浅析高三数列综合题中的定义数列手法.doc

中国最大的教育门户 高考网浅析数列综合题中的定义数列手法（一）大家熟知，数列一般有两种定义手法，即给定通项公式或者给定递推关系。前者建立起和n之间的关系，本质上是通过函数在正整数集上的体现。后者给定的是项之间的联系，这样的联系可以是简单的，如等差数列，或是等比数列，也可能是我们所熟悉的一阶线性递推式或者二阶线性递推式或等，当然还会出现一些较为奇怪并不常见的递推式子，递推的本质是数学中的归纳思想，大家可以对比一下数学归纳法的形式：证明时成立；设时成立，证明时也成立，从而推出对所有的正整数n都成立。这两类手法自然是我们熟悉且应当灵活掌握的。但是数列从本质上而言就是一列按照顺序排列的数，并没有规定一定使用什么样的手法来得到这一列数，这就导致了在数列的综合题当中，很多时候出现一些很新颖的定义方法，在翻阅近年来的高考试卷及各地高考调研试卷中，经常能发现这样的题目，这样的题目从总体上分大概可以分为两类：一类是以已知的数学模型，如函数，向量，几何等知识作为基础，在此之上定义数列；一类是利用现实模型，利用游戏，比赛等方法构造数列关系。本文将尝试对这两类问题进行探讨，希望能从特征，难点，解决关键，命题思想等方面给予一定的分析。一、 利用函数定义数列利用函数定义数列几乎是这类题目最常见的了，前文已经阐明，数列本质上就是一种函数关系，利用函数来定义数列天经地义，一般来说，函数所定义的数列往往可以直接翻译成我们最基本的两种手法：如果用定义，则相当于告诉了我们函数的通项公式；而如果用定义，或者说在函数上，则相当于告诉了我们函数的递推形式，如果后面不再出现和函数相关的问题，这类问题就可以直接转化为纯粹的数列问题进行求解。如下面两例：【例1】已知，点在函数的图象上，其中（I）证明数列是等比数列；（II）设，求及数列的通项公式；（III）记，求数列的前n项和；在（II）的条件下证明。这个题目的定义手法无疑是简单的，直接可以将条件解析为：，然后变形为，便可以得到第一问的答案，后面两问则直接沦为了纯粹的数列问题。当然，本题的第三问在代数变形上有些不错的想法，但是并非本文所讨论的内容，便不再多出枝蔓，有兴趣的同学可以自己尝试做一下。【例2】设数列的前n项和为，对一切，点在函数的图象上。（1）求的表达式；（2），（3）略。本文只强调该数列的定义手法，这个问题当中，函数给定了和n之间的关系，从函数表达式，我们可以得到：，从而得到：，又符合，从而得到对一切n成立。这两个例子都说明了，在简单情况下，函数的定义方法只不过是给了我们另外一种形式的通项或者递推，在这种情况下，我们只需要将坐标代入到函数的表达式即可求解。下面一个问题可能就有点意思了。【例3】已知函数，又是函数图像上的两点，且线段的中点P的横坐标为。（1）求证：点的纵坐标是定值；（2）若数列的通项公式为，求的前m项和。（3）略。问题的第一问是个基本的函数问题，我们只需要正常的理解题意，即在的情况下计算为定值即可。（1）证明：由题意知：，即；故即点P的纵坐标为定值。第二问则是利用函数来定义数列，从表面上看，这个数列似乎可以直接看作通项公式代入，即，但是很明显，这样的式子对我们并没有任何直接的用途，这个通项公式既不是等差形式，也不是等比形式，也不是我们可以处理的某种递推形式，到这个地步，很多学生就会迷茫而不知如何下手。我们不妨退回去想一步，这一问的关键在于求最后的m项和，我们不妨先把和的形式写出来：而从第一问的解答可以告诉我们：当时，我们有。（这个地方其实提示我们，要学会用简洁的语言概括条件和我们得到的结论，而且尽可能直观，以后我在七种武器之一：紫金魔曈中会对这个问题集中叙述）。