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7 4重积分的应用举例 1 重积分的几何应用 计算面积与体积 解 所求体积为 于是 曲面的面积 设曲面S的方程z f x y 在区域D上具有连续的一阶偏导数 则曲面S的面积为 设光滑曲面 则面积S可看成曲面上各点 处小切平面的面积dS无限积累而成 设它在D上的投影为d 称为面积元素 则 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 若光滑曲面方程为 则有 解由对称性知 所求曲面面积是位于第一挂限中的曲面的面积的8倍 于是所求曲面面积为 利用曲面的参数方程求曲面的面积 若曲面S由参数方程 给出 其中D是一个平面有界闭区域 又x u v y u v z u v 在D上具有连续的一阶偏导数 且 不全为零 则曲面S的面积 其中 解由已知条件得 2 重积分的物理应用 1 质量 平面薄片的质量 是薄片在处的面密度 空间物体的质量 是物体在处的体密度 设质心的横坐标为 x 薄片的质量为M 则 x M My 薄片对y轴的静矩为 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度 x y 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为 2 质心 分析 P点对x轴的静矩为dMx y x y d 设质心的横坐标为 y 薄片的质量为M 则 y M Mx 薄片对x轴的静矩为 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度 x y 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为 2 质心 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度 x y 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为 讨论 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度是常数 如何求该平面薄片的质心 称为形心 提示 2 质心 类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度 x y z 是闭区域 上的连续函数 则该物体的质心坐标为 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度 x y 是闭区域D上的连续函数 则该平面薄片的质心坐标为 2 力矩与质心 转动惯量元素 在点P x y 处取一直径很小的小薄片 其面积 面积元素 为ds 其质量认为集中于点P 其值近似为r x y ds P点对x轴和对y轴的转动惯量为dIx y2 x y d dIy x2 x y d 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度 x y 是D上的连续函数 则该平面薄片对x y轴的转动惯量为 3 物体的转动惯量 类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度 x y z 是 上的连续函数 则该物体对于x y z轴的转动惯量为 设一平面薄片占有xOy面上的闭区域D 其面密度 x y 是D上的连续函数 则该平面薄片对x y轴的转动惯量为 3 物体的转动惯量 解因为闭区域D对称于y
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