第四章不定积分.doc

第四章 不定积分本章知识结构导图 4.1 美丽的数学 中国古代著名哲学家庄子说:“判天地之美, 析万物之理.”这是学习与研究数学的指导思想和最高美学原则.古希腊柏拉图派的领军人物, 哲学家、评论家普洛克拉斯(Proclus,410-485)指出: “数学是这样一种东西: 她提醒你有无形的灵魂, 她赋予她所发现的真理的生命; 她唤起心神, 澄清智慧; 她给我们的内心思想添加光辉; 她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知”“哪里有数, 哪里就有美”数学追求的目标是, 从混沌中找出秩序, 使经验升华为规律, 将复杂还原为基本. 所有这些都是美的标志, 美是真理的光辉. 那么, 什么是美呢？美有两条标准: 一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根）; 二、美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐（海森堡）. 数学的美具体表现在: 简单、对称、和谐、统一、普遍、典型、完备和奇异等. 数学中的对称美是很明显的, 如一切平面图形中最为完美的对称是圆形, 一切立体图形中最为完美的对称是球形, 再如, , , , 等无不体现出对称的美妙. 同时数学又是相当和谐简洁的, 如出身大不相同的五个重要实数能和谐共处在一个简洁的等式中, 即欧拉公式. 从数的产生到数量关系的形成, 再到各种演算的法则, 无不体现着数学的一种平衡和谐的美正数与负数、实数与复数、从平面上的圆方程到空间的球面方程等等, 都具有一种形式上的美加与减、乘与除、乘方与开方、函数与反函数, 那是数学内在的平衡的美正因为数学具有这种形式到内容美的品质, 才使她发展得如些完善, 并成为“科学的大门和钥匙”培根(RBacon, 约1220-129, 美国哲学家, 科学家和教育改革家).本章开始我们讨论的积分学与第二章研究的微分学, 就是一对和谐的平衡体.4.2 不定积分的概念 一、问题的引入在微分学中, 我们已经讨论了已知函数求导数（或微分）的问题但是, 在科学技术和经济问题中, 我们经常需要解决与求导数（或微分）相反的问题, 即已知函数的导数（或微分）, 求其函数本身看以下两个问题: 例如已知某产品的成本是其产量的函数, 则该产品成本关于产量的变化率（边际成本）是成本对产量的导数反之, 若已知成本的变化率, 求该产品的成本函数, 是一个与求导数相反的问题再例如已知曲线在处切线的斜率是函数在该点的导数值, 即但是, 如果已知某曲线在处的切线斜率为, 求该曲线的方程, 也是一个与求导数相反的问题二、原函数与不定积分的概念【定义1】 若在某个区间上, 函数与满足关系式: 或, 则称为在上的一个原函数例如: , 故是在上的一个原函数; 而, 故是在上的一个原函数然而, , 说明, , 等都是的原函数, 于是, 我们自然会想到以下两个问题: 1 已知函数应具备什么条件才能保证它存在原函数？2 如果存在原函数, 那么它的原函数有几个？相互之间有什么关系？结论是: 【定理1】（原函数存在定理） 如果函数在某区间上连续, 则在上一定存在原函数此定理将在下一章中给以证明.【定理2】（原函数族定理） 如果函数是的一个原函数, 则有无限多个原函数, 且就是的所有原函数（称为原函数族）.【证明】 因为是的一个原函数, 则有, 而，说明对任意的常数, 都是的原函数, 即有无穷多个原函数又设和是的两个不同的原函数, 则有和, 从而有,根据拉格朗日中值定理的推论, 于是有, 即,说明的任意两个原函数之间至多相差一个常数, 则的所有原函数可表示成.【定义2】 若函数是的一个原函数, 则把的全体原函数称为的不定积分, 记作, 即其中叫积分号, 叫被积函数, 叫被积表达式, 叫积分变量 【例1】 求 【解】 由于, 所以, 是的一个原函数, 因此【例2】 计算不定积分【解】 因为, 所以.