数值分析第四版实验报告.doc

数值分析第四版实验报告 实验四数值积分 实验目的 1、了解并掌握matlab软件的基本编程、操作方法； 2、初步了解matlab中的部分函数，熟悉循环语句的使用； 3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。 实验题目： 141.用不同数值方法计算积分错误！未指定书签。?xlnxdx=-.09 (1)取不同的步长h.分别用复合梯形及辛普森求积计算积分，给出误差中关于h的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h，使得精度不能再被改善？ (2)用龙贝格求积计算完成问题（1）。 1.实验原理 n?1h(1)复合梯形公式：Tn=f(a)?f(b)?2?f(xk)；2k?1 n?1n?1h(2)复合辛普森公式：Sn=f(a)+f(b)+2?f(xk)+4?f(x?1/2)；6k?1k?0 以上两种算法都是将a-b之间分成多个小区间（n）,则h=(b-a)/n,xk=a+kh,xk+1/2=a+(k+1/2)h,利用梯形求积根据两公式便可。 (3)龙贝格算法：在指定区间内将步长依次二分的过程中运用如下公式 411、Sn=T2n-Tn33 1612、Cn=S2n-Sn1515 6413、Rn=C2n-Cn6363 2.程序设计 （1）、复合梯形法： functiont=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f); （2）、复合辛普森法： functiont=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2); （3）龙贝格法： functionI,step=Roberg(f,a,b,eps) if(nargin=3) eps=1.0e-4; end; M=1; tol=10; k=0; T=zeros(1,1); h=b-a; T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f),b); whiletoleps k=k+1; h=h/2; Q=0; fori=1:M x=a+h*(2*i-1); Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f),x); end T(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q; M=2*M; forj=1:k T(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j)/(4j-1); end tol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j); end I=T(k+1,k+1); step=k; 3.实验结果； （1）复合梯形法 formatlong;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),formatshort; ans= -0.41706283177947 formatlong;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),formatshort; ans= -0.44311790800816 formatlong;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),formatshort; ans= -0.44438753899716 (2)、复合辛普森法结果： formatlong;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,10),formatshort; ans= -0.43529789007469 formatlong;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,100),formatshort; ans= -0.44416117841567 formatlong;natrapz(inline(sqrt(x).*log(x),eps,1,1000),formatshort; ans= -0.44443411761418 (3)龙贝格法结果 q,s=Roberg(sqrt(x)*log(x),0.0000001,1) q= -0.4444 s= 9 4.总结由实验结果可知复合辛普森法求积分精度明显比复合梯形法求积的精度要高，且当步长取不同值时即n越大、h越小时，积分精度越高。实验结果说明不存在一个最小的h,使得精度不能再被改善。 数值分析实验报告 1 实验一、误差分析 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 一、实验目的 1、通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2、通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念；3、通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二、实验任务 对n?0,1,2,?,20，计算定积分 xn yn?dx.x?501 算法1：利用递推公式 yn? 11?5yn?1,n?1,2,?,20,n 取y0?01dx?ln6?ln5?0.182322.x?5 算法2：利用递推公式 yn?1?11?ynn?20,19,?,1.5n5 注意到 1120xxx?xdx?dx?x20dx?,12660x?5510500 2 111 取y20?111(?)?0.008730.xx5126 思考：从计算结果看，哪个算法是不稳定的，哪个算法是稳定的。算法1： t=log(6.0)-log(5.0); n=0; y=zeros(1,21); y(1)=t; fork=2:21 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y(1:6) y(7:21) 运行结果： ans=0.1823-0.41162.3914-11.706958.7343-293.5049 算法2： y=zeros(21,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/20; fork=21:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-y(k)/5; n=n+1; end 运行结果： y=0.08840.05800.04310.03430.02850.02430.02120.01880.01690.01540.01410.01300.01200.01120.01050.00990.00930.00810.00950 由数据对比可知，算法2较为稳定。 3 0.0089 实验二、插值法 插值法是函数逼近的一种重要方法，它是数值积分、微分方程数值解等数值计算的基础与工具，其中多项式插值是最常用和最基本的方法。拉格朗日插值多项式的优点是表达式简单明确，形式对称，便于记忆，它的缺点是如果想要增加插值节点，公式必须整个改变，这就增加了计算工作量。而牛顿插值多项式对此做了改进，当增加一个节点时只需在原牛顿插值多项式基础上增加一项，此时原有的项无需改变，从而达到节省计算次数、节约存储单元、应用较少节点达到应有精度的目的。 一、实验目的 1、理解插值的基本概念，掌握各种插值方法，包括拉格朗日插值和牛顿插值等，注意其不同特点； 2、通过实验进一步理解并掌握各种插值的基本算法。 二、实验任务 1、已知函数表xiyix?0.5635时的函数近似值。 2、已知函数表 xiyiN3(0.596)和N4(0.895)。 1. functiony,R=lagranzi(X,Y,x,M) x=0.5635; M=2; X=0.56160,0.56280,0.56401,0.56521; Y=0.82741,0.82659,0.82577,0.82495; 4 n=length(X); m=length(x); fori=1:m z=x(i);s=0.0; fork=1:n p=1.0; q1=1.0; c1=1.0; forj=1:n ifj=k p=p*(z-X(j)/(X(k)-X(j);end q1=abs(q1*(z-X(j);c1=c1*j; end s=p*Y(k)+s; end y(i)=s; end R=M.*q1./c1; 运行结果： ans=0.8261 2. N3(0.596) functiony,R=newcz(X,Y,x,M)x=0.596; M=3; X=0.4,0.65,0.9; Y=0.41075,0.69675,1.02652;n=length(X);m=length(x);5 数值分析实验报告 目录 第二章.1 1.【第一题】.1第三章.3 2.【第二题】.3第四章.6第六章.10第七章.16第七章习题.26第八章.28 第二章 1. 【第一题】在区间-1,1上分别取 f(x)? n=10、20用两组等距节点对龙格函数 1 做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f(x) 1?25x2 的图形。 解：先编制Lagrange插值函数的m文件：n=length(x0);symsx;fork=1:nl(k)=x/x;forp=1:nifp=k l(k)=l(k)*(x-x0(p)/(x0(k)-x0(p);endendendz=0;fork=1:n z=z+l(k)*y0(k);end y1=subs(z,x,x1); 然后对n=10的情形做Lagrange插值并画图： x0=-1:.2:1;y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:.001:1;y1=lagrange(x0,y0,x);y=1./(1+25*x.2);plot(x,y,x,y1,-.,x0,y0,p); legend(RungeFunction,插值函数,插值节点); title(n=10时的);xlabel(x);ylabel(y); Lagrange插值的龙格现象 再对n=20的情形做Lagrange插值并画图： x0=-1:.1:1;y0=1./(1+25*x0.2);x=-1:.001:1;y1=lagrange(x0,y0,x);y=1./(1+25*x.2);plot(x,y,x,y1,-.,x0,y0,p); legend(RungeFunction,插值函数,插值节点); title(n=20时的Lagrange插值的龙格现象);xlabel(x);ylabel(y); 第三章 2. 【第二题】下列数据节点的插值： 可得到平方根函数的近似。x=01491625364964;y=012345678; x0=0:.5:64;y0=lagrange(x,y,x0); y1=sqrt(x0);plot(x0,y1,x0