成就1846年英国的亚当斯 J C Adams 1819 1892 和法国的勒威耶 U J J LeVerrier 1811 1877 分别独立的用数学方法计算出海王星的轨道 高斯在大地测量中发现了微分几何学 傅里叶分析推动了热力学和振动理论的进一步发展 英国的传统的应用数学大放异彩 哈密顿的最小作用原理给了力学一崭新的面貌 麦克斯韦 J C Maxwell 1831 1879 于1864年发表的电磁学方程更是人类运用数学研究自然规律的又一里程碑 十九世纪后半叶的数学成果十分丰富进入十九世纪后期 德国的国家实力陡增 高斯 黎曼等数学家的工作也是世人瞩目的 德国在数学上提出了明确的目标 要谋求世界领先的地位 而执行这一使命的是数学大师克莱因 C F Klein 1849 1925 克莱因 著名的几何学家 1865年进入波恩大学 开始研究几何学 1869年到格丁根大学工作 并周游欧洲诸国 1872年任埃尔郎根大学正教授发表了 新近几何学研究的比较考察 的演讲 用运动群下的不变量对几何学进行分类 这就是著名的埃尔郎根纲领 这一几何学上划时代的工作 在此后的50年内一直处于几何研究的中心地位 克莱因晚年关注应用数学和数学教育 开创了世界第一流数学家关心中小学数学教育改革的先例 影响深远 1886年春 克莱因就任格丁根大学教授 虽然继续从事数学研究 但更多的进行行政组织 数学教育 国际交流等方面的活动 目标是把格丁根大学建成世界第一流的数学中心 十年左右努力终有成效 1895年初 大数学家希尔伯特 DavidHilbert 1862 1943 到格丁根大学任教 克莱因被授予枢密顾问官职务 格丁根大学的学术地位陡然升高 1902年 闵科夫斯基 H Minkowski 1864 1909 也来到格丁根大学 这三驾马车终于把格丁根大学建成20世纪初期的世界数学中心 克莱因是当然的领袖 十九世纪后期 除格丁根大学之外 柏林大学也是当然的数学中心 狄利克雷 G P L Dirichlet 1805 1859 在此校工作了27年 为柏林大学赢得很高的数学声誉 1854年他去格丁根大学接替去世的高斯 柏林大学的数学教授库默尔 E E Kummer 1801 1893 长期担任柏林大学校长 理想数 的工作成为现代代数数论的先驱 克罗内特 L K Kronecker 1815 1891 在代数学 数论 椭圆函数论方面成就显著 并有非常广泛的社会和学术关系 被称为德国数学的无冕之王 而对后世影响更大是魏尔斯特拉斯 KarlT W Weierstrass 1815 1897 3 对近代数学影响的德国的三位数学家 魏尔斯特拉斯 KarlT W Weierstrass 1815 1897 出身于一个政府官员家庭 父亲送他到柏林大学攻读法学博士学位 由于他不喜欢 未到毕业就离开了 后来在一所神学哲学院读数学 通过中学教师资格的国家考试后 曾任中学 体育 教师达15年之久 在这期间他发表了椭圆函数论的重要文章 被破格授予哥尼斯堡大学名誉博士学位 魏尔斯特拉斯1856年到柏林皇家综合工科学校任数学教授 1857年任柏林大学副教授 1864年升任正教授 1873年出任柏林大学校长 成为左右德国数学界的一位领袖人物 他获得这些荣誉重要是他的学术风格 他是19世纪末分析严格化进程的代表 反映了那个时代和20世纪整个数学严谨性的潮流 魏尔斯特拉斯首先给出严密的实数理论 第一个明确地使用 语言 引进有界集 无界集 集的内点 外点 极限点 连通性等概念 特别是运用一致收敛的概念得出极限交换的定理 魏尔斯特拉斯终身未娶 他的两个妹妹也未出嫁 她们一起照顾魏尔斯特拉斯的生活 共度人生 戴德金 J W R Dedekind 1831 1916 以有理数的连续性的 分割 定义实数 对实数的连续性给出了严密而直观的叙述 为数学分析严密化作出了重要贡献 同时他也奠定了代数数论的系统理论 戴德金也是终身未娶 康托 Cantor 1845 1918 集合论创始人 集合的势创始人Hilbert称赞康托尔的超越数理论是 数学精神最令人惊羡的花朵 人类智力活动最精美的成果 没有人能把我们从康托所创造的天国中赶走 康托尔 G Cantor 1845 1918 德国数学家 1845年生于俄国圣彼得堡 卒于哈雷 是丹麦犹太商人之子 集合论的创始人 受教于数学家库默尔 外尔斯特拉斯和克罗内克等人 1867年获博士学位 康托尔的集合论富有革命性 其理论很难被立即接受 以致遭受一些数学家的反对 但他的理论无疑是对十九世纪末 二十世纪初的数学基础的研究产生了深远的影响 集合论已渗透到各数学分支 甚至渗入中小学的数学课本 成为分析理论 测度论 拓扑学及数理科学中必不可缺之理论 康托尔的集合论思考与研究是从他的三角级数的研究中产生的 1871年给出了集合的定义 定义了集合的交与并等 他在1872年利用有理数的 基本序列 概念定义了无理数 把实数的理论严格起来 并建立了点集论 1874年康托尔发表第一篇关于无穷集合的文章 对超越数的存在且远远 多 于代数数作出了集合论的证明 轰动当时世界数学界 1878年引进了无穷集的 势 和提出 连续性 的问题 1883年给出了超限基数的定义等 康托尔的集合论富有革命性 其理论很难被立即接受以致遭受一些数学家的反对 例如大数学权威克罗内克对 小人物 康托尔的批判 阻止康托尔到柏林工作 散布对超越数的怀疑 对康托尔是毁灭性的打击 1884年康托尔患上忧郁症 经常发病 到1899年 