yyf§3.5 洛朗(Laurent)级数展开.ppt

1 3 4解析延拓 以几何级数为例 对于 在的圆域b内 等效于解析函数 在的区域 发散 除外 全平面解析 解析区域B 与在b上等同 但B含有b 2 解析延拓的唯一性 用不同方法延拓结果一样 在b上解析 设用两种方法延拓到B上 得函数 可证明 与必完全等同 所以 可尽量用简单 特殊的方法进行延拓 3 3 5洛朗 Laurent 级数展开 已知 当f z 在圆 z z0 R内解析时 Taylor定理告诉我们 f z 可展开成幂级数 考虑 当f z 在圆 z z0 R内有奇点时 能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式 问题的提出 为了研究函数在奇点附近的性质 需要函数在孤立奇点z0邻域上的展开式 4 负幂部分称为主要 无限 部分 一 双边幂级数 含有正负项 5 收敛区域 环 的确定 收敛 圆 区域为 令 得 正则部分 负幂部分 6 设 由此 我们可以用它的正幂项级数和负幂项级数的敛散性来定义原级数的敛散性 规定 当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时 原级数收敛 并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和 7 R2 z z0 R1给出了双边幂级数的环状收敛域 称为收敛环 讨论 1 若 则 1 式处处发散 2 若 则双边幂级数就在环状域R2 z z0 R1内收敛 双边幂级数在收敛环内绝对且一致收敛 在环外发散 在环上敛散性不定 8 正则部分 主要部分 9 双边幂级数的性质 定理1 双边幂级数在收敛环上的和函数是一解析函数 并且在任意较小的闭圆环上一致收敛 10 设双边幂级数的收敛环B为R2 z z0 R1 则 定理2 11 设函数f z 在环状域R2 z z0 R1的内部单值解析 则对于环内任一点z f z 必可展开成 称为洛朗系数 c为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线 也可取圆周 其中 12 几点说明 2 洛朗系数 3 洛朗展开的唯一性 13 若在z0不解析 不可微或无意义 而在去心邻域内解析 则称z z0是的孤立奇点 若在z0无论多么小的邻域内 总有除z0外的奇点 则称z0为的非孤立奇点 4 定义 14 在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项求导 在收敛圆环域内的洛朗级数可以逐项积分 在收敛圆环域内的洛朗级数的和函数是解析函数 15 求洛朗展开式的系数 洛朗展开式的系数用公式计算是很麻烦的 由洛朗级数的唯一性 我们可用别的方法 特别是代数运算 代换 求导和积分等方法展开 这样往往更便利 即间接展开法 同一个函数在不同的收敛圆环域内的罗朗级数一般不同 由洛朗级数的唯一性可知 同一个函数在相同的收敛圆环域内的洛朗级数一定相同 16 举例 例1 在z0 0的邻域上把展开 17 若定义 实际上是对f z 的解析延拓 18 解 的奇点为 展开中心z0 0不是奇点 z0 1是奇点 例2 将分别在区域 环域 以及z0 1的邻域上展开为洛朗级数 1 若在上 只可展开为泰勒级数 19 无穷多个负幂项 2 20 3 展开中心z0 1 为奇点 第一项已经是展开式的一项 对第二项 z 1不是奇点 z 1是奇点 可在上展开为泰勒级数 21 有限项负幂项 22 23 24 无限多项正幂项