高中数学 算法的基本思想2课件 北师大必修3.ppt

算法的基本思想 第二课时 教学目标 体会用二分法求方程近似解的算法思想 教学重难点 算法的设计及意义 对于一元二次方程 可以用熟悉的求根公式来求解 但是 绝大部分的方程不存在求根公式 在实际问题中 通常只要获得满足一定精确度的近似解就可以了 因此 讨论方程近似解的算法具有重要的意义 设计一个算法 解方程组的正整数解 解 1 因为x6 所以 x可能为 1 2 3 4 5 6 在函数的应用部分 我们学习了用二分法求方程f x 0的近似解 如图所示 二分法的基本思想是 将方程的有解区间分为两个小区间 然后判断解在哪个小区间 继续把有解的区间一分为二进行判断 如此周而复始 直到求出满足精度要求的近似解 1 确定有解区间 f a f b 0 2 取的中点 3 计算函数f x 在中点处的函数值 4 判断函数值是否为零 其算法步骤如下 如果为零 就是方程的解 问题就得到解决 1 若 则得新有解区间为 b 如果函数值不为零 则分下列两种情形 2 若 则确定新的有解区间为 5 判断新的有解区间长度是否小于精确度 1 如果新的有解区间长度大于精确度 则在新的有解区间的基础上重复上述步骤 2 如果新的有解区间长度小于或等于精确度 则取新的有解区间的中点为方程的近似解 1 求方程f x x3 x2 1 0在区间上的实数解 精确度为0 1 解 1 因为f 0 1 f 1 1 f 0 f 1 0 1 2 取的区间中点0 5 3 计算f 0 5 0 125 4 由于f 0 5 f 1 0 1 练习 6 计算f 0 75 0 1563 7 由于f 0 75 f 1 0 1 8 取区间的中点0 875 9 计算f 0 875 0 43555 10 由于f 0 75 f 0 875 0 1 11 取区间的中点0 8125 5 取的区间中点0 75 11 计算f 0 8125 0 19653 12 因f 0 75 f 0 8125 0 得区间精度0 8125 0 75 0 0625 0 1 13 该区间一满足精确度的要求 所以取该区间的中点0 78125 它是方程的一个近似解 简化写法 第一步 令f x x3 x2 1 因为f 0 f 1 0 所以设x1 0 x2 1 第二步 令m 判断f m 是否为0 若是 则m为所求 若否 则继续判断f x1 f m 大于0还是小于0 第三步 若f x1 f m 0 则令x1 m 否则 令x2 m 第四步 判断 x1 x2 0 1是否成立 若是 则x1 x2之间的中间值为满足条件的近似根 若否 则返回第二步 算法 出现在12世纪 指的是运用阿拉伯数字进行算术运算的过程 在数学中 现代意义上的 算法 通常指的是可以用计算机来解决来解决的某一类问题的程序或步骤 这些程序或步骤必须是明确的有效的 而且能够在有限步之内完成 练习 2 设计一个算法 求函数y log2x 当x 3时的函数值 精确到0 1 用反函数的思想转化为求f x 2x 3 0的近似解 用二分法算法计算 解 算法 二分法 因为f 1 1 f 2 1 f 1 f 2 0 所以取区间 第二步 取区间的中点 将区间一分为二 第三步 若f x0 0 则x0就是所求函数的零点 输出x x0 结束 否则判断x 在x0的左侧还是右侧 若f a f x0 0 则x 属于 x0 b a x0 若f a f x0 0则x 属于 a x0 b x0 第四步 若 a b 0 1 计算终止 输出x x0 否则转到第二步 求方程在 0 5 上的近似解 精确到0 05 分析 如何求方程的根 我们可以参考p91 92 解法1 1 移项 得 2 两边同时加1并配方得 3 两边同时开放得 x 3或x 1 4 取x 3 解法2 1因为f 0 3 f 5 12 f 0 f 5 0 05 2取 0 5 的中点2 5 计算f 2 5 1 75 则f 5 f 2 5 0 01 3取 2 5 5 的中点3 75 计算f 3 75 3 5625 则f 2 5 f 3 5625 0 05 4取 2 5 3 5625 的中点3 03125 则f 3 03125 0 12598 则f 3 03125 f 2 5 0 05 5取 2 5 3 03125 的中点2 765625 则f 2 765625 0 88257 精度 3 03125 2 765625 0 2657 0 05 6取 2 765625 3 03125 的中点2 8984 f 2 8984 0 340 则f 2 8984 f 3 03125 0 05 7取 2 8984 3 03125 的中点2 9648 则f 2 96 0 140 则f 3 03125 f 2 9648 0 01 8取 2 9648 3 031 的中点3 009 则f 3 009 0 008 则f 3 0