集合论的悖论在他头脑里萦绕 旧病再次复发 住进医院 以后一二十年中他断断续续在哈雷大学精神病院中度过 1918年在那里去世 4 其他国家数学研究在德国学派影响之下 挪威数学家索芙特 李 M S Lie 1842 1899 创建了李群和李代数理论 20世纪几乎所有的数学学科都和李群产生联系 英国数学一向偏重于应用 19世纪仍然保持这一传统 但在十九世纪下半叶 出现两颗纯粹数学新星 西尔维斯特 J J Sylvester 1814 1897 和凯莱 A Cayley 1821 1895 他们共同发展了代数不变理论 特别是线性代数中的行列式和矩阵理论 这些工作在20世纪变得十分重要和普及 俄国的十九世纪开始有了自己的数学研究 罗巴切夫斯基的工作引起国际瞩目 切比雪夫 P L Chebyshev 1821 1894 在概率论的研究也得到世人关注 但与欧洲各国相比仍有差距 当时亚洲的国家印度 日本和中国 十九世纪的数学水平落后西方约有200年 19世纪下半叶能和德国数学相抗衡的只有以庞加莱为代表的法国数学 二 法国数学领袖 庞加莱 庞加莱 J H Poincare 1854 1912 法国数学家 物理学家 天文学家数学方面 非欧几何 不变理论 分析力学 概率论 十九世纪前期的法国 柯西是无可争辩的领袖 1857年柯西去世之后 世界的数学中心渐渐向德国转移 当然这也与社会经济相关 在世纪之交世界数学是法德争雄的格局 法国数学有着许多骄人的成果 其代表人物有 埃尔米特 C Hermite 1822 1901 毕业于巴黎综合工科学校 1862年进入该校任讲师 1867年升任教授 分析学家 早年工作涉及椭圆函数论 著名工作是证明e的超越性 对后来影响最大的是他的复二次型的工作 在物理学 几何学 算子理论中 埃尔米特已成为复共轭 复对称的代名词 若尔当 C Jordan 1838 1922 也是巴黎综合工科学校的学生 一直以工程师的身份研究数学 同时在巴黎综合工科学校和法兰西学院任教 1881年年成为法兰西科学院院士 他在伽罗瓦的群论等方面作了系统研究 在群和群表示理论上的开创性工作是后来代数发展的起点 今天约当的名字更多的和分析学中约当曲线 矩阵中的约当标准型 积分论中的约当容量联系在一起 达布 J G Darboux 1842 1917 毕业于巴黎高等师范学院 并在该校工作 他主要研究领域是微分几何 他详细研究曲面理论 曲线坐标 曲线和曲面的变形等基本问题 同样达布的影响不限几何 他在积分论中研究黎曼可积的充分必要条件时给出的现在称为达布上和下和上积分下积分等概念已经成为经典的理论 19世纪末期法国更着重于经典问题的刻画 注意几何 分析上的严密化 解决一些悬而未决的问题 而德国学派更注意新方向和新思想的开拓 这样法国数学的发展似乎过分拘谨了 然而庞加莱的出现 使法国数学出现了新的转机 1854年4月29日 法国数学家亨利 庞加莱生于南锡 1912年7月17日卒于巴黎 庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家 几代人都居住在法国东部的洛林 庞加莱从小就显出超常的智力 他智力的重要来源之一是遗传 他的双亲智力都很高 他的双亲又可追溯到他的祖父 他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职 1817年在鲁昂定居 先后生下两个儿子 大儿子莱昂 庞加莱即为庞加莱的父亲 庞加莱的父亲是当地一位著名医生 并任南锡大学医学院教授 他的母亲是一位善良 才华出众 很有教养的女性 一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上 叔父是国家官员 庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物 雷蒙 庞加莱是曾出任总理兼外交部长 1913 1920年任法国第九任总统 吕西 庞加莱曾任法国民众教育与美术部长 负责中等教育工作 庞加莱童年生活很不幸 5岁患白喉 运动神经功能不协调 加上视力不好 上课全凭耳朵听 但是这种训练使得他以后能在头脑中完成数学计算和撰写论文 他15岁进入巴黎综合工科学校 原打算做一名工程师 但一有空就研究数学 1878年 他向法兰西学院提交有关 微分方程的一般解 的论文 次年8月1日即获得数学博士学位 1880年他成为巴黎大学的教授 讲授力学和实验物理的课程 庞加莱的写作时期开始于1878年 直至他1912年逝世 这正是他创造力的极盛时期 他是一位博学家 在数学 数学物理 天体力学和哲学方面都有很深的造诣 他一生的主要研究成就是方法论 他是第一个发现混沌确定系统的人 并为现代混沌理论打下了基础 在狭义相对论方面他的论文1905年6月发表的 论电子动力学 摘要比爱因斯坦的论文早了一个多月 在不长的34年科学生涯中 他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著 这些论著囊括了数学 物理学 天文学的许多分支 这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内 主要著作有 科学与假设 科学的价值 科学的方法 等 1904年 亨利 庞加莱提出了这样一个猜想 在一个封闭的三维空间 假如每条封闭的曲线都能收缩成一点 这个空间一定是一个圆球 庞加莱的仅仅两行字 