初中中考数学知识点总结.doc

1 实数的有关概念【知识梳理】1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴实数和数轴上的点一一对应.3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作a，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数a的相反数是-a，0的相反数是0.5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6. 科学记数法：把一个数写成a10n的形式(其中1an）；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(m,n都是整数)积的乘方法则：积的乘方，等于把积德每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n为正整数）；零指数幂：（a0）；负整数次幂：（a0，n为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除。 (2)单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项。 (3)多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项。(4)多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式。(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式4.分解因式的方法： 提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法 运用公式法：公式 ； (3)分组分解法：分组后能提公因式；分组后能用公式(4)十字相乘法：5分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解（一提二套三检查）6分解因式时常见的思维误区： 提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等.7.判断某变形是否是分解因式，要抓住要点：由和变为积；应是恒等变形。4 分式与分式方程【知识梳理】1、分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式叫做分式2、分式的基本性质：（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变；（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；（3）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。3、求最简公分母的一般步骤：取各分母系数的最小公倍数；凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。4、 分式运算（1） 加减法： （2） 乘除法： （3）乘方（n为正整数）4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根增根能使分式方程的最简公分母为零，但它是由分式方程化成的整式方程的根，即它代入可满足整式方程。【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验5 二次根式【知识梳理】1.二次根式：（1）定义:形如的式子叫做二次根式.（2）二次根式具有双重非负性，即二次根式中被开方数一定是非负数，并且二次根式.2二次根式的化简：（3） ；（4）3 最简二次根式应满足的条件： （1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式（2） 根号内不含分母 （3）分母上没有根号4同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式5二次根式的乘法、除法公式：（1）（2）6.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：该化简的没化简；不该合并的合并；化简不正确；合并出错（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式【思想方法】 非负性的应用6 一元一次方程及二元一次方程（组）【知识梳理】1方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题 2等式的基本性质及用等式的性质解方程： 等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 3灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组4用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义【思想方法】方程思想和转化思想7 一元二次方程【知识梳理】1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0 (a0) 2. 一元二次方程的解法：直接开平方法配方法公式法因式分解法3求根公式：当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根为4根的判别式： 当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根，即当b2-4ac=0时， 方程有两个相等的实数根，即当b2-4ac0时，方程没有实数根当b2-4ac0时，方程有实数根5 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 若关于的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)有两个根分别为，则，【思想方法】1. 常用解题方法换元法2. 常用思想方法转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想8 方程的应用【知识梳理】1. 方程（组）的应用；一元二次方程的应用；2. 列方程（组）解应用题的一般步骤；3. 分式方程实际问题中对根的检验非常重要；问题中方程的解要符合实际情况【注意点】分式方程的检验，实际意义的检验9 一元一次不等式（组）【知识梳理】1.一元一次不等式（组）的概念；2.不等式的基本性质；3.不等式（组）的解集和解法【思想方法】1.不等式的解和解集是两个不同的概念；2.