名师讲座 陈忠怀 数学数思想方法说(2).doc

数学月刊二月号 陈忠怀 以退为进 走是策略 高考数学思想方法之（2）在本文中，将多次牵涉到“难题”这个概念.但是。从逻辑上讲，“难题”并不能构成一个集合.所以，在本文中，我们特别将“难题”定义为：对多数考生而言，难于用简单、直接的方法迅速破解的题.这样，一些“小题不小” 的题，我们也称之为“难题”.数学解题中遇到难题怎么办？基本对策是：以退为进. “以退为进.”的实质是转移或转换.考场上遇到难题，如同战场上遇到强敌.应该“打得赢就打，打不赢就走.”（ 毛泽东语）打是为了消灭敌人，而走的目的，既是为了保全自己，又是为了更有效的消灭敌人.这种思想完全应该而且能够移植到考场上.在具体操作上，有如下几种 “走”法.（1） 一般不易，走特殊路我在上一篇文章中讲到：一个问题在普遍意义上难以认识辨别与掌握，在特殊情况下往往清楚明白.既如此，我们解题时，何不以退为进，由一般退到特殊呢？用这种“特殊化思想”去解那些“小题不小” 的题是特别优质而且高效的，这种退法是一切退法中的首选.【例1】函数的反函数是 （ ）A.BC. D. 【解析】（0，-1）在原函数的图象上，（-1，0）在其反函数的图象上.但是（-1，0）不适合A、B、D，（x=-1时，它们没有意义）故选C.【例2】如方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是 （ ）A. B.C. D. 【解析】取，则双曲线为，其焦点.而此时A、B、D轨迹都不存在，故选C.【例3】（06.辽宁卷 10题）直线y=2k与曲线（kR且k0）的公共点的个数为 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4【解析】不妨取k=1，有：，即.如图，直线y=2与双椭圆有4个不同的交点.故选D.【例4】（06 全国一卷 22题）设数列的前项和，（1） 求首项和通项；（2） 设，证明：【分析】高中数学只讲过两种特殊数列等差数列和等比数列.本题牵涉的数列显然既非等差，又非等比.但高考命题必须源于课本，高于课本.所以我们有理由相信，这道题一定与特殊数列有关.所以我们的思考方向，就是考察它是一种什么样的特殊数列的 “变种.”【解析】（1），由得：（由（1）式看到，如果没有，这个数列已经是等比数列；现在多了这个，我们的思考方向就是构造新的数列，使之成为等比数列.而构造的基本方法则是待定系数法）.令，化简得：比较（1）与（2）知.于是，的等比数列.，故所求数列的通项为：，其中首项也适合.（2）将代入条件式得：【评注】（2）问的证明中使用了拆项法，这也是特殊数列求和方法的一种推广.（2）纵深不易，回归源头这里先给大家讲一个考场故事.1977年我国首次恢复高考.数学考题一共才有5道，其中一道是：求tan22.5之值.在30年后的今天来看，这道题是再简单不过了，可是那时多数考生甚至没有上过一天高中的课，这道题比较正规的解法是利用半角的正切公式，而这个公式在初中课本上绝对找不到.尽管如此，阅卷的老师还是发现了奇迹，这就是流传已经十分广泛的下述解法，只是许多人都不清楚这个解法原来来自1977年的一名考生.【解析】如下图， ABC中ACB=90，且AC=BC，设AC=BC=1，则AB=，BAC=45，延长CA到D，使AD=AB，连BD，则BDC=22.5.于是tan22.5=当时，这种解法的确叫人耳目一新，它充分说明一个道理：有时候最原始的方法，恰恰是最好的方法.以下再看数例：【例5】已知圆和直线y=mx交于P、Q两点则的值为（ ）【解析】容易求出点A、B的坐标分别是：A（1，0）B（5，0）.由平几知识： 15=5.故选C.【反思】本题若正而八经地用解析法做，工作量会至少增加几倍？ 【例6】AB是抛物线的一条弦，若AB的中点到x轴的距离为2，则弦AB长度的最大值是【解析】抛物线的焦点为，准线是连结FA，FB，作AA于A，.作BB于B，MM于M那么.【评注】本题如果不是回归定义，并借助“原始”三角形边角关系，其解法又何其难也.【例7】双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于M，N；A，B分别为，的内心，当MN倾斜角的正弦值为，且离心率e=2时，求双曲线的方程.