成为数学界100多年未能证明的难题 关于庞加莱猜想的证明是2006年基本完成 美国 科学 杂志2006年12月21日公布了该刊评选出的2006年度十大科学进展 其中科学家证明庞加莱猜想被列为头号科学进展 由庞加莱开创新领域有 1 自守函数论 自守函数是通常的三角函数 椭圆函数的推广 它的引入使得微分方程 代数几何 代数数论找到了新的立足点 如果说18世纪是微分学的世纪 那么19世纪则是函数论的世纪 庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的 他本人也因此在数学界崭露头角 2 整函数的 亏理论 他第一个研究整函数 亏数 和函数增长的关系 为整函数和亚纯函数理论的研究打开了道路 3 有理数域上的代数几何学 1901年的一篇论文开创了代数方程有理数解的研究 成为代数数论的一项开创性工作 4 微分方程的定性理论 这门崭新的学科研究微分方程解在奇点附近的状态 来判断解的稳定性 5 动力系统理论 开创动力系统理论研究 完成了现在称为 庞加莱回归定理 的工作 动力系统理论研究是现在数学理论和应用研究活跃的方向 庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论它是在其创造者手中立即臻于完善的 6 三体问题 在三体中两个物体的质量比另一个小的多的情况下 得到了三体问题的周期解 引进渐近展开的方法 得出了严格的天体力学的计算方法 7 组合拓扑学 即 位置分析 在20世纪获得长足发展的代数拓扑学完全是按照庞加莱的思想展开的 庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论 人们公认他是代数拓扑学的奠基人 可以毫不夸张地说 庞加莱在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽 8 对狭义相对论的创立做出了的贡献 此外 庞加莱还在非欧几何 渐近级数 概率论 例如 他最先使用了 遍历性 的概念 这成为统计力学的基础 等数学分支中也有所建树 庞加莱在物理学 天体力学 科学哲学方面的工作请见 世界著名科学家传记 物理学家 除了这些开拓新领域的工作以外 庞加莱还有许多原创性的成果 对多复变函数 Lie群 Lie代数 Dirichlet问题 Laplace算子特征值问题等的研究都有关键性的推进工作 1911年 庞加莱觉得身体不适 精力减退 他预感到自己活在世上的日子不会很长了 可是 他不愿放下手头的工作去休息 他头脑蕴育的新思想太多了 他不愿让它们和自己一起埋葬 在索尔维会议之后 他投身于量子论的研究 并撰写论文 发表讲演 同时 他还在思考一个新的数学定理 即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题 临终前三周 庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演 他说 人生就是持续的斗争 如果我们偶尔享受到相对的宁静 那正是因为我们先辈顽强斗争的结果 假使我们的精力 我们的警惕松懈片刻 我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果 庞加莱本人的一生就是持续斗争 永远进击的一生 1912年春天 庞加莱再次病倒了 7月9日作了第二次手术 7月l7日在穿衣服时 突然因血栓梗塞 在巴黎逝世 终年仅58岁 当时他正处在科学创造的高峰时期 沃尔泰拉 V Volterra 中肯地评论道 我们确信 庞加莱一生中没有片刻的休息 他永远是一位朝气蓬勃的 健全的战士 直至他的逝世 庞加莱是约定主义的代表人物 认为科学公理是为了人们的表达方便而共同约定的 约定可以选择 但要有实验事实为依据 避免出现矛盾 在数学基础上持直觉主义观点 反对罗素的逻辑主义 希尔伯特的形式主义 不承认实无限 只认可潜无限 庞加莱主要是一个数学家 但或许在物理学和哲学上的工作更为一般人所知 关于他的哲学思想 列宁曾说他是 一位伟大的物理学家 渺小的哲学家 作为直觉主义者的庞加莱 在发表论著时也许没有达到当时某些数学家所要求的严密性 但是历史证明庞加莱做的是对的 如果为了追求不十分必要的严密性 而把重要的拓扑学思想丢弃将对数学的进展是多大的损失 由于他的杰出贡献 他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉 也受到英国 俄国 瑞典 匈牙利等国政府的奖赏 由于他的杰出贡献 他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉 也受到英国 俄国 瑞典 匈牙利等国政府的奖赏 早在33岁那年 他就被选为法国科学院院士 1906年当选为院长 1908年 他被选为法兰西学院院士 这是法国科学家所能得到的最高荣誉 庞加莱被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家 是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人 三 新世纪的序幕 Hilbert的23个问题 进入1900年 人们都把目光放到未来 这年的8月6日第二届国际数学家代表大会在巴黎 年方38岁德国著名数学家大卫 希尔伯特 DavidHilbert 1862 1943 