2010-2011学年上海市虹口区复兴高级中学高二(上)期中数.doc

1（3分）数列1，的一个通项公式为_2（3分）等差数列an中，a2=5，a5=14，则通项an=_3（3分）=_4（3分）等差数列an中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9=_5（3分）数列an中，an=2n2+29n+3，则数列an中的最大项的值为_6（3分）等比数列an的首项为a1=2，公比q=3，则=_7（3分）若0a1，则=_10（3分）等差数列an满足，试写出满足上述条件的an的一个通项公式_11（3分）等差数列an中，a1=20，d=2，前n项和为Sn，若Snc（nN*）恒成立，则实数c的最大值为_13（3分）用数学归纳法证明：（nN*）时第一步需要证明（）ABCD15（3分）已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A4或5B5或6C6或7D816（3分）已知an是以a（a0）为首项以q（1q0）为公比的等比数列，设，则A、B、C、D中最大的取值为（）ABBA与BCCDD17（12分）已知等差数列an的公差不为零，若S1，S2，S4成等比数列（1）求S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，令，求bn的前n项和Sn18（12分）（2009湖北）已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn19（14分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药水成了含有an%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水证明：an+bn是一个常量建立an与an1的关系式按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水2010-2011学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1（3分）数列1，的一个通项公式为考点：数列的概念及简单表示法菁优网版权所有专题：计算题分析：根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用（1）n1来控制各项的符号，再由各项的分母为一等比数列加上常数1，分子n+2，由此可得数列的通项公式解答：解：由已知中数列，可得数列各项的分母为一等比数列2n加上常数1，分子n+2，又数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（1）n1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为 故答案为：点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键2（3分）等差数列an中，a2=5，a5=14，则通项an=3n1考点：等差数列的通项公式菁优网版权所有专题：计算题分析：设等差数列an的公差为d，然后根据a2=5，a5=14建立方程组，解之即可求出公差，从而求出通项公式解答：解：设等差数列an的公差为d，则 解得a1=2，d=3所以数列an的通项为an=a1+（n1）d=3n1故答案为：3n1点评：本题主要考查了等差数列的通项公式，同时考查了基本量的思想，属于基础题3（3分）=3考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：在的分子分母上同时除以3n可得，代入可求极限解答：解：=3故答案为：3点评：本题主要考查了型极限的求解，解题的关键是在分式的分子分母上同时除以3n，属于基础试题4（3分）等差数列an中，a1+a4+a7=36，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9=30考点：等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由等差数列的性质可得，a1+a4+a7=3a4，a2+a5+a8=3a5，从而可求a4，a5，而a3+a6+a9=3a6，利用等差数列的通项公式可求解答：解：由等差数列的性质可得，a1+a4+a7=3a4=36，a2+a5+a8=3a5=33a4=12，a5=11，d=1a3+a6+a9=3a6=3（a51）=30故答案为：30点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题5（3分）数列an中，an=2n2+29n+3，则数列an中的最大项的值为108考点：数列的函数特性菁优网版权所有专题：计算题分析：利用二次函数的最大值和数列的函数特性进行求解，注意题目中的自变量取正整数，求出最大项的值即可解答：解：an=2n2+29n+3，对称轴为 =，nNn=7a7=108，故数列an中的最大项的值为108故答案为：108点评：本题主要考查了数列的函数特性，以及利用二次函数研究函数的最值，属于基础题6（3分）等比数列an的首项为a1=2，公比q=3，则=考点：数列的求和菁优网版权所有专题：计算题分析：由题意可得，an=23n1，则有是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可求答案解答：解；由题意可得，an=23n1，则该数列是以为首项，以为公比的等比数列则=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7（3分）若0a1，则=考点：极限及其运算菁优网版权所有专题：计算题分析：由0a1，借助等比数列求和公式把等价转化为，由此能求出其结果解答：解：0a1，=故答案为：点评：本题考查数列的极限的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列通项公式的灵活运用8（3分）设凸n边形对角线条数为f（n），则凸n+1边形的对角线条数为f（n+1）=f（n）+n1考点：进行简单的