高中数学 3.2.2 直线的两点式方程课件 新人教A版必修2.ppt

3 2 2直线的两点式方程 自学导引 学生用书p69 1 了解由直线方程的点斜式推导出两点式方程及截距式方程 2 初步学会用直线方程的知识解决有关实际问题 课前热身 学生用书p69 1 已知直线l经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 则直线l的斜率为k 代入点斜式方程 得 当y1 y2时 方程可以写成 这个方程是由直线上两个点确定的 所以叫做直线的 方程 两点式 2 若直线与x轴的交点为 a 0 a 0 与y轴的交点为 0 b b 0 则直线的方程为 这个方程由直线与坐标轴的截距确定 所以叫做直线的 方程 截距式 名师讲解 学生用书p69 1 直线的两点式方程如果直线l经过两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 x1 x2 且y1 y2 则直线l的斜率为由直线的点斜式方程得 若x1 x2 知p1p2与x轴垂直 此时的直线l的方程为x x1 若y1 y2 知p1p2与y轴垂直 此时的直线l的方程为y y1 另外 我们也可以按下面的思路推导 说明 直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线 若将方程化为 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 则可表示经过这两个点的所有直线 2 直线的截距式方程直线的截距式方程是两点式的特殊情形 此时两点的坐标为 a 0 和 0 b ab 0 此时方程的形式为截距式方程在画直线时非常方便 说明 直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线 典例剖析 学生用书p70 题型一直线的两点式方程 例1 已知三角形的三个顶点a 2 2 b 3 2 c 3 0 求这个三角形的三边所在直线的方程以及ac边上的高线所在直线的方程 分析 求直线的方程时要选好方程的形式 要注意方程的适用范围 解 如右图 直线ac过点a 2 2 c 3 0 由直线的两点式方程得整理可得2x 5y 6 0 这就是所求直线ac的方程 直线ab经过a 2 2 b 3 2 由于其纵坐标相等 可知其方程为y 2 这就是所求直线ab的方程 直线bc经过b 3 2 c 3 0 由于其横坐标相等 可知其方程为x 3 这就是所求直线bc的方程 由于a 2 2 c 3 0 kac 由ac边上的高线与ac垂直 设其斜率为k 则k kac 1 得根据直线的点斜式方程 得y 2 x 3 即5x 2y 11 0 这就是所求的ac边上的高线所在直线的方程 规律技巧 当直线与坐标轴平行或重合时 不能用两点式 应作特殊处理 变式训练1 已知两点a 3 2 b 8 12 1 求出直线ab的方程 2 若点c 2 a 在直线ab上 求实数a的值 解 1 由直线的两点式方程得即为2x y 4 0 这就是直线ab的方程 2 点c 2 a 在直线ab上 2 2 a 4 0 a 8 题型二直线的截距式方程 例2 直线l过点p 6 3 且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍 求直线l的方程 分析 设直线l在y轴上的截距为b 则在x轴上的截距为3b 因为截距可正 可负 可为零 所以应分b 0和b 0两种情况解答 解 1 当直线在y轴上的截距为零时 直线过原点 可设直线l的方程为y kx 直线l过点p 6 3 3 6k k 直线l的方程为y x 即x 2y 0 2 当直线在y轴上的截距不为零时 由题意可设直线l的方程为又直线l过点p 6 3 解得b 1 直线l的方程为 y 1 即x 3y 3 0 综上所述 所求直线l的方程为x 2y 0或x 3y 3 0 变式训练2 根据条件 求下列各题中直线的截距式方程 1 在x轴上的截距为 3 在y轴上的截距为2 2 在x轴上的截距为1 在y轴上的截距为 4 题型三直线方程的应用 例3 求与两坐标轴围成的三角形面积为9 且斜率为 2的直线方程 分析 依题意知 截距不为0 故可设出直线的截距式方程 利用待定系数法求解 规律技巧 求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式 由于本题涉及到直线在两坐标上的截距 因此设出了直线的截距式方程 变式训练3 求与两坐标围成的三角形面积为32 且斜率为 4的直线l的方程 易错探究 例4 已知直线l经过点 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 求直线l的方程 错解 错解1 由于直线l的截距相等 故直线l的斜率为 1 若k 1 则直线方程为 y 2 x 3 即为x y 5 0 若k 1 则直线方程为 y 2 x 3 即为x y 1 0 错解2 由题意 直线在两轴上的截距相等 可设直线的方程为 由于直线过点 3 2 则有所以a 1 即所求的方程为x y 1 0 错因分析 在上述两种错解中 错解1忽视了截距的意义 截距不是距离 它可正可负 也可以为0 当k 1时 直线x y 5 0在两轴上的截距分别为5和 5 它们是不相等的 另外 这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形 错解2中 没有注意到截距式方程的适用范围 同样也产生了漏解 正解 解法1 依题意 直线l的斜率存在且不为0 设其斜率为k 则可得直线的方程为 y 2 k x 3 令x 0 得y 2 3k 令y 0 得由题意得 2 3k 3 解得k 1 或k 所以l的方程为 y 2 x 3 或y 2 x 3 即为x y 1 0 或2x 3y 0 解法2 设直线l在两轴上的截距均为a 1 若a 0 则直线l过原点 此时l的方程为 2x 3y 0 2 若a 0 则l的方程可设为 因为l过点 3 2 知 1 即a 1 所以直线l的方程为x y 1 即为x y 1 0 综合 1 2 可知 直线l的方程为2x 3y 0 或x y 1 0 技能演练 学生用书p71 基础强化1 过两点 2 5 2 5 的直线方程是 a x 5b y 2c x 2d x y 2 答案 c 2 在x y轴上截距分别为4 3的直线方程是 答案 a 3 过 x1 y1 和 x2 y2 两点的直线方程是 c y2 y1 x x1 x2 x1 y y1 0d x2 x1 x x1 y2 y1 y y1 0 答案 c 4 直线ax by 1与两坐标轴围成的三角形的面积是 答案 d 5 直线ax y a 0 a 0 在两坐标轴上截距之和是 a a 1b 1 ac a 1d 解析 令x 0 得y a 令y 0 得x 1 故直线在两坐标轴上截距之和为a 1 答案 a 6 过 3 0 点与x轴垂直的直线方程为 纵截距为 2且与y轴垂直的直线方程为 x 3 y 2 7 过 5 7 及 1 3 两点的直线方程为 若点 a 12 在此直线上 则a 解析 过点 5 7 及 1 3 两点的直线方程为即x y 2 0 点 a 12 在x y 2 0上 a 12 2 0 a 10 x y 2 0 10 8 已知直线l的斜率为6 且在两坐标轴上的截距之和为10 求此直线l的方程 解法1 设直线方程为y 6x b 令x 0 得y b 令y 0得由题意 10 b 12 所以所求直线方程为6x y 12 0 能力提升9 求斜率为且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直线l的方程 10 已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为3 且在两坐标轴上的截距之和为5 求这样的直线有几条 品味高考 学生用书p72 11 2010 安徽文4 过点 1 0 且与直线x 2y 2 0平行的直线方程为 a x 2y 1 0b x 2y 1 0c 2x y 2 0d x 2y 1 0 解析 所求直线可设为x 2y c 0 过点 1 0 1 c 0 c 1 所求直线为x 2y 1 0 答案 a 1