【分析】本题条件虽多，可由于其中有许多人不很熟悉的内心，所以感到无从下手.如果用解析法，最容易想到的是利用三角形内角平分线的性质，可是由于牵涉到的参变量太多而难以找到突破口.在这种情况下分析题中的数据是有好处的.为什么一个数据是而另一个则是？这两者的乘积为整数4，比较合理的想法是=4.因而想到退，退到“原始”的平面几何中去寻找突破口.【解析】如下图，由于双曲线的离心率e=2，故c=2a.两焦点分别为F1（-2a，0），F2（2a，0）.设圆A分别切各边于D，E，G，并设：，又设，则于是有：我们发现，计算的结果与无关.这说明点G即是双曲线的右顶点. 同理，的内切圆亦与x轴切于双曲线的右顶点.或者说，A，G，B三点一定共线.设直线MN的倾斜角为，连结ABCD，则四边形ABCD是直角梯形，AB为其斜腰且由AGF2=GF2D=90知GAO=.于是，即2a=4，a=2，从而c=4，b=.所求双曲线的方程为：.【评注】据说本题是80年代的一道竞赛题，而且不过是一道填空题.那么以上的解法是过于繁琐的了.不过既是竞赛题又是填空题，以上的许多中间过程都可不写.参与竞赛的学生应当一目了然地看出关系式.假如考生还记得如下的定理：“设P为双曲线上一点（不同于顶点），而F1，F2是该双曲线的两个焦点，I为P F1F2的内心，则I在实轴上的射影必是双曲线的一个顶点.”那么解题速度就更快了.后积才能薄发.没有平时深后的基础知识积累，在考场上是不可能有上乘的表现的. （3）抽象难啃，以形配数.【例8】（05.湖北卷，6题）在这四个函数中，当恒成立的函数的个数是（ ）A，0 B，1 C，2 D，3【分析】本题牵涉到四个不同的函数，用常规方法逐一计算判断则工程浩繁决不可取.因而想到退，由抽象退到具体，由数退到形.运用函数的凹凸知识来解决. 如图当是下凹的，不满足，下凹，当不是恒成立，只有的图象始终上凸，也就是说：当恒成立的函数只有一个，选B.【评注】从图象上容易看出，上凸的函数都满足，而下凹的函数都满足.仅根据这一点，就可以轻松破题，这就是由抽象退到具体的优越性.【例9】（04.重庆卷，16题）对任意实数k，直线 与椭圆恒有公共点，则的取值范围是【解析】椭圆的标准方程是：在方程（1）中，命得解得，或3.如图，当时，无论直线的斜率k取什么实数，该直线必通过以A（0，3），B（0，-1）为端点的线段AB上一点，而线段AB是椭圆（1）的弦.这就是说，当时，直线 恒过椭圆（1）内或上一点，因而与椭圆恒有公共点. .【评注】本题如果用纯解析法去做，其计算量不知要大多少倍，“问题抽象，退而求形.”的威力可见一斑.【例10】已知集合，若AB=，求实数a的值.【分析】表面上看，这是一道代数的题.可是你若用纯代数的方法去做又何其难也.可是我们若给出题中的两个集合的几何解释，不难看出问题的实质是考察两条直线平行的条件.因而有如下比较轻松的解法：【解析】AB=的含义是：直线平行.当a=1时， 显然（2）恒不成立，此时B=，从而AB=；当a=-1时， ，显然两直线平行，亦有AB=.当a1时，由于两方程中x，y的系数不成比例，即，两直线恒不平行.但由于直线（1）中x2，不含点（2，3），将点（2，3）代入方程（2），得.于是所求实数a的值是1，-1，-5.（4）正面难攻，反面去求在战争中，一切高明的军事家总是提倡“攻其无备，避实击虚”的.考场上也一样，“正难则反”往往是破题的良策.【例11】已知函数满足且.求证：.【分析】本题直接由条件推证结论比较难于下手，而证明结论的反面不成立则相对容易.故采用反证法证之.【证明】由及，知.将两边同除以正数，得：.假定，即，则，这与的条件矛盾.假定，即，则.从而，这又与的条件矛盾.于是，都不能成立，故必有.【评注】1.凡命题都有题设（即已知条件）和题断（即待定结论），通过推倒题断反面而达到肯定题断正面的证题方法称之为反证法.反证法证题的步骤是：(1)反设：即假定题设反面为真；(2)归谬：即通过正确的推理引出矛盾；(3)结论：追究产生矛盾原因，必为反设之不当，从而推倒反面，肯定正面.