第讲函数模型及其应用PPT课件.ppt

新课标高中一轮总复习 1 第二单元函数 2 第14讲 函数模型及其应用 3 了解指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等函数模型的意义 并能建立简单的数学模型 利用这些知识解决应用问题 4 1 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费 单位 元 由f m 1 06 0 50 m 1 给出 其中m 0 m 是大于或等于m的最小整数 如 4 4 2 7 3 3 8 4 若从甲地到乙地的一次通话时间为5 5分钟的电话费为 C A 3 71元B 3 97元C 4 24元D 4 77元 由题设知 f 5 5 1 06 0 50 5 5 1 1 06 0 5 6 1 4 24 故选C 5 2 在某种新型材料的研制中 实验人员获得了如下一组数据 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 B A y 2x 2B y x2 1 C y log2xD y x 将各组数据代入验证 选B 6 3 某电信公司推出两种手机收费方式 A种方式是月租20元 B种方式是月租0元 一个月的本地网内打出电话时间 分钟 与打出电话费s 元 的函数关系如图 当打出电话150分钟时 这两种方式的电话费相差 A A 10元B 20元C 30元D 元 7 两种话费相差为 y 根据几何关系可得 y y 12 y 10 所以 y 10 8 4 某汽车运输公司 购买了一批豪华大客车投入客运 据市场分析 每辆客车营运的总利润y万元与营运年数x x N 的关系为y x2 12x 25 则为使其营运年平均利润最大 每辆客车营运年数为 C A 2B 4C 5D 6 平均利润 12 10 2 当且仅当x 即x 5时 等号成立 故选C 9 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述 那么 面临一个实际问题 应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢 事实上 要顺利地建立函数模型 首先要深刻理解基本函数的图象和性质 熟练掌握基本函数和常用函数的特点 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识 一般而言 有以下8种函数模型 10 一次函数模型 f x b k b为常数 k 0 反比例函数模型 f x b k b为常数 k 0 二次函数模型 f x ax2 bx c a b c为常数 a 0 二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型 在高考的应用题考查中最为常见的 指数型函数模型 f x kax b k a b为常数 k 0 a 0且a 1 11 对数型函数模型 f x mlogax n m n a为常数 m 0 a 0且a 1 幂函数型模型 f x axn b a b n为常数 a 0 n 0 勾 函数模型 f x x k为常数 k 0 这种函数模型应用十分广泛 因其图象是一个 勾号 故我们把它称之为 勾 函数模型 分段函数模型 这个模型实则是以上两种或多种模型的综合 因此应用也十分广泛 12 题型一函数模型的选择 例1 扇形的周长为c c 0 当圆心角为多少弧度时 扇形面积最大 13 当r 时 Smax 此时 2 所以当圆心角大小为2rad时 扇形面积最大 为 方法一 因为c l 2r 所以l c 2r 0 所以0 r 面积S lr c 2r r r r 0 r 14 当且仅当 即 2时 等号成立 所以当圆心角大小为2rad时 扇形面积最大 为 方法二 因为c l 2r r 2r 所以r 所以S r2 2 15 1 虽然问 为多少时 但若以 为自变量 运算较大且需用到均值不等式等技巧 而方法一以半径为自变量 是一个简单的二次函数模型 同样 若以弧长l为自变量 也是一个二次函数模型 所以在构造函数过程中 要合理选择自变量 16 2 一般的 当线绕点旋转时 常以旋转角为变量 3 合理选择是画图象还是分离参数解决不等式组成立问题 当图易于作出时 常用图象解决 当易分离参数且所得函数的最值易于求解时 可用分离参数法 17 题型二已知函数模型求参数值 例2 如图 木桶1的水按一定规律流入木桶2中 已知开始时木桶1中有a升水 木桶2是空的 t分钟后木桶1中剩余的水符合指数衰减曲线y1 ae mt 其中m是常数 e是自然对数的底数 假设在经过5分钟时 木桶1和木桶2的水恰好相等 求 18 2020 2 9 19 1 因为木桶2中的水是从木桶1中流出的 而木桶1开始的水是a 又满足y1 ae mt 所以y2 a ae mt 2 因为t 5时 y1 y2 所以ae 5m a ae 5m 解得2e 5m 1 m ln2 所以y1 ae 当y1 时 有 ae t 15 分钟 所以经过15分钟木桶1的水是 1 木桶2中的水y2与时间t的函数关系 2 经过多少分钟 木桶1中的水是升 已知函数模型求参数值 关键是根据题设条件建立方程求解 20 题型三给出函数模型的应用题 