于1900年8月8日在大会作了题为 数学问题 的希尔伯特著名演说 演讲是这样开始 我们当中有谁不想揭开末来的帷幕 看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢 我们的下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标 在广阔而丰富的数学思想领域 新世纪将会带来什么样的新方法和新成果 希尔伯特在讲演的前言和结束语中 对各类数学问题的意义 源泉及研究方法发表了许多精辟的见解 他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出了数学研究和发展的23个问题 这些问题涉及现代数学的许多重要领域 一个世纪以来 这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣 Hilbert问题中近一半巳经解决或基本解决 大数学家韦尔 Weyl 在Hilbert去世时的悼词中曾说 Hilbert就象穿杂色衣服的风笛手 他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠 跟着他跳进了数学的深河 中国数学家在第8和第16问题上作出了贡献 从1936年至1974年 被誉为数学诺贝尔 Nobel 奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖人中 至少有12人的工作与希尔伯特问题有关 1976年美国数学会评审的1940年以来十大数学成就就有三项是希尔伯特问题的 1 5 10 等三个问题的解决 希尔伯特生于东普鲁士哥尼斯堡 前苏联加里宁格勒 附近的韦劳 中学时代他就是一名勤奋好学的学生 对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣 善于灵活和深刻地掌握以至应用老师讲课的内容 他与17岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基 爱因斯坦的老师 结为好友 同进于哥尼斯堡大学 最终超越了他 1880年 他不顾父亲让他学法律的意愿 进入哥尼斯堡大学攻读数学 并于1884年获得博士学位 后留校取得讲师资格和升任副教授 1893年他被任命为正教授 1895年转入格廷根大学任教授 此后一直在数学之乡格廷根生活和工作 他于1930年退休 在此期间 他成为柏林科学院通讯院士 并曾获得施泰讷奖 罗巴切夫斯基奖和波约伊奖 1930年获得瑞典科学院的米塔格 莱福勒奖 1942年成为柏林科学院荣誉院士 希尔伯特是一位正直的科学家 第一次世界大战前夕 他拒绝在德国政府为进行欺骗宣传而发表的 告文明世界书 上签字 战争期间 他敢于公开发表文章悼念 敌人的数学家 达布 希特勒上台后 他抵制并上书反对纳粹政府排斥和迫害犹太科学家的政策 由于纳粹政府的反动政策日益加剧 许多科学家被迫移居外国 其中多数流亡与美国 曾经盛极一时的格廷根学派衰落了 希尔伯特也于1943年在孤独中逝世 希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一 他领导了著名的格廷根学派 使格廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心 并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家 希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜 希尔伯特被称为 数学界的无冕之王 希尔伯特的23个数学问题及解决简况如下 希尔伯特的23个问题分属四大块 第1到第6问题是数学基础问题 第7到第12问题是数论问题 第13到第18问题属于代数和几何问题 第19到第23问题属于数学分析 具体内容简介如下 1 康托尔 G Cantor 连续统基数问题 1874年康托尔 G Cantor 1845 1918 猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数 即著名的连续统假设 1938年奥地利数学家哥德尔 K Godel 1906 1978 证明连续统假设和ZF集合公理系统无矛盾性 1963年美国数学家科恩 P J Cohen 1934 证明连续统假设和ZF集合公理系统是彼此独立的 因此连续统假设不能用世所公认的ZF公理证明其对错 此问题在这一意义上已经解决 2 算术公理的相容性 无矛盾性 欧氏几何的的无矛盾性可归结为算术公理的无矛盾性 希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明 哥德尔在1931年发表不完备性定理加以否定 1936年根岑 G K E Gentzen 1909 1945 在使用超限归纳法的条件证明了算术公理的无矛盾性 3 两等底等高四面体体积相等问题 问题的意义是 存在两个等高等底的四面体 它们不可能分解为有限个小四面体 使这两组四面体彼此全等 1900年德国数学家德恩 M W Dehn 1878 1952 证明确实存在这样两个四面体 4 两点间以直线为距离最短线 问题提的过于一般 1973年 苏联数学家波戈列洛夫 A V Pogolelov 1919 