【例12】设an,bn是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明cn不是等比数列.【证明】设等比数列an,bn的公比分别为P,q,且Pq,假定cn=an+bn为等比数列,则必,即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3),即：2a1b1pq=a1b1(p2+q2),(pq)2=0,p=q.这与题设pq矛盾,cn不是等比数列.【评注】本例选自2000年全国高考试题，其解法也是典型的“正难则反”.就本题而言，很容易通过举反例验证：设数列an：1,1,1,1,1,1,1,bn：1,1,1,1,1,1,1,显然an是首项与公比均为1的等比数列，bn是首项为1，公比为1的等比数列.但数列an+bn：2,0,2,0,2,0,，不是等比数列，故原命题正确.但需注意：这种证明方法是不完整，也不彻底的.因为只推翻了“个别”，而没有否定“所有”.虽然推翻一个命题（或证否定式命题），举出一个反例足够；但证明一个命题举多少个例子均不足以达到论证目的，还是应从理论上进行逻辑推证.【例13】求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？退到反面去，“正难反求”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px.假定此抛物线有渐近线y=kx+b,x=,代入直线方程，化简得：ky22py+2Pb=0. 可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程有实根y0,那么，y0,或0,令=y,方程化为：2pby22py+k=0 方程应有唯一的零根,y=0代入得：k=0.于是抛物线的渐近线应为y=b.这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b,都和抛物线有唯一公共点(,b),因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.5.空间难办，平面去溜空间几何是在平面几何的基础上建立和发展起来的.解空间几何问题的基本方向是：“空间问题平面化”【例14】（05 湖北卷 10题）如图，在三棱柱ABC-ABC中，点E、F、H、K分别为的中点，G为ABC的重心，从K，H，G，B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为 （ ） A.K B.H C.G D.B【解析】如图，过G、E、F作三棱柱的截面PQMN，由于G为ABC的重心，且MNAB，故M、N必不是AC、AB的中点，而E、F分别是侧面AA1C1C、BB1C1C的中心，故四边形MNPQ是梯形而非平行四边形，因之该棱柱恰有二条棱AB、A1B1与平面PEF平行，故选C.【评注】空间问题的基础在于平面.正是注意到三角形重心的性质特点，才有如上优质高效的解题速度，否则“按部就班”地逐一分析鉴别，很可能陷入“欲进不得，欲罢不忍”的两难境地.【例15】（04 全国4卷 20题）三棱锥PABC中， PA=PB=PC=3.（1）求证：ABBC；（2）设AB=BC，求AC与平面PBC所成角的大小.【解析】（1）取AE中点M，连PM，EM.侧面PAC与底面ABC垂直，PM面ABC.已知PA=PB=PC，MA=MB=MC.由平面几何知识，ABC中ABC=90，ABBC.（2）M为AC中点且PA=PC，PMAC，又知BA=BC，BMAC，从而AC平面PMB.作MNPB，连CN，Y由三垂线定理，PBCN，PB面CMN，平面PBC平面CMN，MCN是直线AC与平面PBC所成角，易求CM=，PB=3，于是tanMCN=，MCN=30，即AC与平面PBC所成角的大小为30.【评注】从本例的解析过程可以看出，除了必须用到的几个空间概念和定理外，其余全是平面几何的有关计算.6.逢无穷题，走有穷路.自从接触高中数学，所有学生都会接触到一个怪物无穷大!无穷大是什么？