辽宁省瓦房店市第八初级中学九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》课件.ppt

操场里有一个旗杆 老师让小明去测量旗杆高度 小明站在离旗杆底部10米远处 目测旗杆的顶部 视线与水平线的夹角为30度 并已知目高为1米 然后他很快就算出旗杆的高度了 1米 10米 你想知道小明怎样算出的吗 知识与技能 1 了解三角函数的概念 理解正弦 余弦 正切的概念 2 掌握在直角三角形之中 锐角三角函数与两边之比的对应关系 3 掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值 过程与方法 1 通过经历三角函数概念的形成过程 丰富自己的数学活动经验 2 渗透数形结合的数学思想方法 情感态度与价值观 1 感受数学来源于生活又应用于生活 体验数学的生活化经历 2 培养主动探索 敢于实践 勇于发现 合作交流的精神 重点 锐角三角函数的概念 难点 锐角三角函数概念的形成 某商场有一自动扶梯 其倾斜角为30 高为7m 扶梯的长度是多少 解 这个问题可以归结为 在rt abc中 c 90 a 30 bc 7m 求ab 在直角三角形中 由于 a 30 所以 可得ab 2bc 7 2 14m所以 扶梯的长度是14m 在上面的问题中 如果高为10m 那么需要准备多长的水管 解 这个问题可以归结为 在rt abc中 c 90 a 30 bc 10m 求ab 在直角三角形中 由于 a 30 所以 想一想 可得ab 2bc 10 2 20m所以 扶梯的长度是20m 已知等腰直角三角形abc c 90 计算 a的对边与斜边的比 你能得出什么结论 解 因为 abc是等腰直角三角形 c 90 所以 a 45 由勾股定理得 即直角三角形中 当一个角等于45 时 这个角的对边与斜边的比都等于 因此 在rt abc中 c 90 当 a 30 时 当 a 45 时 固定值 固定值 归纳 想一想 所以 rt ab1c1 rt ab2c2 rt ab3c3 所以 在rt abc中 在直角三角形中 当锐角a的度数一定时 不管三角形的大小如何 a的对边与斜边的比是一个固定值 观察右图中的rt ab1c1 rt ab2c2和rt ab3c3 a的对边与斜边有什么关系 直角三角形abc可以简记为rt abc 直角 c所对的边ab称为斜边 用c表示 另两条直角边分别叫 a的对边与邻边 用a b表示 c a b 斜边 c 邻边 对边 a b c a b 在rt abc中 c 90 我们把锐角a的对边与斜边的比叫做 a的正弦 sine 记作sina 即 一个角的正弦表示定值 比值 正值 正弦 例1 如图 在rt abc中 c 90 求sina和sinb的值 a b c a b c 6 8 1 2 a b c 6 8 1 解 设如图所示 在rt abc中 因此 a b c 2 解 设如图所示 在rt abc中 因此 如图 求sina和sinb的值 a b c a b c 10 1 2 26 9 40 小练习 想一想 rt ab1c1 rt ab2c2 rt ab3c3 所以 观察右图中的rt ab1c1 rt ab2c2和rt ab3c3 a的邻边与斜边 a的对边与邻边之间有什么关系 在rt abc中 在直角三角形中 当锐角a的度数一定时 不管三角形的大小如何 a的 a的邻边与斜边的比 a的对边与邻边的比都是一个固定值 在rt abc中 在直角三角形中 当锐角a的度数一定时 不管三角形的大小如何 a的对边边与斜边的比 a的邻边与斜边的比 a的对边与邻边的比都是一个固定值 归纳 在rt abc中 c 90 我们把锐角a的邻边与斜边的比叫做 a的余弦 cosine 记作cosa 即 一个角的余弦表示定值 比值 正值 余弦 在rt abc中 c 90 我们把锐角a的对边与邻边的比叫做 a的正切 tangent 记作tana 即 一个角的余切表示定值 比值 正值 正切 在rt abc中 c 90 我们把锐角a的邻边与对边的比叫做 a的余切 记作cota 即 一个角的余切表示定值 比值 正值 余切 tan30 锐角a的正切值可以等于1吗 为什么 可以大于1吗 tan45 tan60 锐角三角函数锐角a的正弦 余弦 正切 余切都叫做 a的锐角三角函数 trigonometricfunctionofacuteangle 1 sina cosa tana cota是在直角三角形中定义的 a是锐角 注意数形结合 构造直角三角形 2 sina cosa tana cota是一个比值 数值 3 sina cosa tana cota的大小只与 a的大小有关 而与直角三角形的边长无关 归纳 例2 如图 在rt abc中 c 90 bc 24 sina 求cosa tanb的值 a b c 24 解 又 a b c 24 分别求出下列直角三角形中的锐角的正弦值 余弦值和正切值 余切值 a b c 1 a b c 5 2 25 7 小练习 如图 在rt abc中 锐角a的邻边和斜边同时扩大100倍 tana的值 a 扩大100倍b 缩小100倍c 不变d 不能确定 c 抢答 如图 观察一副三角板 它们其中有几个锐角 分别是多少度 分别求出这几个锐角的三角函数 1 2 sin30 cos30 tan30 cot30 1 1 sin45 cos45 tan45 cot45 