高中数学 332《函数的极值与导数函数的最大（小）值与导数》同步课件 新人教A版选修11.ppt

1 知识与技能结合函数的图象 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 2 过程与方法会用导数求不超过三次的多项式函数的极值 以及在给定区间上求最大值 最小值 本节重点 利用导数的知识求函数的极值 本节难点 函数的极值与导数的关系 利用函数的导数求极值时 首先要确定函数的定义域 其次 为了清楚起见 可用导数为零的点 将函数的定义域分成若干小开区间 并列成表格 判断导函数在各个小开区间的符号 求函数的最大值和最小值 需要先确定函数的极大值和极小值 极值是一个局部概念并且不唯一 极大值与极小值之间无确定的大小关系 f x0 0只是可导函数f x 在x0取得极值的必要条件 不是充分条件 例如 函数f x x3 f 0 0但x 0不是f x x3的极值点 1 理解极值概念时需注意的几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 2 极值点是函数定义域内的点 而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 3 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在定义域区间上的单调函数没有极值 4 极大值与极小值没有必然的大小关系 一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值 在某一点的极小值可能大于另一点的极大值 如图 1 5 若函数f x 在 a b 上有极值 它的极值点的分布是有规律的 如图 2 所示 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2 导数为0的点不一定是极值点 3 正确理解 在闭区间 a b 上连续的函数f x 必有最值 此性质包括两个条件 4 正确区分极值和最值 1 函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的最大值和最小值可以在极值点 不可导点 区间的端点取得 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 最值具有绝对性 极值具有相对性 2 函数的最值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大的值 最小值是所有函数值中的最小的值 极值只能在区间内取得 但最值可以在端点处取得 极值有可能成为最值 5 若连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 1 已知函数y f x 及其定义域内一点x 对于包含x0在内的开区间内的所有点x 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 如果都有 则称函数f x 在点x0处取得 并把x0称为函数f x 的一个 极大值与极小值统称为 极大值点与极小值点统称为 f x f x0 极大值 极大值点 f x f x0 极小值 极小值点 极值 极值点 2 假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 该函数在 a b 上一定能够取得与 该函数在 a b 内是 该函数的最值必在取得 3 当函数f x 在点x0处连续时 判断f x0 是否存在极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极值 连续不断的曲线 最大值 最小值 可导的 极值点或区间端点 f x 0 f x 0 大 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极值 3 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 函数f x 的极值 f x 0 f x 0 小 不是 例1 求函数y 3x3 x 1的极值 分析 首先对函数求导 求得y 然后求方程y 0的根 再检查y 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么y在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么y在这个根处取得极小值 点评 熟记极值的定义是做好本题的关键 要利用求函数极值的一般步骤求解 函数y x3 3x2 9x 2 x 2 有 a 极大值为5 极小值为 27b 极大值为5 极小值为 11c 极大值为5 无极小值d 极大值为 27 无极小值 答案 c 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 1 x 3 令f x 0得x1 1 x2 3 舍去 当 2 x 1时 f x 0当 1 x 2时 f x 0 当x 1时f x 有极大值 f x 极大值 f 1 5 无极小值 故应选c 例2 求函数f x x3 2x2 1在区间 1 2 上的最大值与最小值 分析 首先求f x 在 1 2 内的极值 然后将f x 的各极值与f 1 f 2 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 解析 f x 3x2 4x 故f x 最大值 1 f x 最小值 2 点评 利用求最值的步骤求解 函数最大值及最小值点必在下面各种点之中 导数等于0的点 导数不存在的点或区间的端点 函数在区间 a b 上连续是f x 在 a b 上存在最大值的充分而非必要条件 求函数f x x4 8x2 2在 1 3 上的最大值与最小值 解析 f x 4x3 16x 4x x 2 x 2 令f x 0 解得x1 2 x2 0 x3 2 其中x2 0 x3 2在 1 3 内 计算得f 0 2 f 2 14 f 1 5 f 3 11 故f x 在 1 3 上的最大值是11 最小值是 14 例3 已知f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1时取得极值 且f 1 1 1 试求常数a b c的值 2 试判断x 1时函数取得极小值还是极大值 并说明理由 解析 1 由f 1 f 1 0 得3a 2b c 0 3a 2b c 0 又f 1 1 a b c 1 点评 若函数f x 在x0处取得极值 则一定有f x0 0 因此我们可根据极值得到一个方程 来解决参数 而x10 x 1 再代入f x1 或f x2 得a 2 a 2 b 0 例4 已知函数f x ax4lnx bx4 c x 0 在x 1处取得极值 3 c 其中a b c为常数 1 试确定a b的值 2 若对任意x 0 不等式f x 2c2恒成立 求c的取值范围 点评 恒成立转化为最值 即用导数求最值 函数的极值 最值常与单调性 不等式结合出解答题 是历年考试的重点 一般分为二至三问 要注意它们之间的内在联系 另外解此类问题要注意极值 最值的注意事项 例5 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 误解 因为f x 在x 1时有极值0 且f x 3x2 6ax b 辨析 根据极值定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 此题未验证x 1时函数两侧的单调性 故求错 正解 在上述解法之后继续 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上为增函数 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减函数 当x 1 时 f x 为增函数 所以f x 在x 1时取得极小值 因此a 2 b 9 一 选择题1 若函数y f x 是定义在r上的可导函数 则f x 0是x0为函数y f x 的极值点的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 b 解析 如y x3 y 3x2 y x 0 0 但x 0不是函数y x3的极值点 答案 a 3 函数y x3 1的极大值是 a 1b 0c 2d 不存在 答案 d 解析 y 3x2 0在r上恒成立 函数y x3 1在r上是单调增函数 函数y x3 1无极值 4 y f x 2x3 3x2 a的极大值是6 那么a等于 a 6b 0c 5d 1 答案 a 解析 f x 6x2 6x 令f x 0 得