【例3】 求不定积分【解】 当时, , 所以 ; 当时, , 所以 , 由绝对值的性质有: ,从而 【例4】 求在平面上经过点, 且在任一点处的斜率为其横坐标的三倍的曲线方程【解】 设曲线方程为, 由于在任一点处的切线斜率, 则有, 即 又由于曲线经过点, 得, 所以 【例5】 某工厂生产某产品, 每日生产的总成本的变化率（边际成本）是, 已知固定成本为元, 求总成本【解】因为, 所以又已知固定成本为万, 即当时, , 因此有, 从而有即总成本是三、不定积分的基本公式由于不定积分是导数的逆运算, 由第二章的导数公式, 我们得到以下基本积分公式: （1） （2）（3） （） （4） （5） （且） （6） （7） （8） （9） （10）（11） （12）（13） （14） 四、不定积分的性质【性质1】 或 .【性质2】 或 .【性质3】 （其中, 即非零常系数可以移到积分号之前）.【性质4】 （即若干个函数代数和的不定积分, 等于若干个函数不定积分的代数和）.【性质1的证明】 设为的一个原函数, 即 , 于是有 两边求导就得 .其他性质的证明略.性质1表示一个函数先求不定积分再求导, 就是本身; 性质2表示一个函数先求导数（或微分）再求不定积分, 等于这个函数加上一个任意常数. 由此可见, 从运算上微分与积分是一对互逆的运算.习题4.21. 填空题 （1）( ) =（2）( )=（3）的全体原函数为（ ）, 其中经过点的一个原函数是（ ）2. 选择题 （1）（ ） . . . . （2）下列为的原函数的是（ ）. . . . 3.计算下列不定积分 （1） （2）（3） （4） （5） （6）（7） （8）4.3 不定积分的计算 求不定积分的方法称为积分法, 在本节, 我们将按照被积函数的不同类型, 给出不同的计算不定积分的方法一、直接积分法利用不定积分的基本公式和不定积分的性质求不定积分的方法叫直接积分法【例6】 求 .【解】 .【例7】 求 .【解】 .有些函数看上去不能利用基本公式和性质进行直接积分, 但经过化简或恒等变形, 也可以直接进行积分.【例8】 求 .【解】.【例9】 求 .【解】.【例10】 求 【解】 原式.【例11】 求 .【解】 因为, 所以 .【例12】 求 【解】 因为 , 所以, 原式.【例13】 求 .【解】.在以上函数的变形中, 三角函数的恒等变换是比较灵活的, 一定要先掌握好一些常用的三角恒等变换公式, 如倍角公式、降幂公式等.有兴趣的同学还可考虑: , 等.二、第一类换元积分法（凑微分法）利用积分基本公式和性质可以计算的不定积分只是一小部分, 有的函数虽简单, 但无论如何变换都难以利用基本公式计算, 比如, 这就需要寻求新的计算方法.【定理3】 若, 则有, 其中有连续的一阶导数.【证明】由于, 则 令, 原式=上述证明中, 用到了微分公式 , 也称之为凑微分法在计算中, 凑微分这一步至关重要【例14】 求 【解】因为 , 则原式【例15】 求 （为常数）【解】 原式【例16】 求 【解】因, 则原式求不定积分的各种方法, 一般是不可替代的 所以, 判断出什么函数用什么积分方法非常关键, 我们观察定理3中被积函数的特点, 不妨称为“主函数关系”, 它的原函数是已知的, 同时又包含再乘上, 注意: 具有导数关系.把的特点归纳为: (1)主函数的原函数已知; (2)整个函数中, 一部分是另一部分的导数.【例17】 求 .【解】因, 又由于, 则原式.在求解例17的过程中, 省略了换元（）的过程, 请仔细考虑并熟练掌握, 它将能提高计算的速度.【例18】 求 .【解】 因为, 所以, 原式.以下, 我们按照常见的被积函数中导数关系的特点, 作进一步的细分.1. 主函数中的变量为一次函数, 即. 由于（常数）, 而常数可以拿到积分号外面出来, 所以有: 【例19】 求 .【解】 已知, 则原式.请思考: , , .2. 主函数中变量为, 被积函数中还包含, 而与是导数关系.【例20】 求 .【解】 因为, 所以原式.请思考: , , .3. 被积函数中同时含有与.【例21】 求 .【解】 由于, 所以原式.请思考: , .4. 被积函数中同时含有.【例22】 求.【解】原式.【例23】 求.【解】原式=.请考虑: , . 5. 被积函数中同时含有与或与.【例24】 求 .【解】 原式.请考虑: 6. 其它一些常见的具有导数关系的函数还有: 与, 与, 与等等.【例25】 求 .【解】 原式.*【例26】 设 , 试求 .【解】 因为 , 即, 所以原式.【例27】 求.【解】因为 , 所以原式.请思考: , , , .*三、第二类换元法在第一类换元法中, 作变换, 把积分变成后再直接积分.