函数定义域1(1).docx

函数定义域f(x)是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，所有横坐标的数值构成的集合就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。例如：f(x)=x +1,f代表的是把自变量x先平方再加1。x +1的取值范围（x +11）就是f(x)=x +1的值域。如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识，我们还需要对f(x)有更深刻的了解。我们可以从以下几个方面来认识f(x)。第一：对代数式的认识。每一个代数式它的本质就是一个函数。象x -1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x -1都有唯一的值与之对应，所以x -1的所有值的集合就是这个函数的值域。第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。例如：f(x+1)的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。我们不妨作如下假设，如果f(x)=x +1,那么f(x+1)=(x+1) +1,f(x+1)与（x+1) +1这个代数式相等，即：（x+1) +1的自变量就是f(x+1)的自变量。(x+1) +1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。再如，f(x)与f(t)是同一个函数吗？只须列举一个特殊函数说明。显然，f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的，则f(x)与f(t)就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。第三：对函数f(x)定义域的认识如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。例如：y=f(x)( 1x2)与y=f(x+1)的定义域相同吗？值域相同吗？如果已知f(x)的定义域是x 1,2，f(x+1)的定义域是什么？因为f(x)的定义域是 x 1,2，即是说对1x2中的每一个数值f(x)都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f(x)都没有函数值，即f(x)就无意义。因此，当x+1的取值超出了1，2这个范围，f(x+1)也就没有了函数值，所以f(x+1)的定义域是1x+12这个不等式的解集，也就是说f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定义域，又由于1x+12故f(x+1)的值域与f(x)(1x2)的值域也就自然相同了。二、求函数的定义域：函数的定义域指的是使得函数解析式中的自变量有意义的x的取值范围，一般有这样几种： 整式函数，定义域是一切实数； 分式函数，定义域是使得分母不等于0的一切实数； 偶次根式型的函数，使得被开方数大于等于0的一切实数； 对数函数，使得真数大于0的一切实数； 指数函数，定义域是一切实数； 幂函数。情况比较复杂。 三角函数。正弦函数、余弦函数的定义域是一切实数，正切函数的定义域是x|xk/2，其中k是整数函数定义域习题精选 1、求下列函数的定义域：y=2x21-14 f(x) =x23x4x+12y=log13(x2+4x+5) y=loga(x2x)解：要使函数y=2x21-14有意义，则须：2x21-140 即：x212 1x1 函数y=2x21-14的定义域为-1,1 要使函数f(x) =x23x4x+12有意义，必须：x23x40x+120 x4或x1x3或x1 x3或3x1或x4 函数f(x) =x23x4x+12定义域为：(, 3) (3,1) 4,+)要使函数有意义，则须： 由 在此区间内 定义域为-1,5要使函数有意义，则须：由： 由：时 则须 ，综合得 当时 定义域为(-1,0) 例2. 若函数的定义域为-1，1，求函数的定义域。解：要使函数有意义，必须：函数的定义域为：例3. 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围。解：定义域是R,例4. （1）若，求（2）已知 求fff(-1)解：（1）令，则，法二：令，则，例5. 己知，当点（x，y）在的图象上运动，点在的图象上运动，求的解析。解：P（x，y）是的图象上任一点，则（3 y，2 x）在的图象上，即故 因此，的解析式是。例6. 求下列各函数的值域 解：（2） 函数定义域为3,5 （3）由已知得 (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*) 若2y-10，则xR =(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)0 即 (2y-1)(10y-3)0 说明：m(y)x2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用xR，由0求出y的取值范围，但需注意两点：1. 要分m(y)=0和m(y)0两种情况讨论，只有m(y)0时，才可利用判别式；2. 在求出y的取值范围后，要注意“=”能否取到。（4） ymax=1，ymin=-23 原函数值域-23y1（5）调递减 说明：在利用函数的单调性求值域时，应注意如下结论：在共同定义域上，设“f型”是增函数，“g型”是减函数，则f1(x)+f2(x)是增函数；g1(x)+g2(x)是减函数；f(x)-g(x)是增函数；g(x)-f(x)是减函数但当两个单调函数之间的运算符号为“x”、“”时，则不具有这种规律（6）（7） 由图象知：值域为y3【模拟试题】1. 已知则的定义域是（ ）（A）2，2（B）0，2 （C）（D） 3. 已知，则（ ）（A）12（B）8（C）4（D）2 5. 函数的最大值和最小值分别是（ ）（A）（B）1，1（C）（D）6. 设上的奇函数，=（ ）（A）0.5（B）0.5（C）1.5（D）1.57. 下列五组函数； ； 其中_中的两个函数是同一函数8. 若是奇函数，是偶函数，且则= 9. 若=，则的最小值是 10. 设的取值范围11. 求函数的定义域和值域12. 如图，函数的图象上有两点A，B，AB/Ox轴，点M（1，m）（m是已知实数，且是ABC的BC边的中点。（）写出用B点横坐标t表示ABC面积S的函数解析式S=f（t）；（）求函数S=f（t）的最大值，并求出相应的C点坐标。【试题答案】1. C：令2. D3. D：由4. D 5. C：令则6B：7. 8与联立，消去得910 （*）将（*）代入当且仅当时，即x=3时等号成立u的取值范围是11函数的定义域由下列不等式组确定 令而抛物线的对称轴方程为当故函数的值域为当u无最大值和最小值。但故函数的值域为12. （I）依题意，设是BC的中点 在此处键入公式。在ABC中，|AB|=2t，AB边上的高 即（）若当相应的C点坐标是若在区间上是增函数，相应的C点坐标是1、求下列函数的定义域： y= （2） f(x)= y=log (x +4x+5) y= (0a1) 解：要使函数y= 有意义，则须2 0： 即：x 1 21x1 函数y= 定义域为-1,1 （2）要使函数 f(x)= 有意义，必须： x3或30x 4x501x5 由 1x5 在此区间内(x +4x+5) =9 0x +4x+59 函数y=log (x +4x+5)定义域为-1,5 要使函数y= 有意义，则须： 当1x0 时， (x x) = 00， 0解得：-1y 0 ，故原函数的值域为（0， 七、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 11、求函数y=x+ 的值域。 