高中数学 1.1椭圆及其标准方程课件 新人教版必修1.ppt

第二章圆锥曲线与方程 2 1 1椭圆及其标准方程 用一个平面去截一个圆锥面 当平面经过圆锥面的顶点时 可得到 当平面与圆锥面的轴垂直时 截线 平面与圆锥面的交线 是一个 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时 观察截线的变化情况 并思考 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线 这些曲线具有哪些几何特征 两条相交直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 一 引入 结论 平面内到两定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹为椭圆 常数必须大于两定点的距离 1 椭圆的定义 平面内到两个定点f1 f2的距离之和等于常数 大于 f1f2 的动点m的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 f1f2 2c 几点说明 1 椭圆定义式 mf1 mf2 2a f1f2 2c 则m点的轨迹是椭圆 2 若 mf1 mf2 2a f1f2 2c 则m点的轨迹是线段f1f2 3 若 mf1 mf2 2a f1f2 2c 则m点的轨迹不存在 二 讲授新课 应用举例 例1 用定义判断下列动点m的轨迹是否为椭圆 1 到f1 2 0 f2 2 0 的距离之和为6的点的轨迹 2 到f1 0 2 f2 0 2 的距离之和为4的点的轨迹 3 到f1 2 0 f2 2 0 的距离之和为3的点的轨迹 解 1 因 mf1 mf2 6 f1f2 4 故点m的轨迹为椭圆 2 因 mf1 mf2 4 f1f2 4 故点m的轨迹不是椭圆 是线段f1f2 3 因 mf1 mf2 3 f1f2 4 故点m的轨迹不成图形 o x y f1 f2 m 如图所示 f1 f2为两定点 且 f1f2 2c 求平面内到两定点f1 f2距离之和为定值2a 2a 2c 的动点m的轨迹方程 解 以f1f2所在直线为x轴 线段f1f2的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 则焦点f1 f2的坐标分别为 c 0 c 0 c 0 c 0 x y 设m x y 为所求轨迹上的任意一点 则 mf1 mf2 2a且2a 2c 2 椭圆标准方程及其推导 求曲线轨迹方程的步骤 1 建系2 设标3 列式4 化简5 检验 可省略不写 o x y f1 f2 m c 0 c 0 x y 两边平方得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c2 a2y2 即 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 因为2a 2c 即a c 所以a2 c2 0 令a2 c2 b2 其中b 0 代入上式可得 b2x2 a2y2 a2b2 两边同时除以a2b2得 a b 0 这个方程叫做椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在x轴上 a c b o x y f1 f2 m c 0 c 0 o x y f1 f2 m 0 c 0 c 椭圆的标准方程的几点说明 1 椭圆标准方程的形式 左边是两个分式的平方和 右边是1 2 椭圆的标准方程中三个参数a b c满足a2 b2 c2 3 椭圆的标准方程中 x2与y2的分母哪一个大 则焦点在哪一条轴上 大分母为a2 小分母为b2 椭圆的标准方程 分母哪个大 焦点就在哪个轴上 a2 c2 b2 3 椭圆的标准方程小结 mf1 mf2 2a 2a 2c 0 例3 椭圆的两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于10 求椭圆的标准方程 例4 动点p到两定点f1 4 0 f2 4 0 的距离之和为8 则动点p的轨迹为 a 椭圆b 线段f1f2c 直线f1f2d 不能确定 b 例5 椭圆上一点p到一个焦点的距离等于3 则它到另一个焦点的距离是 a 5b 7c 8d 2 b 例6 动点p到两定点f1 4 0 f2 4 0 的距离和是7 则动点p的轨迹为 a 椭圆b 线段f1f2c 直线f1f2d 无轨迹 d 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解法一 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以 又因为 所以 因此 所求椭圆的标准方程为 例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 求它的标准方程 解法二 因为椭圆的焦点在x轴上 所以设它的标准方程为 联立 因此 所求椭圆的标准方程为 求椭圆标准方程的解题步骤 1 确定焦点的位置 2 设出椭圆的标准方程 3 用待定系数法确定a b的值 写出椭圆的标准方程 例3 椭圆的两个焦点的坐标分别是 4 0 4 0 椭圆上一点p到两焦点距离之和等于10 求椭圆的标准方程 解 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 所求椭圆的标准方程为 1 建系2 设标3 列式4 化简5 检验 可省略不写 例5 如图 设点a b的坐标分别为 5 0 5 0 直线am bm相交于点m 且它们的斜率之积是 求点m的轨迹方程 解 设点m的坐标为 x y 因为点a的坐标是 所以直线am的斜率 同理 直线bm的斜率 由已知有 化简 得点m的轨迹方程为 椭圆的一般形式 例6 1 求椭圆的标准方程 经过点p 2 q 2 已知一椭圆的焦距为2 且经过点 2 2 求椭圆的标准方程 填空 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若cd为过左焦点f1的弦 则 f2cd的周长为 课前练习 5 4 3 3 0 3 0 6 0 判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则 焦点在分母大的那个轴上 cf1 cf2 2a 2 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若曲线上一点p到焦点f1的距离为3 则点p到另一个焦点f2的距离等于 则 f1pf2的周长为 2 1 0 1 0 1 2 p pf1 pf2 2a 课后练习 1化简方程 4设f1 f2为定点 f1f2