1 1 1 2 sin60 cos60 tan60 cot60 特殊角的三角函数值表 自变量 的取值范围是 各因变量的取值范围是 0 90 正弦0 sin 1余弦0 cos 1正切tan 0余切cot 0 根据上面表格 思考以下问题 各个函数值随着自变量 的增大而怎样变化 tan 与cot 有怎样的关系 sin tan 随着自变量 的增大而增大cos cot 随着自变量 的增大而减小 tan cot 1 当两角互余时 这两角的正弦和余弦有怎样的关系 正切和余切呢 sin cos 90 cos sin 90 tan cot 90 cot tan 90 sin2 cos2 1 例3 求下列各式的值 解 1 sin60 cos45 2 sin230 cos245 tan60 解 1 sin30 cos45 2 sin260 cos260 cot45 小练习 如果知道一个角的三角函数的数值 你能求出这个角是多少度吗 1 已知 则 a 2 已知 则 b 3 已知 则 c 4 已知 则 d 30 60 60 30 由锐角的三角函数值反求锐角 归纳 例4 如图 一个小孩荡秋千 秋千链子的长度为2 5m 当秋千向两边摆动时 摆角恰好为60 且两边摆动的角度相同 求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 结果精确到0 01m 最高位置与最低位置的高度差约为0 34m aodod 2 5m 解 如图 根据题意可知 ac 2 5 2 165 0 34 m 如图 在rt abc中 c 90 a b c的对边分别是a b c 求证 sin2a cos2a 1 证明 小练习 如图 当登山缆车的吊箱经过点a到达点b时 它走过了200m 已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为 17 那么缆车垂直上升的距离是多少 解 在rt abc中 c 90 bc absin17 你知道sin17 等于多少吗 用科学计算器求锐角的三角函数值 sin cos tan 用计算器求sin18 cos53 tan72 cot65 和sin72 38 25 的三角函数 sin 1 8 0 309016994 cos 5 3 0 601815023 tan 7 2 3 732050808 sin 7 2 3 8 2 5 0 954450312 cot 6 2 0 531709432 用计算器求三角函数值时 结果一般有10个数位 本书约定 如无特别声明 计算结果一般精确到万分位 所以我们可以用计算器求得缆车上升的垂直距离 bc absin17 200 0 2924 58 48 m 如图 为了方便行人 市政府在10m高的天桥 两端修建了40m长的斜道 这条斜道的倾斜角是多少 如图 在rt abc中 a是多少度 如图 一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤 在接受放射性治疗时 为了最大限度地保证疗效 并且防止伤害器官 射线必需从侧面照射肿瘤 已知肿瘤在皮下6 3cm的a处 射线从肿瘤右侧9 8cm的b处进入身体 求射线的入射角度 解 如图 在rt abc中 ac 6 3cm bc 9 8cm b 32 44 13 因此 射线的入射角度约为32 44 13 小练习 已知三角函数值求角度 要用到三个键 和第二功能键和 shift sin 1 0 sin 1 0 9816 78 99184039 shift cos 1 0 cos 1 0 8607 30 60473007 shift tan 1 0 tan 1 0 1890 10 70265749 shift tan 1 5 6 7 8 tan 1 56 78 88 99102049 9 8 1 sin 1 cos 1 tan 1 shift 8 1 6 6 0 7 8 9 0 dms 根据下列条件计算器求 的大小 1 tan 2 9888 2 sin 0 3957 3 cos 0 7850 4 tan 0 8972 小练习 71 5 23 3 38 3 41 9 1 锐角 a的正弦 余弦 正切 余切函数 统称为锐角 a的三角函数 2 30 45 60 角的三角函数值 3 锐角 的三角函数值的取值范围 4 三角函数的增减性 正弦0 sin 1正切tan 0余弦0 cos 1余切cot 0 sin tan 随着自变量 的增大而增大cos cot 随着自变量 的增大而减小 tan cot 90 1sin2 cos2 90 1sin cos 90 cos sin 90 tan cot 90 cot tan 90 5 三角函数的几个重要关系式 1 当 a为锐角 且tana的值大于时 a a 小于30 b 大于30 c 小于60 d 大于60 d 2 当 a为锐角 且cota的值小于时 a a 小于30 b 大于30 c 小于60 d 大于60 d 当 a为锐角 且cosa 那么 a 0 a 30 b 30 a 45 c 45 a 60 d 60 a 90 d 4 当锐角a 45 时 sina的值 a 小于b 大于c 小于d 大于 b a 小于b 大于c 小于d 大于 5 当锐角a 30 时 cota的值 c 6 计算 1 2sin30 3cos30 cot45 2 cos230 tan60 sin30 0 3