数值分析试题及答案.pdf

武理武理数值分析数值分析考试试题纸 考试试题纸 A A 卷 卷 课程名称 数值分析 专业年纪 一 计算题 本题满分 100 分 共 5 小题 每小题 20 分 1 已知函数表 x 1 0 1 2 f x 0 1 2 15 1 求 f x 的三次 Lagrange 型插值多项式及其插值余项 要求化成最简形式 2 求 f x 的 Newton 插值多项式 要求化成最简形式 2 已知 A 212 013 612 求 A 1 A A 的 LU 分解 3 叙述 m 阶代数精度的定义 写出求 f x dx b a 的 Simpson 公式 并验证 Simpson 公式的 代数精度为 3 阶 4 设矩阵 A 01 2 11 求当 为何值时 解线性方程组 Ax b 的 Gauss Seidel 迭代法收敛 5 叙述最小二乘法的基本原理 并举例说明其应用 参考答案 一 计算题 1 解 1 L3 x l0 x y0 l1 x y0 l2 x y2 l3 x y3 x 0 x 2 x 2 1 0 1 1 1 2 0 x 1 x 1 x 2 0 1 0 1 0 2 1 x 1 x 0 x 2 1 1 1 0 1 2 2 x 1 x 0 x 1 2 1 2 0 2 1 15 x3 2x2 1 R3 x f x L3 x f 4 4 4 x 2 均差表如下 N x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 x1 x2 x x0 x x1 f x0 x1 x2 x3 x x0 x x1 x x2 0 1 x 1 2 x 1 x 0 1 x 1 x 0 x 1 x3 x2 1 2 解 A 1 max1 j 3 aij 3 i 1 2 0 6 8 A max1 i 3 aij 3 j 1 6 1 2 9 A LU 1 l211 l31l321 u11u12u13 u22u23 u33 212 013 612 由u11 2 u12 1 u13 2 l21 0 u22 1 u23 3 l31 3 l32 2 u33 2 xk f xk 一阶均差 二阶均差 三阶均差 x0 1 0 x1 0 1 1 x2 1 2 3 2 x3 2 15 13 5 1 所以 A LU 1 01 3 21 212 13 2 3 解 定义 如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立 但对于 m 1 次的多项式就不准确成立 则称该求积公式具有 m 次代数精度 f x dx b a 的 Simpson 公式 S b a 6 0f a 4f a b 2 f b 1 验证代数精度 当f x 1时 左边积分 1dx b a b a 右边S b a 6 1 4 1 b a 左边 当f x x时 左边积分 xdx b a 1 2 b 2 a2 右边S b a 6 0a 4 a b 2 b1 1 2 b 2 a2 左边 当f x x2时 左边积分 x2dx b a 1 3 b 3 a3 右边S b a 6 a2 4 a b 2 2 b2 1 3 b 3 a3 左边 当f x x3时 左边积分 x3dx b a 1 4 b 4 a4 右边S b a 6 a3 4 a b 2 3 b3 1 4 b 4 a4 左边 当f x x4时 左边积分 x4dx b a 1 4 b 5 a5 右边S b a 6 a4 4 a b 2 4 b4 左边 故 Simpson 公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立 而对四次多项式不成立 所以 Simpson 公式具有三次代数精度 4 解 Ax b x1 2x2 b1 2x1 x2 b2 其 Gauss Seidel 迭代格式为 x1 k 1 b1 2x2 k x2 k 1 b2 2x1 k k 0 1 2 迭代矩阵 B 0 0 2 20 1 该迭代发收敛的充要条件是矩阵 B 的谱半径 B 1 1 2 当 1 2时 解线性方程组 Ax b 的 Gauss Seidel 迭代法收敛 5 答 在 函 数 的 最 佳 平 方 逼 近 中 f x C a b 如 果 f x 只 在 一 组 离 散 点 集 xi i 0 1 m 上给定 这就是科学实验中经常见到的实验数据 xi yi i 0 1 m 的 曲线拟合 这里yi f xi i 0 1 m 要求一个函数y S x 与所给数据 xi yi i 0 1 m 拟 合 若 记 0 x 1 x n x 是 C a b 上 线 性 无 关 函 数 族 在 span 0 x 1 x n x 中找一函数S x 使误差平方和 2 2 i 2 m i 0 S x i yi 2 m i 0 minS x S xi yi 2 m i 0 这里 S x a0 0 x a1 1 x an n x n 这就是一般的最小二乘逼近 用几何语言说 就成为曲线拟合的最小二乘法 举例说明 测得铜导线在温度 时的电阻如表 6 1 求电阻 R 与温度 T 的近 似函数关系 i 0 1 2 3 4 5 6 19 1 25 0 30 1 36 0 40 0 45 1 50 0 76 30 77 80 79 25 80 80 82 35 83 90 85 10 解 画出散点图如下图所示 可见测得的数据接近一条直线 故取 n 1 拟合函数为 列表如下 i 0 19 1 76 30 364 81 1457 330 1 25 0 77 80 625 00 1945 000 2 30 1 79 25 906 01 2385 425 3 36 0 80 80 1296 00 2908 800 4 40 0 82 35 1600 00 3294 000 5 45 1 83 90 2034 01 3783 890 6 50 0 85 10 2500 00 4255 00