解集在数轴上的表示方法10 平面直角坐标系、函数及其图像【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征 4. 点P（a，b）关于 对称点的坐标5.两点之间的距离6.线段AB的中点C，若 则二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法【思想方法】 数形结合11 一次函数图象和性质【知识梳理】1 正比例函数的一般形式是y=kx(k0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k0). 在定义中应注意的问题ykxb中，k、b为常数，且k0，x的指数一定为1。2. 一次函数的图象是经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.3. 一次函数的图象与性质k、b的符号k0，b0k0，b0k0，b0k0，b0图像的大致位置 经过象限第一、二、三象限第一、三、四象限第一、二、四象限第二、三、四象限性质y随x的增大而 增大 y随x的增大而而 增大 y随x的增大而 减小 y随x的增大而 减小 （1）形状、直线 （4）当b0时直线与y轴交于原点上方；当b0时，直线与y轴交于原点的下方。（5）当b=0时，ykx（k0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。4. 二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。【思想方法】数形结合12 反比例函数图象和性质【知识梳理】1 反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=或（k为常数，k0）的形式，那么称y是x的反比例函数2. 反比例函数的图象和性质k的符号oyxk0yxok0图像的大致位置经过象限第一、三象限第二、四象限性质在每一象限内,y随x的增大而 减小 在每一象限内,y随x的增大而 增大 3的几何含义：反比例函数y (k0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y (k0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .【思想方法】数形结合13 二次函数图象和性质【知识梳理】1. 二次函数的图像和性质0yxO0图 象开 口开口向上并向上无限伸展开口向下并向下无限伸展对 称 轴顶点坐标最 值当时，y有最 小值当时，y有最 大值增减性在对称轴左侧y随x的增大而减小y 随x的增大而增大在对称轴右侧y随x的增大而增大y随x的增大而减小2. 二次函数用配方法可化成的形式，其中 ， .3. 二次函数的图像和图像的关系.4. 二次函数中的符号的确定.5.二次函数的解析式：（1）一般式：； （2）顶点式： （3）两根式：6.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.7.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点()抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）()抛物线与轴相切； 没有交点()抛物线与轴相离. （3）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（2）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （4）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定： 方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点； 方程组无解时与没有交点. （5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，则 【思想方法】 数形结合 14 数据的描述、分析【知识梳理】1.掌握总体、个体、样本、样本容量四个基本概念；2.理解样本平均数、极差、方差、 标准差、中位数、众数.3. 明确扇形图、条形图、折线统计图的区别与联系【思想方法】 1. 会运用样本估计总体的思想 2. 基本图形的识别15 概率问题及其简单应用【知识梳理】1了解频数、频率、必然事件和不可能事件、确定事件、随机事件、频率的稳定性等概念，并能进行有效的解答或计算2在具体情境中了解概率的意义；能够运用列举法（包括列表、画树状图）求简单事件发生的概率能够准确区分确定事件与不确定事件 3. 必然事件发生的概率是1，记作P（A）=1 不可能事件发生的概率为0，记作 P（A）=0 随机事件发生的概率是0和1之间的一个数，即0P（A）1【思想方法】频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率16 线段、角、相交线与平行线【知识梳理】1、线段、角、相交线与平行线的概念，互余、互补的概念2、线段、角的大小的比较3、平行公理平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。ABCDEF1234几何符号语言：ABCD12（两直线平行，内错角相等）ABCD32（两直线平行，同位角相等）ABCD42180（两直线平行，同旁内角互补）6、两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行ABCDEF1234简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：32ABCD（同位角相等，两直线平行）12ABCD（内错角相等，两直线平行）42180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）请注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。平行线的判定是写角相等，然后写平行。17 三角形基础知识【知识梳理】1、三角形三边的关系；三角形的分类2、三角形内角和定理；3、三角形的高，中线，角平分线4、三角形中位线的定义及性质【 思想方法】方程思想，分类讨论等 18 全等三角形【知识梳理】1、定义：能够完全重合的两个三角形全等2、性质：两个全等的三角形的对应边和对应角分别相等3、边角边（SAS）角边角（ASA） 角角边（AAS）边边边（SSS）“HL” 19 等腰三角形（三线合一）【知识梳理】1. 等腰三角形的定义；2. 等腰三角形的性质和判定；3.等边三角形的性质和判定【思想方法】方程思想，分类讨论20 直角三角形（勾股定理）【知识梳理】1. 直角三角形的定义；2. 直角三角形的性质和判定；3.特殊角度的直角三角形的性质4勾股定理：a2+b2=c2【思想方法】1. 