借助于等差数列求和的经验，我们不难得到以下解答：（2），于是有：从而有：这道题目的构思在于利用数列的形式制造这样一个和的形式，而本质上利用的是函数的性质，即第一问中所用到的结论，由此我们可以发现，这类函数和数列相结合的问题，有可能利用函数形式考察数列的知识，也有可能利用数列形式考察函数的知识，希望同学们能仔细分辨清楚。最后我们来看一个较为复杂的例子。【例4】（镇江2008调研考试）当n为正整数时，区间，表示函数在上函数值取整数值的个数，当时，记，当时，表示把x“四舍五入”到个位的近似值，如，当n为正整数时，表示满足的正整数k的个数。（1） 求；（2） 求证：时，；（3） 当n为正整数时，集合中所有元素之和为，记，求证：。这个题目看起来非常的复杂，给定一个函数，然后三个不同数列的定义方式，数列依托于函数的某个性质，则根据存在，独立出现。第一问的作用在于让我们明白三个数列都是怎么定义出来的，也就是看我们能不能理解题目条件的具体意思。第二问揭示了引入的原因，使得在处理问题的时候，可以利用的性质。第三问是关于形式的问题，可以在第二问弄清楚的情况之下进行解决。这些就是这个题目的整体结构，下面我们来一步一步探索这个问题的细节部分，我们会发现，当我们探索清楚每一个数列所代表的真实含义之后，题目也就清晰明了了。首先来处理，一个连续函数在某个区间上，能取到几个整数值，取决于这个函数最大值和最小值之间的差，比如在某区间上，最大值是4.5，最小值是-0.2，自然，该函数能取到0,1,2,3,4这5个整数值，现在给我们的函数为，它在上的取值情况如何呢？自然，我们希望该函数在区间上是单调的，这样最大值和最小值将都在区间端点处取到，这样的猜测是合理的，我们来检验一下是否在上单调。设，而我们知道，因此有，即该函数在每一个上是单调增的。也就意味着在上的取值范围为，在给定表达式的情况下，其中所包括的正整数的数目是可以被计算出来的，即的情况已经被了解了，相应的，也可以被确定下来。再来看，“当n为正整数时，表示满足的正整数k的个数”，也就是说，看有多少个能被“四舍五入”到n，不妨从简单的情况看起：当时，因此，当时，因此，什么样的能被“四舍五入”到n？，我们可以发现，如果能被“四舍五入”到n，这个数的大小必然不小于，而小于，也就意味着，这个范围内的都符合要求，即，从而得到，对于每一个n，这样的k有多少个，也是可以计算出来的。下面是第一问和第二问的解答：（1）首先证明在所有的上，单调递增。设，因，故有，证毕。，故得。，故得。所以有。又因为表示满足的正整数k的个数，所以，即因此有，从而。（2）由单调递增知，为上的整数数目，即考察符合的正整数m的个数。下面分三种情况讨论：若则有：，此时。则有：，此时。则有：，此时。综上，。所以。由于表示满足的正整数k的个数，所以有：，即，所以共2n个，即。所以，证毕。第三问首先要明确集合到底是什么？从所给的形式来看，我们不难得到如下结论：即，其中共有2n个元素。如果了解清楚了这一点，这个问题就变成一个普通的数列求和问题了，解答过程如下：（3）由（2）知：所以有：这个问题的最后一问用到了不少数列变形和拆分的技巧，但是并非本文所注重的问题，给出完整的解答只是为了体现前面对整体构思的一个最终交代，从这个问题可以看出，函数的定义手法不仅仅可以用函数本身的值作为数列的项，还可以通过函数的某些性质，某些操作来完成对数列的定义，最后一个问题给了我们一个很好的命题的方向，即哪怕是一个简单的函数（如例4中的函数并不复杂），通过对函数性质的详细研究，也可以衍生出很复杂的