陕西西安市高二数学《椭圆的标准方程》课件.ppt

椭圆的标准方程 如何精确地设计 制作 建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢 生活中的椭圆 一 问题情境 注意 椭圆定义中容易遗漏的三处地方 1 必须在平面内 2 两个定点 两点间距离确定 3 绳长 轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考 在同样的绳长下 两定点间距离较长 则所画出的椭圆较扁 线段 在同样的绳长下 两定点间距离较短 则所画出的椭圆较圆 圆 由此可知 椭圆的形状与两定点间距离 绳长有关 1椭圆定义 平面内与两个定点的距离和等于常数 大于 的点的轨迹叫作椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 二 复习回顾 pf1 pf2 2a 2a 2c 0 f1f2 2c o r 设圆上任意一点p x y 以圆心o为原点 建立直角坐标系 两边平方 得 2 学生活动 回忆在必修2中是如何求圆的方程的 2 学生活动 求动点轨迹方程的一般步骤 1 建立适当的坐标系 用有序实数对表示曲线上任意一点m的坐标 2 写出适合条件p的点m的集合 可以省略 直接列出曲线方程 3 用坐标表示条件p m 列出方程 5 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 可以省略不写 如有特殊情况 可以适当予以说明 4 化方程为最简形式 3 列等式 4 代坐标 坐标法 5 化简方程 1 建系 2 设坐标 2 学生活动 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则 对称 简洁 方案一 解 取过焦点f1 f2的直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图 设m x y 是椭圆上任意一点 椭圆的焦距2c c 0 m与f1和f2的距离的和等于正常数2a 2a 2c 则f1 f2的坐标分别是 c 0 c 0 3 建构数学 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 代入坐标 1 椭圆的标准方程的推导 两边除以得 由椭圆定义可知 总体印象 对称 简洁 像 直线方程的截距式 焦点在y轴 焦点在x轴 2 椭圆的标准方程 图形 方程 焦点 f c 0 f 0 c a b c之间的关系 c2 a2 b2 mf1 mf2 2a 2a 2c 0 定义 3 两类标准方程的对照表 注 共同点 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上 中心在坐标原点的椭圆 方程的左边是平方和 右边是1 不同点 焦点在x轴的椭圆项分母较大 焦点在y轴的椭圆项分母较大 例1 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆 它的焦距为2 4m 外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m 求这个椭圆的标准方程 解 以两焦点f1 f2所在直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立如图所示的直角坐标系xoy 则这个椭圆的标准方程可设为 根据题意有 即 因此 这个椭圆的标准方程为 4 数学应用 练习 1 已知椭圆的方程为 请填空 1 a b c 焦点坐标为 焦距等于 2 若c为椭圆上一点 f1 f2分别为椭圆的左 右焦点 并且cf1 2 则cf2 变题 若椭圆的方程为 试口答完成 1 若方程表示椭圆呢 5 4 3 6 3 0 3 0 8 课堂练习 1 口答 下列方程哪些表示椭圆 若是 则判定其焦点在何轴 并指明 写出焦点坐标 解 例2 将圆 4上的点的横坐标保持不变 纵坐标变为原来的一半 求所的曲线的方程 并说明它是什么曲线 设所的曲线上任一点的坐标为 x y 圆 上的对应点的坐标为 x y 由题意可得 因为 所以 即 1 将圆按照某个方向均匀地压缩 拉长 可以得到椭圆 2 利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法 例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 1 焦点在x轴上 2 a 4 b 1 焦点在坐标轴上 3 两个焦点的坐标是 0 2 和 0 2 并且经过点p 1 5 2 5 解 因为椭圆的焦点在y轴上 设它的标准方程为 c 2 且c2 a2 b2 4 a2 b2 又 椭圆经过点 联立 可求得 椭圆的标准方程为 法一 或