高中数学 221《双曲线及其标准方程》同步课件 新人教A版选修11.ppt

2 2双曲线 1 知识与技能记住双曲线的定义 会推导双曲线的标准方程 2 过程与方法会用待定系数法确定双曲线的方程与椭圆的标准方程比较 加以区分 本节重点 双曲线的定义及其标准方程 本节难点 双曲线标准方程的推导 1 对于双曲线定义的理解 要抓住双曲线上的点所要满足的条件 即双曲线上点的几何性质 可以类比椭圆的定义来理解 2 在理解双曲线的定义时 要注意到对 定值 的限定 即定值大于零且小于 f1f2 这样就能避免忽略两种特殊情况 即 当定值等于 f1f2 时 轨迹是两条射线 当定值大于 f1f2 时 点不存在 3 类比椭圆标准方程的推导方法 建立适当坐标系 推导出双曲线的标准方程 但要注意在椭圆标准方程推导中 是令b2 a2 c2 而在双曲线标准方程的推导过程中 是令b2 c2 a2 1 当用双曲线的定义来求解双曲线的标准方程时 可直接求出a b 写出对应的方程 而无须由距离公式写出推导过程 2 利用待定系数法求双曲线的标准方程时 应先判断焦点所在位置 不能确定时应分类讨论 3 已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题 往往利用正弦定理 余弦定理以及双曲线的定义列出关系式 4 当利用双曲线的定义求解轨迹方程问题时 要注意应用数形结合的思想方法 5 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 1 确定焦点位置 根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上 还是两坐标轴都有可能 3 确立参数的关系式 根据已知条件列出关于a b c的方程组 4 解方程组 定形式 解上述方程组 得到参数a b c的值 代入所设方程即为所求 1 在平面内到两个定点f1 f2距离之差的绝对值等于定值2a 大于0且小于 f1f2 的点的轨迹叫做 这两个定点叫做双曲线的 两焦点之间的距离叫做双曲线的 2 在双曲线的定义中 条件0 f1f2 则动点的轨迹是 3 双曲线定义中应注意关键词 若去掉定义中 三个字 动点轨迹只能是 双曲线 焦点 焦距 两条射线 不存在 绝对值 绝对值 双曲线一支 点评 求双曲线的标准方程一般应先判定焦点所在的坐标轴 其次再确定a b的值 若已知双曲线经过两个定点 求双曲线方程 设所求双曲线方程为ax2 by2 1 ab 0 列出关于a b的二元一次方程组 求出a b既避免了讨论又降低了未知数的次数 大大减少所需的运算 体现了由繁至简的化归思想 例2 已知圆c1 x 3 2 y2 1和圆c2 x 3 2 y2 9 动圆m同时与圆c1与圆c2相外切 求动圆圆心m的轨迹方程 解析 如图所示 设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b 根据两圆外切的充要条件 得 mc1 ac1 ma mc2 bc2 mb ma mb mc1 ac1 mc2 bc2 mc2 mc1 bc2 ac1 3 1 2 这表明动点m与两定点c2 c1的距离的差是常数2 根据双曲线的定义 动点m的轨迹为双曲线的左支 点m与c2的距离大 与c1的距离小 这里a 1 c 3 则b2 8 设点m的坐标为 x y 则其轨迹方程为x2 1 x 0 点评 1 本题是用定义法求动点的轨迹方程 当判断出动点的轨迹是双曲线的一支 且可求出a b时 直接根据定义写出其标准方程 而无需用距离公式写出方程 再通过复杂的运算进行化简 2 由于动点m到两定点c2 c1的距离的差为常数 而不是差的绝对值为常数 因此 其轨迹只能是双曲线的一支 这一点要特别注意 已知 abc的底边bc长为12 且底边固定 顶点a是动点 使sinb sinc sina 求点a的轨迹 解析 由双曲线的对称性 可设点p在第一象限 由双曲线的方程 知a 3 b 4 c 5 由双曲线的定义 得 pf1 pf2 2a 6 上式两边平方 得 pf1 2 pf2 2 36 2 pf1 pf2 36 64 100 由余弦定理 得 点评 在焦点三角形中 正弦定理 余弦定理 双曲线的定义等是经常使用的知识点 另外 还经常结合 pf1 pf2 2a 运用平方的方法 建立它与 pf1 pf2 的联系 请同学们多加注意 解析 设双曲线的左焦点为f1 右焦点为f2 如图所示 由双曲线的定义知 pf1 pf2 2a 在 f1pf2中 由余弦定理 得 例4 设声速是am s 在相距10am的a b两个哨所 听到一炮弹爆炸声的时间相差6s 且b处的声强是a处声强的4倍 试确定炮弹爆炸点p的位置 即确定p点到ab中点m的距离及 pmb的大小 注 声强与距离的平方成反比 点评 本题是实际问题 必须抽象为数学问题 建立数学模型后 利用所学知识解决 本题符合双曲线的定义 故可利用双曲线方程求解 例5 已知双曲线8kx2 ky2 8的一个焦点为 0 3 求k的值 一 选择题1 已知两定点f1 5 0 f2 5 0 动点p满足 pf1 pf2 2a 则当a 3和5时 p点的轨迹为 a 双曲线和一直线b 双曲线和一条射线c 双曲线的一支和一条射线d 双曲线的一支和一条直线 答案 c 解析 当a 3时 pf1 pf2 2a 6 f1f2 10 由双曲线定义知 p点轨迹是双曲线的右支 当a 5时 pf1 pf2 2a 10 f1f2 p点轨迹是以f2为始点的一条射线 2 在方程mx2 my2 n中 若mn 0 则方程的曲线是 a 焦点在x轴上的椭圆b 焦点在x轴上的双曲线c 焦点在y轴上的椭圆d 焦点在y轴上的双曲线 答案 d 答案 a 解析 a2 20 b2 5 c2 25 c 5 焦距2c