在对称距离情况下给出一种解决此限制条件 于是波戈列洛夫宣布在对称距离情况下此问题得以解决 5 一个连续变换群的李氏概念并不要定义这个群的函数的可微性假设 此问题简称连续群的解析性 即是否每一个局部欧氏群都一定是Lie群 解决情况 紧群情形 1933年冯 诺依曼 J vonNeumann 1903 1957 交换群情形 1939年庞特里亚金 L S Pontryagin 1908 1988 可解群情形 1941年谢瓦莱 C Chevalley 1909 1984 最后解决 1952年格力森 A M Gleason 1921 蒙哥马利 D Montgomery 1909 1992 和齐平 L Zippin 1905 共同解决 得到了完全肯定的结果 6 物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理 即物理公理的数学处理 首先在概率论和力学上取的成功 1933年 苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化 后来在量子力学和量子场论取得很大成功 但是物理学是否能全盘公理化 很多人表示怀疑 7 某些数的超越性 问题要求证明 如果 是代数数 是无理数的代数数 那末一定是超越数或至少是无理数 如或 1934年 苏联数学家盖尔丰德 A O Gelfond 1906 1968 证明了此结果 1935年 德国数学家施耐德 T Schneider 1911 也独立解决此问题 8 素数问题 包括歌德巴赫猜想 素数是一个古老的问题 希尔伯特在此提到黎曼 Riemann 猜想 哥德巴赫 Goldbach 猜想以及孪生素数问题 黎曼猜想至今未能解决 哥德巴赫猜想也未最终解决 中国数学家陈景润 1933 1996 取得领先地位 目前孪生素数的最佳结果也属于陈景润 哥德巴赫 GoldbachC 1690 3 18 1764 11 20 德国数学家 出生于格奥尼格斯别尔格 现名加里宁城 曾在英国牛津大学学习 原学法学 由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族 所以对数学研究产生了兴趣 曾担任中学教师 1725年 到了俄国 同年被选为彼得堡科学院院士 1725年 1740年担任彼得堡科学院会议秘书 1742年 移居莫斯科 并在俄国外交部任职 1742年 他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想 哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想 GoldbachConjecture 大致可以分为两个猜想 前者称 强 或 二重哥德巴赫猜想 后者称 弱 或 三重哥德巴赫猜想 1 每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和 2 每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的 称为陈氏定理 任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和 而后者最多仅仅是两个质数的乘积 通常都简称这个结果为 1 2 在陈景润之前 关于偶数可表示为s个质数的乘积与t个质数的乘积之和 简称 s t 问题 之进展情况如下 1920年 挪威的布爵证明了 9 9 1924年 德国的拉特马赫证明了 7 7 1932年 英国的埃斯特曼证明了 6 6 1937年 意大利的蕾西先后证明了 5 7 4 9 3 15 和 2 366 1938年 苏联的布赫夕太勃证明了 5 5 1940年 苏联的布赫夕太勃证明了 4 4 1948年 匈牙利的瑞尼证明了 1 c 其中c是一很大的自然数 1956年 中国的王元证明了 3 4 1957年 中国的王元先后证明了 3 3 和 2 3 1962年 中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了 1 5 中国的王元证明了 1 4 1965年 苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫 及意大利的朋比利证明了 1 3 1966年 中国的陈景润证明了 1 2 华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家 1936 1938年 他赴英国剑桥大学留学 在哈代的指导下从事数论研究 并开始研究哥德巴赫猜想 取得了很好的成果 证明了对于 几乎所有 的偶数猜想 1 都是正确的 1950年 华罗庚从美国回国 在中科院数学研究所组织数论研究讨论班 选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题 倡议并指导他的一些学生研究这一问题 他曾对学生们说 我并不是要你们在这个问题上作出成果来 我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系 以哥德巴赫猜想为主题来学习 将可以学会解析数论中所有的重要方法 哥德巴赫猜想真是美极了 现在还没有一个方法可以解决它 参加这个数论讨论班的学生有王元 潘承洞和陈景润等 出乎华罗庚的意料 