高中数学 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2.ppt

3 2 3直线的一般式方程 自学导引 学生用书p72 1 掌握直线方程的一般式 2 能根据条件熟练地求出直线的方程 课前热身 学生用书p72 1 在平面直角坐标系中 对于任何一条直线 都有一个表示这条直线的关于x y的 任何关于x y的二元一次方程都表示 方程 叫做直线方程的一般式 二元一次方程 一条直线 ax by c 0 其中a b不同时为零 2 对于直线ax by c 0 当b 0时 其斜率为 在y轴上的截距为 当b 0时 在x轴上的截距为 当ab 0时 在两轴上的截距分别为 名师讲解 学生用书p72 直线和二元一次方程的关系因为在直角坐标系中 每一条直线都有倾斜角 1 当 90 如右图所示 直线斜率存在 方程可写成y kx b 它可变形为kx y b 0 与二元一次方程一般形式ax by c 0比较 有a k b 1 c b 2 当 90 时 如右图 直线斜率不存在 其方程可写成x x1 与二元一次方程ax by c 0比较有a 1 b 0 c x1 显然a b不同时为0 所以 在平面直角坐标系中 对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x y的二元一次方程 反过来 任何关于x y的二元一次方程都能表示一条直线吗 二元一次方程的一般形式ax by c 0 其中a b不同时为0 1 当b 0时 方程 可化为y 它表示斜率为在y轴上截距为的直线 斜截式方程 2 当b 0时 由于a b不同时为0 必有a 0 方程 可化为x 它表示一条与y轴平行或重合的直线 3 当a 0时 或a 0时 同样可推出方程 表示直线 所以在平面直角坐标系中 任何关于x y的二元一次方程都表示一条直线 综上可知 在平面直角坐标系中 直线与x y的二元一次方程是一一对应的 由此导出概念 方程ax by c 0 其中a b不同时为0 叫做直线的一般式方程 典例剖析 学生用书p72 题型一直线与方程 例1 求直线l 3x 5y 15 0的斜率以及它在x轴 y轴上的截距 并画图 解 将直线l的方程3x 5y 15 0写成y x 3 因此 直线l的斜率k 在方程3x 5y 15 0中 当x 0时 y 3 当y 0时 x 5 所以 直线l在y轴上的截距为3 在x轴上的截距为5 画一条直线时 只要找出这条直线上的任意两点就可以了 通常是找出直线与两个坐标轴的交点 上面已经求得直线l与x轴 y轴的交点分别为 5 0 0 3 过这两点作直线 就得直线l 如下图 变式训练1 用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程 解 1 x y 2 0 或y x 2 2 x y 1 0 或y x 1 3 x 3y 3 0 或y x 1 4 x 2y 2 0 或y x 1 题型二直线平行与垂直 例2 已知两条直线方程l1 mx 2y 8 0 l2 x my 3 0 当m为何值时 1 两直线互相平行 2 两直线互相垂直 分析 因为直线方程中x y的系数含有字母m 所以要分m 0和m 0讨论解答 解 1 当m 0时 l1 y 4 0 l2 x 3 0 显然l1与l2不平行 2 由 1 知 当m 0时 显然有l1 l2 当m 0时 若l1 l2 则有此时m不存在 综上知 当m 0时 l1与l2互相垂直 规律技巧 对于两直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 有以下结论 1 l1 l2 a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 2 l1 l2 a1a2 b1b2 0 3 l1与l2重合 a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 变式训练2 已知三直线l1 2x 4y 7 0 l2 x 2y 5 0 l3 4x 2y 1 0 求证 l1 l2 l1 l3 证明 把l1 l2 l3的方程写成斜截式得 题型三综合问题 例3 求证 不论m取什么实数 直线 m 1 x 2m 1 y m 5总过某一定点 分析 