2019版九年级数学下册第三章圆试题（新版）北师大版.docx

第三章圆1.解决与弦有关的问题垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法构造直角三角形;在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线圆心到弦的距离.【例】如图,平面直角坐标系中,P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2.(1)求P的半径.(2)将P向下平移,求P与x轴相切时平移的距离.【标准解答】(1)作PCAB于C,连接PA.AC=CB=AB.AB=2,AC=.点P的坐标为(3,-1),PC=1.在RtPAC中,PCA=90,PA=2.P的半径为2.(2)将P向下平移,P与x轴相切时平移的距离为2-1=1.1.如图,O的直径CD=5cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,OMOD=35.则AB的长是()A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.2cm1题图2题图2.如图O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,A=22.5,OC=4,则CD的长为()A.2B.4C.4D.83.O过点B,C,圆心O在等腰直角ABC内部,BAC=90,OA=1,BC=6,则O的半径为()A.B.2C.D.32.与圆心角、圆周角有关的问题(1)利用圆周角定理将圆心角与圆周角进行转化.(2)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角的转化.(3)利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形,为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条件.(4)利用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角.【例1】如图,O中,弦AB,CD相交于点P,若A=30,APD=70,则B等于()A.30B.35C.40D.50【标准解答】选C.APD是APC的外角,APD=C+A;A=30,APD=70,C=APD-A=40.B=C=40.【例2】如图,将三角板的直角顶点放在O的圆心上,两条直角边分别交O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB,则APB的大小为度.【标准解答】AOB与APB为所对的圆心角和圆周角,APB=AOB=90=45.答案:45【例3】如图,O是ABC的外接圆,CD是直径,B=40,则ACD的度数是.【标准解答】连接AD,CD是直径,CAD=90,B=40,D=40,ACD=50.答案:50【例4】如图,四边形ABCD内接于O,ADBC,DAB=49,则AOC的度数为.【标准解答】如图,在上取点M,连接AM,CM,ADBC,DAB=49,ABC=131,M=49,AOC=98.答案:981.如图,O的直径CDAB,AOC=50,则CDB的大小为()A.25B.30C.40D.501题图2题图3题图2.如图,AB是O的直径,C,D,E都是O上的点,则ACE+BDE=()A.60B.75C.90D.1203.如图,在O的内接五边形ABCDE中,CAD=35,则B+E=.4.如图,AB是O的直径,C是弧AE的中点,CDAB于D,交AE于F,连接AC,试证明AF=CF.3.切线的判定与性质(1)切线的三种判定方法从公共点的个数来判断:直线与圆有且只有一个公共点;从圆心到直线的距离来判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;应用判定定理:经过半径外端且与半径垂直.(2)利用切线的判定定理的两个思路连半径,证垂直:若已知直线与圆有公共点,则连接圆心和公共点,证明垂直.作垂线,证等径:若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.(3)切线性质应用的两个思路有切点:连接切点和半径,必垂直,建直角三角形;无切点:过圆心作半径,必垂直,得切点,建直角三角形.【例1】如图,在ABC中,C=90,ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线于点F,O是BEF的外接圆.(1)求证:AC是O的切线.(2)过点E作EHAB于点H,求证:CD=HF.【信息解读破译解题秘钥】条件直译为:CBE=FBE.条件翻译为:BF为圆O的直径.破译:连接OE,则可得OBE=OEB,整合条件,可得OEBC.破译:整合条件得到OEAC,进而得到AC是O的切线.条件翻译为:=,进而得到DE=EF.破译:整合条件,得到CE=EH.破译:整合条件,得到ECDEHF,进而得到CD=HF.【标准解答】(1)连接OE.BEEF,BEF=90,BF为O的直径.BE平分ABC,OBE=CBE.OB=OE,OBE=OEB.CBE=OEB.OEBC.OEA=C=90.OEAC.AC是O的切线.(2)连接DE.OBE=CBE,=.DE=EF.BE平分ABC,ECBC,EHAB,EC=EH.又C=EHF=90,DE=EF,RtDCERtFHE.CD=HF.【例2】如图,在O中,AB,CD是直径,BE是切线,B为切点,连接AD,BC,BD.(1)求证:ABDCDB.(2)若DBE=37,求ADC的度数.【标准解答】(1)AB,CD是直径,ADB=CBD=90,在ABD和CDB中,RtABDRtCDB(HL).(2)BE是切线,ABBE,ABE=90,DBE=37,ABD=53,OA=OD,BAD=ODA=90-53=37,ADC的度数为37.1.