学生们在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩 1956年 王元证明了 3 4 同年 原苏联数学家阿 维诺格拉朵夫证明了 3 3 1957年 王元又证明了 2 3 潘承洞于1962年证明了 1 5 1963年 潘承洞 巴尔巴恩与王元又都证明了 1 4 1966年 陈景润在对筛法作了新的重要改进后 证明了 1 2 1974年 由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著的 筛法 一书出版 书中以 陈氏定理 作为最后一章的标题 书中写道 我们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理 我们在前10章已经付印时才注意到这一结果 从筛法的任何方面来说 它都是光辉的顶点 华罗庚曾对王元说 在我的学生的工作中 最使我感动的是 1 2 华罗庚 1910 11 12 1985 6 12 世界著名数学家 中国解析数论 矩阵几何学 典型群 自安函数论等多方面研究的创始人和开拓者 国际上以华氏命名的数学科研成果就有 华氏定理 怀依 华不等式 华氏不等式 普劳威尔 加当华定理 华氏算子 华 王方法 等 王元 1930 著名数学家 华罗庚数学奖得主 他是中国科学院数学研究所的研究员 曾任研究室主任 所长 所学术委员会主任 中国数学会理事长 数学学报 主编 联邦德国 分析 杂志编辑 新加坡世界科学出版社顾问等 1980年当选为中国科学院院士 当时称学部委员 潘承洞 1934 1997 12 27 数学家 数学教育家 在解析数论研究方面有突出贡献 主要成就涉及算术数列中的最小素数 哥德巴赫猜想研究 以及小区间上的素变数三角和估计等领域 1984年被评为中国首批有突出贡献的中青年科学家 1991年当选为中国科学院院士 陈景润 1933 5 22 1996 3 19 汉族 福建福州人 中国著名数学家 厦门大学数学系毕业 1966年发表 表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和 简称 1 2 成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑 而他所发表的成果也被称之为陈氏定理 这项工作还使他与王元 潘承洞在1978年共同获得中国自然科学奖一等奖 1999年 中国发表纪念陈景润的邮票 紫金山天文台将一颗行星命名为 陈景润星 以此纪念 另有相关影视作品以陈景润为名 2009年9月14日 他被评为100位新中国成立以来感动中国人物之一 9 在任意数域中证明最一般的互反律 该问题已由德国数学家阿廷 E Artin 1898 1962 在1927年基本解决 但至今仍在继续发展类域理论 10 丢番图方程的可解性判定 求出一个整数系数方程的整数根 称为丢番图 Diophantus 古希腊数学家 方程可解 1959年 美国数学家戴维斯 M D Davis 1928 普特南 H Putnam 1924 和鲁宾孙 J B Robinson 1919 1985 等取得关键性突破 1970年 苏联数学家马蒂塞维奇 J V Matijasevich 最终证明答案是否定的 尽管结果否定 却产生一系列很有价值的副产品 其中不少与计算机科学有密切关系 11 任意代数数域的二次型德国数学家哈塞 H Hasse 1898 1979 和西格尔 C L Siegel 1896 1981 在上世纪20年代获得重要结果 法国数学家韦伊 A Weil 1906 1998 在上世纪60年代取得新进展 12 将Abel域上克罗内克推广到任意代数有理域上去这个问题影响很广 影响到类域论 群上的同调方法 L级数以及将二次互反律推广到非交换情形的 郎兰兹 Langlands 计划 很多数学家正为此奋斗 13 用两变量函数解一般七次方程的不可能性 七次方程x7 ax3 bx2 cx 1 0的根依赖于3个参数a b c x x a b c 这一函数能否用两变量函数表示出来 这一问题已接近解决 1957年苏联数学家阿洛尔德 V I Arnold 1937 解决了连续函数的情形 1964年维图什金 A G Vituskin 1931 又推广到连续可微的情形 如果要求是解析函数 则问题尚未解决 14 某些完备函数系的有限性的证明这个和代数不变量问题有关 日本数学家永田雅宜 MasayosiNagata 1927 1959年给出了漂亮的反例 15 Schubert计数演算的严格基础一个典型问题是 在三维空间中有四条直线 问有几条直线能和这四条直线都相交 舒伯特 H Schubert 1848 1911 给出了一个直观的解法 希尔伯特要求将问题一般化 并给以严格基础 现在已有一些可以计算的方法 它与代数几何学有密切关系 16 代数曲线和代数曲面的拓扑问题这个问题分成两部分 前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目 后半部分要求讨论dy dx Y X的极限环的最大个数和相对位置 其中X Y是x y的n次多项式 苏联数学家彼得罗夫斯基院士 I G Petrovsky 1901 1973 证明n 2时极限环的个数不超过3 1979年中国的史松龄和王明淑分别举出了有4个极限环的反例 17 正定形式的平方表示一个实系数n元多项式对一切数组 x1 x2 xn 都是非负的 