是可望而不可求的无法计程的太空，是可以想象但实际无法到达的数学之神的领地，无穷大不是一个具体的数，它比任何人所能想象得到的大数还要大得多，在“无穷大”的领域里，你不能比较它的一半或它的两倍的大小；它们实际上“一样大”！由于无穷大具有这种“怪僻”的性质，所以处理起来会十分困难，怎么办？还是退，先从无限退到有限，摸清规律，再返回无限.【例16】数列中，是这个数列的第几项？【分析】这个数列虽然是无穷数列，但是数之前只有有限多项.尽管如此，不准确摸清这个数列的规律，也是难以探明它的位置的.对这个数列，我们应从如下两个方面认识：（1）这个数列除第一项外，其他各项都是由1，2，n，组成的分数.分子由1逐渐递增到n，而分母则由n逐渐递减到1.例如由数字1，2，3，4组成的分数有四个：由此还可知道，由数字1，2，n组成的分数有n个.（2）每一组分数中，分子与分母两数字之和是一个比n大1的常数.例如这四个分数，分子与分母两数字之和是比4大1的数，也就是5.弄清楚了这两点，以下的解法便是轻而易举的事.【解析】由数字1，2，n组成的分数有n个：.这n个分数的分子与分母两数字之和都是n+1.的分子与分母两数字之和是15，所以它属于由数字1，2，3，14所组成的分数之中的第8个.而前面各组共有1+2+3+13=91个分数，故是这个数列中的第91+8=99项.【例17】设n为正整数，规定.已知，求的值.【分析】面对题目中这种“无穷”的架势，你大可不必惊慌，任何无穷都是从有限开始的，唯一的办法是从无穷推到有限，老老实实地从1做起.【解析】；.可见，由当n=1，2，3，时，其函数值组成的数列是周期数列，其周期为4，每一个周期的数依次为：.由于2008恰为4的倍数，故.【例18】如图，n2（n4）个正数排成n行n列方阵，其中每一行的数组成等差数列，每一列的数组成等比数列，并且所有公比都相等，设.（1） 求公比q的值；（2） 求的值；（3） 求的值.【解析】先将已知条件代入方阵之中，得（1）成等差数列，；数阵中各列数成等比数列，且所有公比都相等，设这个公比为q，则，又数阵中各数均为正数，故所求公比.（2），等差数列的公差，从而，于是.（3）根据（2）：，且各列数都是公比为的等比数列的特点，重新列出数阵是：可知.以下用“错项相减法”容易求出：.【评注】解任何一个较难的问题，其过程都是“逐步明朗化”的.这是因为前面的结论又成为后面的条件，解题人正应该善于利用这些条件，使解题的思路越来越宽阔，最终达到完全、正确解题的目的.【例19】 计算机中用的是二进制数，只用两个数码：0和1，如：二进制数中110101=125+124+023+122+021+120=53.在制造电子计算机时，每个数码要用一个设备，如果用n进制，每一位有n个数码，在计算机中要表示m位n进制数就要用mn个设备，设计算机能表示的最大数为M（使用数制为n,n2）时，设备量为G.()如果在机器中要表示m位n进制数，试写出M,m,n的关系式.()把G（n）看作n的函数，M作为常数，写出这个函数式.()计算G（2），G（3），G（4），G（5）各等于多少个lg（M+1）.(lg2=0.3,lg3=0.48).()当M给定，选取n为多少时，才能使设备总量G最少？证明你的结论.【思考】 在n进制中，n是几？可以是有限的2，3，4也可以任意地大，即不存在最大.在无限大的n进制中去分析规律显然是困难的，那么就先退到有限，把有限的规律弄清了，再推广到无限，即是顺理成章的事.二进制是“逢2进1”，因此只须两个数码0和1，其中二进制110101为什么表示53？原来2的幂依次为21=2;22=4;23=8;24=16;25=32;而53321641125+124+023+122+021+120.把所有2的幂去掉，即成为110101.仿此，三进制是“逢3进1”需用三个数码0，1和2.例如用三进制表示十进制中的1000将是多少？由于30=1;31=3;32=9;33=27;36=729,，而1000729243271136+135+034+133+032+031+130.去掉所有3的幂，那么十进制中的1000用三进制表示是1101001，同理，十进制中的100用3进制表示则为10201.如此类推，可知n进制是逢n进1，需要0，1，2，n1共（n1）个数码.此外，含五位的二进制数中，最大数