有一类函数（最常见的是含有根式的）需要作以上相反的变换, 令, 把化成的形式以后再进行积分运算.【定理4】 设单调可导, 且, 又设具有原函数, 则有.1. 根式代换当被积函数中含有的形式, 我们可以直接令或【例28】 求 .【解】 令, 则, 原式.【例29】 求.【解】令（和 的最小公倍数）, 则, 原式2. 三角代换当被积函数中含有时, 使用根式代换是无效的, 为了去根号, 我们采用三角代换.【例30】 求 .【解】令 , 则, , 于是原式为了将变量还原成, 按原变换作一辅助三角形（如图4.1）则 , , , 从而原式 . 图4.1一般常用的三角代换有下列三种:(1) 被积函数中含有 , 令 或 ; (2）被积函数中含有 , 令 或 ; (3）被积函数中含有 , 令 或 .【例31】 求.【解】令 , 则, , 于是原式, 再作如图4.2的辅助三角形, 原式 图4.2 【例32】 求 【解】令, 则, 原式=, 按变换, 作辅助三角形（如图4.3）原式 图4.3 四、分部积分法前面, 我们在复合函数求导法则的基础上, 得到了换元法. 现在, 我们利用两个函数乘积的求导法则, 来推出另一种积分法分部积分法【定理5】 设具有连续的导数, 则有 或 （证明略）定理5主要作用是把左边的不定积分转化为右边的不定积分, 显然后一个积分较前一个积分要容易, 否则, 该转化是无意义的【例33】 求 【解】选, 原式【例34】 求【解】选, , 原式(利用上式结果).【例35】 求 .【解】 选,原式.【例36】 求.【解】 因为, 所以选, 原式【例37】 求.【解】选,原式 .相对于第一类换元法, 分部积分法计算的被积函数的特点更加明显, 一般有以下三个结论: (1) 被积表达式为 时, 可选 , (即 ）; (2) 被积表达式为或时, 可选, 或(即或）; (3) 被积表达式为 , 可取 , （即）.请思考: , , , , .【例38】 求 .【解】 选,原式.【例39】 求.【解】选,原式,同理 ,所以 ,移项后得 , 于是有.例39中使用的是递推的方法, 请注意例38与例39两类被积函数的特点, 并考虑: , , .习题4.3 _ 一、填空题: （1）（ ）; （2）（ ）（3）已知在曲线上任一点处切线的斜率为, 且过点, 则此曲线方程为（ ）二、选择题: （1）（ ）; . . . .（2）设 , 则下列结论正确的是（ ）. . . .三、计算下列不定积分: （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19） （20）（21） （22）（23） （24）（25） （26）本章小结: 学习本章主要掌握两个基本概念、基本公式与性质以及几种求不定积分的方法一、两个基本概念 1. 原函数: 若为的一个原函数（ 即）, 则有无限多个原函数, 且就是的所有原函数.2. 不定积分: 的不定积分就是的全体原函数（即）二、基本公式与性质（1） （2）（3） （） （4） （5） （且） （6） （7） （8） （9） （10）（11） （12）（13） （14） 【性质1】 或 .【性质2】 或 .【性质3】 （其中, 即非零常系数可以移到积分号之前）.【性质4】 三、几种求不定积分的方法:1. 直接积分法: 最多只要对被积函数进行化简或适当地恒等变形, 然后利用基本公式和性质可以求出不定积分的方法2. 第一类换元积分法, 也叫凑微分法: 设, 则有.*3. 第二类换元积分法: 主要针对形式有两种与、, 换元的目的是去根号, 即.4. 分部积分法: 这种方法求解的被积函数主要有三种形式, 此方法关键是要正确选择和, 即.其实积分法的一般法则可由微分法的一般法则逆推而得, 见如下表格微分法则积分法则加减法求导法则: 乘法求导法则: 复合求导法则: , 其中线性法则: 分部积分法: 第一类换元法: 第二类换元法: 综合练习 一、填空题: 1 ; 2 ; 3 ; 4曲线的斜率为, 且过点, 则曲线方程为 ; 5若, 则 ; 6设, 且, 则 ; 7设, 且, 则 .二、选择题1设是的一个原函数, 则（ ）; . . . . 2设是的一个原函数, 则（ ）; . . . . 3下列函数为不同一个函数的原函数的是（ ）; . . . . 4设, 且, 则( ). . . . 以上都不对三、计算题1求下列不定积分（1） （2）（3） （