则这个多项式是否能写成平方和的形式 1927年 E 阿廷证明这是对的 18 由全等多面体构造空间德国数学家比伯巴赫 L Bieberbach 1886 1982 和莱因哈特 Reinhardt 分别于1910年 和1928年作出了部分解决 19 正则变分问题的解是否一定解析伯恩斯坦 S N Bernstein 1880 1968 和彼得罗夫斯基院士等得出了一些结果 接近解决 20 一般边值问题这一问题的进展十分迅速 已成为一个很大的数学分支 成果丰富 目前还在继续研究 21 具有给定单值群的微分方程的存在性已由希尔伯特本人 1905年 和勒尔 H Rohrl 1927 德利涅 P R Delgne 1944 1970年 等人所解决 22 解析关系的单值化它涉及艰难深奥的黎曼 Riemann 曲面论 1907年克贝 P Koebe 1882 1945 在单变量情形获得重要突破 复变量情形至今尚未解决 23 变分法的进一步发展这不是一个明确的数学问题 希尔伯特当时只谈了对变分法的一般看法 而二十世纪变分法是数学的一个重要分支 并且有了长足发展 希尔伯特问题的解决与研究大大推动了数理逻辑 几何基础 李群论 数学物理 概率论 数论 函数论 代数几何 微分方程 黎曼曲面论 变分法等一系列数学分支的发展 同时也促进了现代计算机理论的成长 希尔伯特问题未能包括拓扑学 微分几何等在20世纪成为前沿学科的领域中的数学问题 除数学物理外很少涉及应用数学等等 当然20世纪数学的发展也远远超出了希尔伯特所预示的范围 重要的问题历来是推动科学前进的杠杆 但一位科学家如此自觉 如此集中地提出一整批问题 并如此持久地影响一门科学的发展 这在科学史上也是不多见的 四 世纪初数学哲学大论战 逻辑主义 直觉主义 形式主义 1 数学与哲学自古以来 数学与哲学的联系是非常密切的 人们在不断发展 运用数学的同时 提出了许多问题 数学大厦的基础是否巩固 它的结构是否有内在的缺陷 数学是否可以无条件的信赖 这些都是和数学有关的哲学问题 另一方面 许多哲学观点的形成或展开 和数学又有不解之缘 数学作为一门抽象的科学 对于一般的世界观和方法论有重大的影响 因而 和数学有关的一系列的哲学问题 值得关心数学的人们深思 2 现代数学基础的哲学挑战19世纪末到20世纪初 数学发展进入了一个激烈的变革时期 在历史上 人们多次统一数学的企图均未成功 牛顿 I Newton 1642 1727 和莱布尼兹 G W Leibniz 1646 1716 创立了微积分 把无限小带进了数学 牛顿在微分学中把增量dx看作无穷小 时而引进来 时而忽略不计 真可谓 挥之即去 呼之即来 于是贝克莱大主教称dx是 逝去量的鬼魂 马克思评论略去高阶无穷小dx2是 暴力镇压 唯心主义者的攻击和革命导师的批评都说明微积分确实 不严格 19世纪70年代 德国数学家康托尔创立无穷集合论 为统一数学的尝试提供了新的基础 19世纪即将结束之际 数学分析基础注入严密性和精确性因集合论的应用而得以成功 柯西建立了严格的极限理论 引进了 定义 戴德金 康托尔等又将实数理论严格化 分析学有了可靠的基础和完整的体系 数学概念的建立也因集合论的应用终于统一起来 整个数学呈现出空前的繁荣景象 1900年庞加莱第二届国际数学家大会上宣布 现在我们可以说 完全的严格性已经达到了 但是 这位数学权威的话音刚落 就爆发了极为深刻的 震撼整个数学大厦的第三次数学危机 从而导致了一场由许多数学家卷入的关于数学基础的哲学论战 然而 1902年 英 罗素 Russel 1872 1970 却以简单明了的集合论 悖论 打破了人们希望 罗素 B A W Russell 1872 1970 英国哲学家 数学家 逻辑学家 1950年诺贝尔文学奖获得者罗素1970年逝世 享年98岁 1902年 罗素 B A W Russell 1872 1970 发现的一个悖论真正强烈地引起了数学家的恐慌 罗素悖论可以表达为 所有不以自身为元素的集合所组成的集合 罗素悖论之所以不能等闲视之是因为 只要将它的陈述形式稍作修改 就可以用最基础的逻辑形式表达出来 因此 罗素悖论不仅触及集合论这一数学基础 而且也触动了逻辑学 因而使数学家和逻辑学家同时发出惊呼 数学基础发生危机了 几个悖论 罗素悖论 设M表示自已为自己的元素的集合 N表示自已不为自己的元素的集合 问N属于哪类集合 理发师悖论 某村理发师宣布 他给村里所有不给自已刮脸的人刮脸 问他是否给自已刮脸 古希腊一个克利特岛上人说话的悖论 我说的这句话是谎话 不真 中国古代民间故事 讼师的悖论 3 三大主要学派的诞生数学基础的危机向数学家们提出了一个问题 如何解决数学基础的可靠性和基础性的问题 可是要解决这个问题 既有技术问题 又有哲学问题 从技术上说 首先必须找到产生悖论的原因 根据罗素对悖论成因的分析 他认为 集合论产生悖论的根源在于集合的定义出现循环定义 或者叫做非直谓定义 即一个对象集合包含着只能用该集合才能定义的元素 从哲学上说 就已经出现的悖论来看 都出现 所有 集合的集合 的情况 这是一个涉及无穷总体的问题 也就是说 它涉及对哲学理论中的无穷的认识问题 但是 要解决这两个问题 首先遇到的不是技术性的问题 而是如何看待数学的真理性和无穷的问题 然后才能从具体技术入手去解决它 对这两个问题的不同认识就产生了不同的哲学观点 而在不同哲学观点支配下就产生不同的逻辑解决方法 这两方面结合在一起就在数学史上构成了三个不同的数学基础研究学派 