如图,以ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.(1)求证:AC是O的切线.(2)若BF=8,DF=,求O的半径r.2.如图,AB为O的直径,PD切O于点C,交AB的延长线于点D,且D=2CAD.(1)求D的度数.(2)若CD=2,求BD的长.3.如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DFAC于点F.(1)试说明DF是O的切线.(2)若AC=3AE,求tanC.4.三角形的外接圆与内切圆(1)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离都相等.直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半.(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等.直角三角形内切圆的半径r=(其中a,b为直角边,c为斜边).【例1】如图,ABC的外心坐标是.【标准解答】ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,作图如图,EF与MN的交点O即为所求的ABC的外心,ABC的外心坐标是(-2,-1).答案:(-2,-1)【例2】ABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.【标准解答】根据切线长定理,设AE=AF=xcm,BF=BD=ycm,CE=CD=zcm.根据题意,得解得即AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.1.如图所示,ABC内接于O,若OAB=28,则C的大小是()A.56B.62C.28D.321题图2题图2.如图,已知O是边长为2的等边ABC的内切圆,则O的面积为.5.正多边形的有关计算正多边形的半径、边心距、边长的一半构成一个直角三角形.正多边形的有关计算问题都可归结到这个直角三角形中.【例】一个正三角形和一个正六边形的面积相等,求它们边长的比.【标准解答】如图,设O,O分别是正三角形ABC、正六边形EFGHIJ的中心,分别作ODBC于D,作OKGH于K,连接OB,OG,则在RtODB中,BOD=60,BD=a3,OBD=30.OB=2OD=2r3,由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即(2r3)2=+(a3)2解得r3=a3,S3=6SBOD=6BDOD=6a3a3=.同理可得S6=12SOGK=12GKOK=12a6a6=,S3=S6,=,=.=,即a3a6=1.1.如图,正六边形ABCDEF内接于O,若直线PA与O相切于点A,则PAB=()A.30B.35C.45D.601题图2题图2.如图,O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是()A.R2-r2=a2B.a=2Rsin 36C.a=2rtan 36D.r=Rcos 363.图是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形正八边形.(1)如图,AE是O的直径,用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(AOD180)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于.6.求阴影部分面积的方法(1)割补法将不规则图形进行割补转化为规则图形来计算.【例1】如图,阴影部分的面积为.【标准解答】如图,四边形ABEF和四边形ECDF为正方形,且边长为a,那么扇形BEF的面积等于扇形CED的面积,所以图形1的面积等于图形3的面积,则阴影部分的面积=图形1的面积+图形2的面积=正方形ABEF的面积=a2.答案:a2(2)和差法将阴影部分的面积看成几个规则图形面积的和或差来进行计算.【例2】如图,在ABC中,AB=AC=10,CB=16,分别以AB,AC为直径作半圆,则图中阴影部分面积是()A.50-48B.25-48C.50-24D.-24【标准解答】选B.设以AB,AC为直径作半圆交BC于D点,连AD,如图,ADBC,BD=DC=BC=8,AB=AC=10,AD=6,阴影部分面积=半圆AC的面积+半圆AB的面积-ABC的面积=52-166=25-48.(3)平移法通过图形的平移,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.【例3】如图,两个半圆中,小圆的圆心O在大O的直径CD上,长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切,那么图中阴影部分的面积等于.【标准解答】把小半圆向右平移,使两个圆心重合时,小半圆的面积不变,因而阴影部分的面积未变;连接OB,作OPAB于P,因而阴影部分的面积是大半圆的面积减去小半圆的面积,阴影部分的面积=OB2-OP2=(OB2-OP2)=BP2=2.答案:2(4)等积法将不规则的阴影部分的面积用和它面积相等的规则图形替代,然后计算规则的图形的面积.【例4】如图所示,正方形ABCD内接于O,直径MNAD,则阴影部分面积占圆面积的()A.B.C.D.【标准解答】选B.连接OD,OC.MNADBC,ON=ON,四边形BOAN的面积=四边形CODN的面积.再根据图形的轴对称性,得阴影部分的面积=扇形DOC的面积=圆面积.(5)方程(组)法当阴影部分面积不好直接求解时可用列方程(组)的方法求解.【例5】如图所示,正方形ABCD的边长为a,以A为圆心作,以AB为直径作,M是AD上一点,以DM为直径,作与相外切,则图中阴影部分面积为.