合情推理菁优网版权所有专题：探究型分析：由n边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点与原n2个顶点连成的n2条对角线，及原先的一条边成了对角线解答：解：由n边形到n+1边形，凸n边形变成凸n+1边形，首先是增加一条边和一个顶点，原先的一条边就成了对角线了，则增加上的顶点连接n2条对角线，则n2+1=n1即为增加的对角线，所以凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为凸n边形的对角线加上增加的即f（n+1）=f（n）+n1故答案n1点评：考查学生的逻辑推理的能力，对数列的概念及简单表示法的理解9（3分）数列an，“an+1|an|（n=1，2，）”是“an为递增数列”的充分不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：探究型分析：从两个方面来考虑，由an+1|an|（n=1，2，）知an所有项均为正项，且a1a2anan+1，这样前者可以推出后者，反过来，an为递增数列，不一定有an+1|an|（n=1，2，）解答：解：由an+1|an|（n=1，2，）知an所有项均为正项，且a1a2anan+1，即an为递增数列反之，an为递增数列，不一定有an+1|an|（n=1，2，），如2，1，0，1，2，故答案为充分不必要条件点评：有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起本题是把数列同条件的判断结合在一起10（3分）等差数列an满足，试写出满足上述条件的an的一个通项公式an=4n（答案不唯一，只要公差d=4均可）考点：等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题；开放型分析：把等差 数列的求和公式代入可得=，从而可求d，即可解答：解：设等差数列的公差为d，首项为a1=1d=4故答案为：an=4n点评：本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是要准确写出等差数列的求和公式及极限求解中的变形11（3分）等差数列an中，a1=20，d=2，前n项和为Sn，若Snc（nN*）恒成立，则实数c的最大值为110考点：等差数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题分析：由首项a1和公差d，利用等差数列的求和公式表示出前n项和为Sn，发现其为关于n的二次函数，配方后，根据n为正整数，得到n=10或11时，前n项和为Sn有最小值，并把n=10或11代入函数解析式中求出Sn的最小值，根据不等式恒成立时满足的条件，此时的最小值即为实数c的最大值解答：解：由a1=20，d=2，得到Sn=na1+d=20n+n（n1）=n221n=（n）2，当n=10或11时，Sn有最小值，最小值为110，则实数c的最大值为110故答案为：110点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，二次函数的性质，以及不等式恒成立时的条件，灵活运用二次函数性质是解本题的关键，同时注意自变量n为正整数12（3分）在共有2011项的等差数列an中，有等式（a1+a3+a2011）（a2+a4+a2010）=a1006成立类比上述性质，在共有501项的等比数列an中，则有相应的结论：在共有501项的等比数列an中，有=a251成立考点：类比推理菁优网版权所有专题：探究型分析：由题意，本题用类比推理由等差数列的性质得到等比数列的性质，其运算关系由加类比乘，由减类比除，故结论易得解答：解：由题意在共有2011项的等差数列an中，有等式（a1+a3+a2011）（a2+a4+a2010）=a1006成立类比得：在共有501项的等比数列an中，有=a251成立故答案为 在共有501项的等比数列an中，有=a251成立点评：本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，由减类比除，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13（3分）用数学归纳法证明：（nN*）时第一步需要证明（）ABCD考点：用数学归纳法证明不等式菁优网版权所有分析：直接利用数学归纳法写出n=2时左边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到 ，不要漏掉项解答：解：用数学归纳法证明，第一步应验证不等式为：；故选C点评：在利用数学归纳法证明问题中，第一步是论证n=1时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项的特点，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误14（3分）已知an是无穷等差数列，若存在，则这样的等差数列an（）A有且只有一个B可能存在，但不是常数列C不存在D存在且不是唯一的考点：等差数列的性质；数列的极限菁优网版权所有专题：分类讨论分析：由等差数列的求和公式可得，分类讨论：d=0，a1=0d=0，a10，d0，a1=0d0，a10分别进行求解解答：解：由等差数列的求和公式可得，若d=0，a1=0存在若d=0，a10，=不存在若d0，a1=0，=不存在若d0，a10，=不存在故选：A点评：本题主要考查了等差数列的求和公式的求解及数列的极限的存在的条件的应用，体现了分类讨论思想的应用15（3分）已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和取最大值的正整数n是（）A4或5B5或6C6或7D8考点：等差数列的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：由已知中等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，构造方程我们易求出数列an的首项为a1与公差为d的关系，进而得到数列an中正项与负项的分界点，进而得