常用解题方法数形结合2. 常用基本图形直角三角形21 锐角三角函数【知识梳理】【思想方法】1. 常用解题方法设k法2. 常用基本图形双直角 22 锐角三角函数的简单应用【知识梳理】1. 坡面与水平面的夹角()称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值2. 仰角：仰视时，视线与水平线的夹角俯角：俯视时，视线与水平线的夹角【思想方法】1. 常用解题方法设k法2. 常用基本图形双直角 23 多边形及其内角和、梯形【知识梳理】1. n边形的内角和等于(n2)180（n3，n是正整数），外角和等于3602. 对角线3. 正多边形的内切圆和外接圆4.利用三角形、四边形或正六边形进行简单的镶嵌设计【思想方法】解决此类问题时要注重观察、操作、猜想、探究等活动过程，注重知识的理解和运用. 24 平行四边形【知识梳理】1、 平行四边形的概念和性质（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”2、四边形的不稳定性3、平行四边形有关性质（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的 对角线互相平分；（4）面积：； 平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形4、平行四边形的判别方法（四边形是平行四边形的条件）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形25 矩形、菱形、正方形、梯形【知识梳理】1、几种特殊四边形的性质：2、几种特殊四边形的常用判定方法：3、各种特殊四边形之间的关系4、有关中点四边形的几个结论1、任意四边形的四边中点围成的四边形是平行四边形。2、对角线互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是矩形。3、对角线相等的四边形的四边中点围成的四边形是菱形。4、对角线相等并且互相垂直的四边形的四边中点围成的四边形是正方形。5、梯形中常见的添辅助线的技巧 1.延长两腰交于一点 2.平移一腰 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 作用：使梯形问题转化为平行四边形 若是等腰梯形则得到两个等腰三角形 及三角形问题，CE等于上、下底的差。 若是等腰梯形则得到一个等腰三角形 3.作高 4.平移一条对角线作用：使梯形问题转化为直角三角 作用：得到平行四边形ACED，则CE=AD，形及矩形问题。 BE等于上、下底的和.若是等腰梯形则得到两个全等的直角三角形。 若是等腰梯形则DBE是等腰三角形5. 当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中 6. 当有一腰中点时，过中点作另一腰点并延长与一个底的延长线相交。 的平行线。作用：可得ADEFCE, 作用：可得到平行四边形和全等三角形.BF等于上、下底的和.7.当有一腰中点时，取另一腰的中点 8.上下底边有中点时，过上底中点并连结两腰中点。 作两腰的平行线作用：构造梯形的中位线 作用：可得到两个平行四边形和三角形.26 相似形【知识梳理】1、比例的基本性质，线段的比、成比例线段，黄金分割2、认识图形的相似，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积比等于对应边比的平方3、相似三角形的概念、性质 4、两个三角形相似的条件5、相似三角形的性质：对应边（高）的比、周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方6、平行线分线段成比例定理：（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：abc，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、CD、E、F，则有（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如图：ABC中，DEBC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：7、直角三角形中的射影定理：如图：RtABC中，ACB90o，CDAB于D，则有：（1）（2）（3）【思想方法】1. 常用解题方法设k法2. 常用基本图形A形、X形27 圆的基本性质【知识梳理】1圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2圆的有关性质： （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径3三角形的内心和外心:（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 （2）三角形的外心： （3）三角形的内心： 4. 圆心角的度数等于它所对弧的度数圆周角的度数等于它所对弧的度数一半 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半5.弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC为弦切角。OPBCA（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果AC是O的弦，PA是O的切线，A为切点，则6.相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，即：PAPB = PCPD割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即：PAPB = PCPD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图，即：PC2 = PAPB 28 直线与圆、圆与圆的位置关系【知识梳理】 1. 直线与圆的位置关系： 2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d，半径分别为）相交； 外切； 内切； 外离； 内含【注意点】与圆的切线长有关的计算29 圆的有关计算【知识梳理】1. 圆周长公式： 2. n的圆心角所对的弧长公式：3. 圆心角为n的扇形面积公式：、4. 圆锥的侧面展开图是：扇形；底面半径为R，母线长为的圆锥的侧面积公式为：；圆锥的表面积的计算方法是：5.圆柱的侧面展开图是：矩形；底面半径为，高为的圆柱的侧面积公式是：；圆柱的表面积的计算方法是：30 视图与投影【知识梳理】1、 主视图、左视图、俯视图2、 主俯长相等，主左高平齐，俯左宽相等【思想方法】转化：立体与平面互化31