逻辑主义 直觉主义和形式主义 4 三大主要学派的哲学思想数学基础从产生的初期便分成相互对立的三大学派 最早出现的是以罗素为代表的逻辑主义 它强调逻辑而排斥直觉 主张逻辑是整个数学的唯一基础 继之而起的是以布劳威尔为代表的直觉主义 它强调直觉而排斥逻辑 主张直觉才是数学的唯一基础 最后兴起的是以希尔伯特为代表的形式主义 认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征 它主张通过逻辑的相容性即无矛盾性来维护数学的数学的真理性和合法性 三派之间的热烈辩论成为现代数学史上著名的数学基础大论战 他们从各自的哲学观点出发 对悖论引起的数学危机 从概念的准确性 提法的严密性 推理的合理性等方面一一加以审查 对数学的本质 数学对象的存在性 数学的真理性以及与数学有关的逻辑问题等进行哲学思考 逻辑主义 代表人物 英 罗素 B A W Russell 1872 1970 英 怀特黑德 A N Whitehead 1861 1947 基本观点 逻辑主义学派的论题是 数学可以还原为逻辑学 因此 数学只不过是逻辑学的一部分 他们认为 数学概念可以通过显定义而从逻辑概念推导出来 数学定理可以通过纯粹的逻辑演绎法而从逻辑公理推导出来 按照罗素的主张 数学只不过是由命题P推出命题Q的这种演绎的总和 他认为数学研究的对象是形式结构 数学只有形式而无内容 即逻辑主义哲学观点的基本内容包括 一是先有逻辑而后有数学 二是整个数学大厦可以完全建立在逻辑的基础上 认为数学没有内容 只有形式 只要不允许用 集合的集合 这种逻辑语言 悖论就不会发生 评注 以罗素为代表的逻辑主义学派认为 数学是由逻辑派生出来的 即数学与经验事实无关 而是先验地从逻辑公理系统演绎出来的 依次 数学变成纯逻辑的产物 显然 这种观点与数学渊源于客观实际是背道而驰的 所以说逻辑主义从哲学和认识论的观点来看 其出发点带有唯心主义的色彩 方法的不可行性 逻辑主义者企图从一个逻辑公理系统中演绎出整个数学是不可能的 尽管他们作了大量的工作 然而他们从自己设计的所谓出来的纯逻辑公理系统的基础上进行逻辑演绎推理时 却 暗地里 利用了集合论中的无穷公理和选择公理 而这两个公理并非逻辑公理 给逻辑主义以致命打击的是哥德尔的不完备性定理 它证明了从逻辑并不能推出算术的正确性来 因而宣告了把数学全部归结为逻辑的企图是不可能的 逻辑主义对数学发展的主要贡献以罗素为代表的逻辑主义学派的历史功绩是不可磨灭的 他们为现代数理逻辑奠定了基础 而符号逻辑的公理化 揭示了数学与逻辑之间的关系 对于当今计算机的研制和人工智能的研究具有巨大现实意义 直觉主义 代表人物 克罗内克 L Kronecker 1823 1891 基本观点 直觉主义学派的基本哲学立场是把数学看成人类心智固有的一种制造活动 是人脑一种自由的 生气勃勃的思维 精神 活动所带来的产物 它主张数学的对象及真理不能脱离数学的理性或直觉而独立存在 数学理论的真伪只能通过人的直觉来判断 其次 直觉主义者认为无穷是产生悖论的根源 因此必须在数学中彻底地排斥产生悖论的根源 即康托尔等人提出的实无限 因为人们认为时间不是有限的 可以一直持续下去 但永远达不到无限 即实无限 所谓 全体实数 是不可接受的概念 而 一切集合的集合 之类更不能用直观理解的 因而不承认它的合理性 悖论自然也不会产生了 现代直觉主义系统理论的创立者是荷兰数学家布劳威尔 L E J Brouwer 1881 1966 他把数学思维理解为一种创造性程序 数学必须受到基本的数学直觉的限制 在他的1907年的博士论文 关于数学基础 和一系列论文中加以论述 他最惊人的主张是不承认排中律 不准使用反证法证明一命题为真 布劳威尔比起早期先驱者 无论是哲学上 还是在数学上 都更加彻底 完整地发展了直觉主义观点 他坚持认为概念性思维不是数学本身的一个部分 概念只不过是理性对创造的性质加以隔离而产生的纯消极产物 概念性思维不能给数学带来任何有益的贡献 在直觉中是找不到概念思维的 直觉主义学派最惊人的主张是反对把排中律运用于无穷集合 这其中包含着精彩的辨证思想 而哥德尔1931年证明的不完备性 确确实实使人们认识到排中律绝对性的亏损 排中律没有先验的绝对的正确性 庞加莱在某种程度上也支持直觉主义 希尔伯特也曾经发对 后来他也吸收了布劳威尔的长处 坚持有穷性观点最可靠 由此可见各学派之间还有相互促进的一面 评注 对整个数学发展的不利因素其一 直觉主义着认为先数学而后逻辑 逻辑只不过是数学的一个分支和论证手段之一 他们和逻辑主义者都不承认数学研究的对象渊源于客观实际 因此他们的观点也是属于唯心主义流派 其二 整个直觉主义运动 是从对经典数学的顽强的哲学开始的 他们认为经典数学是形而上学 正因为如此 直觉注意付出了巨大的代价 在数学方面丢失了许多的经典成果 积极意义直觉主义者强调可构造性或可行性对现代递归函数论的建立和发展起了很大的推动作用 特别是对计算机数学的发展意义更大 直觉主义逻辑仍将是数理逻辑研究中的一个重要课题 只是它已经输入了辨证的新时代精神而继续对数学进行哲学思考 形式主义代表人物 希尔伯特在集合论悖论出现之后 希尔伯特没有气馁 他奋起保卫 无穷 支持康托尔发对克罗内克 给纯粹性证明打气 基本观点 无论是数学的公理系统或逻辑的公理系统 其中基本概念都是无意义的 其公理也只是一行行的符号 无所谓真假 只要能证明该公理系统的相容性便得到承