由题意知 不论m取什么值 直线总是通过定点 也就是说与m的取值无关 因此可将方程变形为m的方程 令m的系数为0 解方程组得出定点坐标 证明 方法1 把原方程变形得 x 2y 1 m x y 5 0 此式对于m的任意实数都成立 x 2y 1 0 x y 5 0 x 9 y 4 即直线过定点 9 4 方法2 取m 1 得y 4 取m 得x 9 把点 9 4 代入直线方程 右边 m 1 9 2m 1 4 m 5 右边 所以不论m取什么实数 点 9 4 总在直线上 故该直线过定点 9 4 变式训练3 直线l在y轴上的截距为2 且与直线l1 x 3y 2 0垂直 求l的方程 解 由l1的方程x 3y 2 0得 kl1 l l1 l的斜率kl 3 又l在y轴上的截距为2 l的方程为y 3x 2 即3x y 2 0 易错探究 例4 已知直线l1 x my 6 0 l2 m 2 x 3y 2m 0 当l1 l2时 求m的值 错解 l2的斜率k2 由l1 l2 l1的斜率k1也一定存在 由l1的方程得k1 由k1 k2 得解得m 3或m 1 m的值为3或 1 错因分析 本题出错的主要原因在于没有领会两直线平行的条件 两直线平行时斜率存在则相等 不存在时则它们的斜率都不存在 当两直线的斜率相等时 可能平行也可能重合 本题的错解仅求出了k1 k2时m满足的条件 而没有考虑重合的情况 正解 方法1 l2的斜率k2 纵截距b2 m l1 l2 l1的斜率必存在 方法2 由l1 l2 a1b2 a2b1 0 且a1c2 a2c1 0 得1 3 m m 2 0 且1 2m 6 m 2 0 解得m 1 m的值为 1 技能演练 学生用书p74 基础强化 1 直线y 1 4 x 2 化为一般式方程为 a 4 x 2 y 1 0b y 4x 9c 4x y 9 0d 答案 c 2 直线2x y 3 0化为斜截式方程为 答案 a 3 直线ax 2y 1 0与直线x y 2 0互相垂直 则a等于 答案 a 4 直线l的方程为ax by c 0 若直线l过原点和二 四象限 则 a c 0 b 0b a 0 b 0 c 0c ab0 c 0 解析 l过原点 c 0 又l过二 四象限 则其斜率小于0 即 0 答案 d 5 直线l过点p 1 3 且与x y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是 a 3x y 6 0b x 3y 10 0c 3x y 0d x 3y 8 0 答案 a 6 直线mx y m 0 无论m取什么实数 它都过点 解析 将mx y m 0变形为 x 1 m y 0 令x 1 得y 0 直线过定点 1 0 1 0 7 已知直线 a 2 x a2 2a 3 y 2a 0在x轴上的截距为3 则该直线在y轴上的截距为 解析 把 3 0 代入已知方程得 a 2 3 2a 0 a 6 直线方程为 4x 45y 12 0 令x 0 得 8 直线方程ax by c 0的系数a b c满足什么条件时 这条直线具有如下性质 1 与x轴垂直 2 与y轴垂直 3 与x轴和y轴都相交 4 过原点 答案 1 b 0 2 a 0 3 ab 0 4 c 0 能力提升 9 求满足下列条件的直线方程 1 过点a 1 4 与直线2x 3y 5 0平行 2 过点a 1 4 与直线2x 3y 5 0垂直 解 1 直线2x 3y 5 0的斜率为 所求直线和已知直线平行 它的斜率也是由点斜式得所求方程为y 4 x 1 即2x 3y 10 0 2 2x 3y 5 0的斜率为所求直线和已知直线垂直 所以所求直线的斜率为由点斜式方程得y 4 x 1 即3x 2y 5 0 10 已知 abc在第一象限 a 1 1 b 5 1 a 60 b 45 求 1 ab所在直线的方程 2 ac和bc所在直线的方程 3 ac bc所在直线与y轴的交点间的距离 分析 求ab的方程时 先观察两点坐标易得 ac bc通过画图易求其斜率 然后点斜式写出即可 解 1 因为kab 0 所以ab所在直线方程为y 1 2 kac tan60 所以ac所在直线方程为y 1 x 1 即x y 1 0 又kbc tan 180 45 tan45 1 所以bc所在直线方程为y 1 x 5 即x y 6 0 3 由直线ac的方程令x 0 则 由直线bc的方