《导数的实际应用》PPT课件.ppt

1 3 3导数的实际应用 导数的实际应用 1 费用最省问题2 容积最大问题3 利润最大问题4 距离最短问题5 物理问题 利用导数求实际问题的最大 小 值的方法 1 细致分析实际问题中各量之间的关系 正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x 把实际问题转化为数学问题 即列出函数关系式y f x 在根据实际问题确定函数的定义域 2 求f x 解方程f x 0 求出定义域内所有的实数根 3 比较函数在各个根和端点处的函数值的大小 根据实际意义确定函数的最大值或最小值 在经济生活中 人们经常遇到最优化问题 例如为使经营利润最大 生产效率最高 或为使用力最省 用料最少 消耗最省等等 需要寻求相应的最佳方案或最佳策略 这些都是最优化问题 导数是解决这类问题的基本方法之一 现在 我们研究几个典型的实际问题 解决优化问题的方法 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系 建立适当的函数关系 并确定函数的定义域 通过创造在闭区间内求函数取值的情境 即核心问题是建立适当的函数关系 再通过研究相应函数的性质 提出优化方案 使问题得以解决 在这个过程中 导数是一个有力的工具 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 利用导数解决优化问题的基本思路 例1 在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的长方体容器 为使其容积最大 截下的小正方形边长应是多少 解 设小正方形边长为xcm 则箱子容积 所以 令 解得x1 a x2 a 舍去 在区间 0 a 内 且当00 当a x a时 V x 0 由题意可知 当x过小 接近0 或过大 接近a 时 箱子容积很小 因此当截下的正方形边长是a时 容积最大 因此x a是极大值点 例2 横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比 要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁 断面的宽度和高度应是多少 解 如图 设断面的宽为x 高为h 则h2 d2 x2 横梁的强度函数f x kxh2 k为强度系数 k 0 所以f x kx d2 x2 0 x d 在开区间 0 d 内 令f x k d2 3x2 0 解得x d 其中负根没有意义 舍去 当00 当d x d时 f x 0 因此在区间 0 d 内只有一个极大值点x d 所以f x 在x d取得最大值 这就是横梁强度的最大值 这时 即当宽为d 高为时 横梁的强度最大 例3 如图 一海岛驻扎一支部队 海岛离岸边最近点B的距离是150km 在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库 有一批军需品要尽快送达海岛 A与B之间有一铁路 现有海陆联运方式运送 火车时速为50km 船时速为30km 试在岸边选一点C 先将军需品用火车送到点C 再用轮船从点C运到海岛 问点C选在何处可使运输时间最短 解 设点C与点B的距离是xkm 则运输时间 0 x 300 因为 所以 令T x 0 则有 即25x2 9 1502 x2 解此方程 得x 舍去负值 取x0 112 5 因为T 0 11 T 300 11 2 T 112 5 则10是三数中最小者 所以选点C在与点B距离为112 5km处 运输时间最小 例4 如图 已知电源的电动势为 内电阻为r 问当外电阻取什么值时 输出的功率最大 解 由欧姆定律得电流强度 在负载电路上的输出功率是P P R I2R 实验表明 当 r一定时 输出功率由负载电阻R的大小决定 当R很小时 电源的功率大都消耗在内阻r上 输出的功率可以变的很小 R很大时 电路中的电流强度很小 输出的功率也会变的很小 因此R一定有一个适当的数值 使输出的功率最大 令 即 解得R r 因此 当R r时 输出的功率最大 例5 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 解 设圆柱的高为h 底半径为R 则表面积S 2 Rh 2 R2 由V R2h 得 则 S R 2 R 2 R2 2 R2 令 解得R 从而h 即h 2R 因为S R 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 例6 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为