立体几何专题方法.doc

二面角问题的求解方法对不同的求二面角的问题，可以用不同的方法来解决。总体上来讲，可以分为四种方法，分别是：概念法、空间变换法、空间向量法、另类方法。1概念法:顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。例1：如图所示，在四面体中，,。求二面角的大小。解：设线段的中点是，接和。根据已知的条件，可以知道且。又是平面和平面的交线。根据定义，可以得出：即为二面角的平面角。可以求出，并且。根据余弦定理知：即二面角的大小为。同样，例2也是用概念法直接解决问题的。例2：如图所示，是正方形，求二面角的大小。解：作辅助线于点，连接、。由于，所以。即。由于，所以即为所求的二面角的大小。通过计算可以得到：，又，在三角形中可以计算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理： 即：。2空间变换法:空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。例3：如图所示，现有平面和平面，它们的交线是直线，点在平面内，点在平面内。求二面角的大小。分析：过点作辅助线垂直于，作垂直于平面于点。2.1补角法:直接求解二面角的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角。因为二面角与二面角是互补的关系，现在先求出二面角后，二面角的大小就很容易计算了。2.2三垂线法:由于，平面。那么根据三垂线定理可以得知：在平面内的射影垂直于两平面的交线。即且，根据定义可知，二面角的大小即为的大小。那么二面角的大小可以用补角法得到。2.3切平面法:切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面垂直于两个平面的交线，平面与平面的交线是，平面与平面的交线是，根据二面角的定义知即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角的大小。 下面用例4来详细讲解一下切平面法。例4： 在图中，。其中，。是的中点，。求二面角的大小。解：由于是的中点，且是等腰三角形，那么。又，可以推出：。所以：。又，则，所以。可以得出：是和的公共切平面。由此，根据切平面法知即为所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根据余弦定理可知：那么。即求二面角的大小是。2.4补形法:以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，通过例子讲解补形法。例5：在图6中，四边形是一个直角梯形，其中，。求平面与平面所成二面角的大小。解：延长直线与，它们相交于点，连接。由题意可知，平行于，的长度是的一半，且，那么，。在三角形中，。那么根据勾股定理可知，即。，且是在平面内的射影，根据三垂线定理知：。又，即即为所求的二面角。在中，。那么。即：所以平面与平面所成二面角的大小是。在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。4.4另类方法:比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。4.4.1四面体体积法例8：如图9所示，在空间四面体中，四面体的所有棱长都是1，求二面角的大小。图9分析：过点作辅助线平面于点，过点作辅助线于点，连接直线，。由于四面体是一个正四面体,即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时同样是所求的二面角）正四面体的棱长是1，可以求出正四面体的体积是根据已知条件可知：， 可以求出：，即：。当四面体不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。4.4.2角度法例9：如图10所示，以点为顶点的三条射线分别是、，其中、的夹角是，、的夹角是，、的夹角是。现在要求二面角的大小。图10分析：现在设，并且（由于、的长度没有给出，这样的假设是合理可行的），那么即为所求二面角的大小。根据已知条件可以得到：， , ， 又, 将、带入得到：在三角形中, 即：通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。4.4.3面积射影法例10：如图11所示，在空间直角坐标系中，点、分别在、轴上，现在要求二面角的大小。图11分析：作并且