解：令 =t ，t0 ，则 x=t +1，y=t +1 +t=(t+ )+ ，又t0 ，由二次函数的性质可知 当t=0 时，y =1 ，当t +时，y + ，故函数的值域为1， +） 12、求函数y=x+2+ 的值域。 解：因1(x+1) 0 ，即(x+1) 1 ，故可令 x+1=cos,0, y= cos +1+ =sin+cos +1= sin(+ )+1 0， + sin(+ )1，0 sin(+ )+11+ 故所求函数的值域为0，1+ 13、求函数y= 的值域。 解：原函数可变形为：y= ，可令x=tan ，则有 =sin2 ， =cos 2 y= = sin2cos 2= sin4 当= 时，Y = ，当 时= + ， y = 而此时 tan有意义。故所求函数的值域为 ， 14、求函数y=sinx+1）(cosx+1) ，x ， 的值域。 解：y=（sinx+1）(cosx+1)=sinxcosx+sinx+cosx+1 ，令sinx+cosx=t ，则 sinxcosx= (t 1) 则y= (t 1)+t+1= (t+1) 由t= sinx+cosx= sin（x+ ），且x ， 可得： t 当t= 时，y = + 当 t= 时，Y = + 故所求函数的值域为 + ， + 。 15、求函数y=x+4+ 的值域。 解：由5x ，可得 ，故可令x= cos， 0， 则 y=x+4+ = cos+4+ sin= sin（+ ）+4 0 ， + 当 =时，y =4 当 = 时， Y =4+ 故所求函数的值域为：4 ，4+ 八、数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 16. 求函数y= + 的值域。 解：原函数可化简得： y= + 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（8） 间的距离之和。 由上图可知，当点P在线段AB上时， y= + = =10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y= + =10 故所求函数的值域为：10,+ 17、求函数y= + 的值域。 解：原函数可变形为：y= + 上式可看成x轴上的点P(x,0) 到两定点A(3,2)，B(2,1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y = = = 故所求函数的值域为 ，+) 18、求函数y= 的值域。 解：将函数变形为： y= 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1) 到点P（x，0） 的距离之差。即： y= 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P ，则构成AB P ，根据三角形两边之差小于第三边，有 = = 即： y （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 = = 综上所述，可知函数的值域为： ( ， 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：A（3，2），B（2，1） ，在x轴的两侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），B（2，1） ，在x轴的同侧。九、不等式法 利用基本不等式a+b 2 ，a+b+c 3 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 19、求函数y=（sinx+ ） +（cosx+ ） 4的值域。 解：原函数变形为：y=sin x+cos x+ + =1+ces x+ses x =3+tan x+cot x2 +3 =5 当且仅当tanx=cotx ，即当x=k （kz）时，等号成立。 故原函数的值域为：5，+） 20、求函数y=2sinxsin2x的值域。 解： y=4sinxsinxcosx=4sin xcosx y =16sin xcos x=8sin xsin x(22sin x)8 = 当且仅当sin x=22sin x ，即当sin x= 时，等号成立。 由y ，可得： y ，故原函数的值域为： ， 十、一一映射法 原理：因为y= (c0) 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 21、求函数y= 的值域。 解：定义域为x|x ，由y= 得x= 故 或 ， 解得y ，故函数的值域为（， ） （ ，+） 十一、多种方法综合运用 22、求函数y= 的值域。 解：令t= (t0)，则 x+3=t +1 （1）当t0 时，y= = ，当且仅当t= =1，即x=1 时取等号，所以 0y （2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为： 0， 注：先换元，后用不等式法 23、求函数y= 的值域。 解：y= = + =( ) + 令x=tan ，则 ( ) =cos ， = sin y=cos + sin=sin + sin+1=(sin ) + 当sin= 时，Y = ， 当sin=1 时， y =2 此时tan 都存在，故函数的值域为2， 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法（请参考必修4三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3)作用：1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数 （参见课本P24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为f、g的复合函数。例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7函数单调性（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2D，且x11，且 *当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表示式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0）由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作 。注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：， 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） ；（2） ；（3） （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ），其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1