到使前n项和取最大值的正整数n解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，则|a3|=|a9|，|a1+2d|=|a1+8d|解得a1=5d或d=0（舍去）则a1+5d=a6=0a50故使前n项和取最大值的正整数n是5或6故选B点评：本题考查的知识点是等差数列的定义及等差数列的性质，在处理等差数列问题时，常设出数列an的首项为a1，公差为d，然后构造方程分析首项为a1与公差为d的关系16（3分）已知an是以a（a0）为首项以q（1q0）为公比的等比数列，设，则A、B、C、D中最大的取值为（）ABBA与BCCDD考点：数列的极限菁优网版权所有专题：计算题分析：分别计算A，B，C，D，再作差比较大小即可解答：解：由题意，=B，C最大故选C点评：本题考查数列的极限，关键是利用无穷等比数列和的极限公式，考查大小比较，属于基础题三、解答题（共4小题，满分52分）17（12分）已知等差数列an的公差不为零，若S1，S2，S4成等比数列（1）求S1，S2，S4的公比；（2）若S2=4，令，求bn的前n项和Sn考点：等比数列的性质；等差数列的前n项和菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）由若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S3成等比数列根据等差数列的前n项和公式，我们易求出基本量（即首项与公差）之间的关系将基本量代入易得公比；（2）先求数列的通项，再用裂项法求和即可解答：解：（1）设数列an的公差为d，由题意，得S22=S1S4=所以（2a1+d）2=a1（4a1+6d）因为d0，所以d=2a1故S1，S2，S4的公比为；（2）由（1）可得，又由S2=4，则S1=a1=1，a2=41=3，则d=a2a1=31=2，则an=2n1，Sn=b1+b2+bn=（1）=，bn的前n项和为点评：解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算属中档题18（12分）（2009湖北）已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16（1）求数列an的通项公式；（2）数列an和数列bn满足等式an=（nN*），求数列bn的前n项和Sn考点：等差数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）设等差数列an的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an（2）令cn=，则有an=c1+c2+cn，an+1=c1+c2+cn+1两式相减得cn+1等于常数2，进而可得bn，进而根据b1=2a1求得b1则数列bn通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，则依题意可知d0由a2+a7=16，得2a1+7d=16由a3a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55由联立方程求得得d=2，a1=1或d=2，a1=（排除）an=1+（n1）2=2n1（2）令cn=，则有an=c1+c2+cnan+1=c1+c2+cn+1两式相减得an+1an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1an=2cn+1=2，即cn=2（n2），即当n2时，bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2bn=于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24+2n+1=2n+26，n2，点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质考查了对数列问题的综合把握19（14分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%、6%的药水各10千克，实际上两个喷雾器中农药浓度本应是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行3n次后，A喷雾器药水成了含有an%的药水，B喷雾器药水成了含有bn%的药水证明：an+bn是一个常量建立an与an1的关系式按照这样的方式进行下去，他们能否得到浓度大致相同的药水考点：数列的函数特性菁优网版权所有分析：本题主要考查建立函数关系式，数列通项，极限的知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力解应用题应用的数学模型并不复杂，关键是同学们要弄清题意解答：解：（1）A中含有农药12%10=1.2千克，B中含有农药6%10=0.6千克次操作后，A中含有农药0.1 千克，B中含有农药0.1 千克0.1an+0.1bn=1.2+0.6=1.8，则an+bn=18 为常量（2）第n 次操作后，A中10千克药水中农药的重量具有关系式：又bn1=18an1（3）由（2）可知，an9是公比为的等比数列，首项为3，q=，是一个无穷递缩等比数列当n 无穷大时an=9，an+bn=18bn=9即能大致相同点评：解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答20（14分）已知函数f（x）=kx+m，当xa1，b1时，f（x）的值域为a2，b2，当xa2，b2时，f（x）的值域为a3，b3，依此类推，一般地，当xan1，bn1时，f（x）的值域为an，bn，其中k、m为常数，且a1=0，b1=1（1）若k=1，求数列an，bn的通项公式；（2）若m=2，问是否存在常数k0，使得数列bn满足若存在，求k的值；若不存在，请说明理由；（3）若k0，设数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，求T2010S2010考点：数列的极限；等差数列的通项公式；数列的求和菁优网版权所