例3 经市场调查 某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量 件 与价格 元 均为时间t 天 的函数 且销售量近似满足g t 80 2t 件 价格近似满足f t 20 t 10 元 1 试写出该种商品的日销售额y与时间t 0 t 20 的函数表达式 2 求该种商品的日销售额y的最大值与最小值 21 1 y g t f t 80 2t 20 t 10 40 t 40 t 10 30 t 40 t 0 t 10 40 t 50 t 10 t 20 2 当0 t 10时 y的取值范围是 1200 1225 在t 5时 y取得最大值为1225 当10 t 20时 y的取值范围是 600 1200 在t 20时 y取得最小值为600 答 第5天 日销售额y取得最大值为1225元 第20天 y取得最小值600元 22 用水清洗一堆蔬菜上残留的农药 对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定 用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的 用水越多 洗掉的农药量也越多 但总还有农药残留在蔬菜上 设用x单位量的水清洗一次以后 蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f x 23 1 试规定f 0 的值 并解释其实际意义 2 试根据假定写出函数f x 应满足的条件和具有的性质 3 设f x 现有a a 0 单位量的水 可以清洗一次 也可以把水平均分成2份后清洗两次 试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少 说明理由 题目中的假定是对f x 的性质的描述 而确定用哪种方案时 只需比较两种方案的清洗效果 24 1 f 0 1 表示没有用水清洗时 蔬菜上残留的农药量保持不变 2 函数f x 应满足的条件和具有的性质是 f 0 1 f 1 在 0 上是减函数 且0 f x 1 3 设仅清洗一次 蔬菜上残留的农药量为f1 清洗两次后 蔬菜上残留的农药量为f2 则f1 f2 2 25 因为f1 f2 2 所以 当0时 f1 f2 即清洗两次蔬菜上残留的农药量较少 26 阅读题目 理解题意是解决应用题的前提 本题的关键是对f x 的假定的理解 选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤 因此解应用题时要根据题目中的数量关系 选择适当的数学模型和方法加以解决 27 1 理解题意 找出数量关系是解应用题的前提 因此解题时应认真阅读题目 深刻理解题意 2 建立数学模型 确定解决方法是解应用题的关键 因此解题时要认真梳理题目中的数量关系 选择适当的方法加以解决 28 3 函数的应用问题通常是以下几种类型 可行性问题 最优解问题 即最大值或最小值问题 如费用最小 效益最大等问题 决策问题 解题时要灵活运用函数的性质和数学方法 4 应用题中的函数由于它具有实际意义 因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外 还要符合其实际意义 29 2009 浙江卷 如图 在长方形ABCD中 AB 2 BC 1 E为DC的中点 F为线段EC 端点除外 上一动点 现将 AFD沿AF折起 使平面ABD 平面ABC 在平面ABD内过点D作DK AB K为垂足 设AK t 则t的取值范围是 1 30 如图 过K作KM AF于M点 连接DM 易得DM AF 与折前的图形相比 可知在折前的图中 D M K三点共线 且DK AF 于是在折前的图中 DAK FDA 所以 t 又DF 1 2 所以t 1 31 2009 江苏卷 按照某学者的理论 假设一个人生产某产品的单件成本为a元 如果他卖出该产品的单价为m元 则他的满意度为 如果他买进该产品的单价为n元 则他的满意度为 如果一个人对两种交易 卖出或买进 的满意度分别为h1和h2 则他对这两种交易的综合满意度为 现假设甲生产A B两种产品的单件成 32 本分别为12元和5元 乙生产A B两种产品的单件成本分别为3元和20元 设产品A B的单价分别为mA元和mB元 甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲 乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙 1 求h甲和h乙关于mA mB的表达式 当mA mB时 求证 h甲 h乙 2 设mA mB 当mA mB分别为多少时 甲 乙两人的综合满意度均最大 最大的综合满意度为多少 33 3 记 2 中最大的综合满意度为h0 试问能否适当选取mA mB的值 使得h甲 h0和h乙 h0同时成立 但等号不同时成立 试说明理由 1 证明 h甲 h乙 mA 3 12 mB 5 20 证明 当mA mB时 h甲 34 h乙 所以h甲 h乙 2 当mA mB时 h甲 由mB 5 20 得 故当 即mB 20 mA 12时 甲 乙两人的综合满意度最大 为 35 3