【标准解答】设以DM为直径的半圆的圆心为O1,半径为r,以AB为直径的半圆的圆心为O2,连接O1O2,则有(a-r)2+=,解得:r=a,所以S阴影=S扇形DAB-=a2-=a2.答案:a21.如图,扇形AOB中,半径OA=2,AOB=120,C是弧AB的中点,连接AC,BC,则图中阴影部分的面积是()A.-2B.-2C.-D.-1题图2题图3题图2.如图,AB是O的直径,弦CDAB,CDB=30,CD=2,则S阴影=()A.B. 2C.D.3.如图所示,AB为半圆O的直径,C,D,E,F是上的五等分点,P为直径AB上的任意一点,若AB=4,则图中阴影部分的面积为.4.如图,ABC是等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC.把ABC绕点A按顺时针方向旋转45后得到ABC,若AB=2,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是.(结果保留)5.如图,已知在RtABC中,B=30,ACB=90,延长CA到O,使AO=AC,以O为圆心,OA长为半径作O交BA延长线于点D,连接CD.(1)求证:CD是O的切线.(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.6.如图,PA,PB分别与O相切于A,B两点,ACB=60.(1)求P的度数.(2)若O的半径长为4cm,求图中阴影部分的面积.7.如图,四边形ABCD是O的内接四边形,ABC=2D,连接OA,OB,OC,AC,OB与AC相交于点E.(1)求OCA的度数.(2)若COB=3AOB,OC=2,求图中阴影部分面积.(结果保留和根号)8.如图,AB是O的直径,=,连接ED,BD,延长AE交BD的延长线于点M,过点D作O的切线交AB的延长线于点C.(1)若OA=CD=2,求阴影部分的面积.(2)求证:DE=DM.跟踪训练答案解析第三章圆1.解决与弦有关的问题【跟踪训练】1.【解析】选C.连接OA,CD是O的直径,AB是O的弦,ABCD,AB=2AM,CD=5cm,OD=OA=CD=5=(cm),OMOD=35,OM=OD=(cm),在RtAOM中,AM=2,AB=2AM=22=4(cm).2.【解析】选C.A=22.5,COB=45,在RtCOE中,OC=4,CE=2,CD=2CE=4.3.【解析】选C.过A作ADBC,由题意可知AD必过点O,连接OB;BAC是等腰直角三角形,ADBC,BD=CD=AD=3;OD=AD-OA=2;在RtOBD中,根据勾股定理,得:OB=.2.与圆心角、圆周角有关的问题【跟踪训练】1.【解析】选A.由垂径定理,得=,CDB=AOC=25.2.【解析】选C.连接AD,AB是O的直径,ADB=90,由圆周角定理可知ADE=ACE,ACE+BDE=ADB=90.3.【解析】连接BD,则CBD=CAD=35,因四边形ABDE是圆内接四边形,ABD+E=180,ABC+E=215.答案:2154.【证明】方法一:连接BC,AB是直径,ACB=90,即ACF+BCD=90,CDAB,B+BCD=90,B=ACF,C是的中点,=,B=CAF,ACF=CAF,AF=CF.方法二:延长CD交圆于点H,AB是直径,CDAB,=,C是的中点,=,=,ACF=CAE,AF=CF.3.切线的判定与性质【跟踪训练】1.【解析】(1)连接OA,OD,则OA=OD,OAD=ODA,D为BE的下半圆弧的中点,ODBE,ODA+OFD=90,OAD+OFD=90,OFD=AFC,OAD+AFC=90,AC=FC,FAC=AFC,OAD+FAC=90,AC是O的切线.(2)BF=8,DF=,OF=8-r,在直角三角形OFD中,r2+(8-r)2=()2,解得,r=2.2.【解析】(1)OA=OC,A=ACO,COD=A+ACO=2A,D=2CAD,D=COD,PD切O于C,OCD=90,D=COD=45.(2)D=COD,CD=2,OC=OB=CD=2,在RtOCD中,由勾股定理得:22+22=(2+BD)2,解得:BD=2-2.3.【解析】(1)连接OD,则OB=OD,ABC=ODB,AB=AC,ABC=C,ODB=C,ODAC,DFAC,DFOD,DF经过半径OD的外端,DF是O的切线.(2)连接BE,AB为O的直径,E=90,设AE=k,则AB=AC=3k,BE=2k,tanC=.4.三角形的外接圆与内切圆【跟踪训练】1.【解析】选B.连接OB,OA=OB,AOB是等腰三角形,OAB=OBA,OAB=28,OAB=OBA=28,AOB=124,C=62.2.【解析】设BC切O于点D,连接OC,OD;CA,CB都与O相切,OCD=OCA=30.在RtOCD中,CD=BC=1,OCD=30,OD=OC,在RtODC中,OD2+CD2=OC2,OD=,SO=(OD)2=.答案:5.正多边形的有关计算【跟踪训练】1.【解析】选A.连接OA,根据直线PA为切线可得OAP=90,根据正六边形的性质可得OAB=60,则PAB=OAP-OAB=90-60=30.2.【解析】选A.O是正五边形ABCDE的外接圆,BOC=360=72,1=BOC=72=36,R2-r2=a2,a=Rsin 36,a=2Rsin 36;a=rtan 36,a=2rtan 36,cos 36=,r=Rcos 36,所以,关系式错误的是R2-r2=a2.3.【解析】(1)如图所示,八边形ABCDEFGH即为所求,(2)八边形ABCDEFGH是正八边形,AOD=345=135,OA=5,的长=,设这个圆锥底面圆的半径为R,2R=,R=,即这个圆锥底面圆的半径为.答案:6.求阴影部分面积的方法【跟踪训练】1.【解析】选A.连接OC,得AOC=BOC=60,OAC,BOC都是等边三角形.SAOC=22=,S阴影=2=-2.2.【解析】选D.设CDAB交AB于点E,AB是直径,CE=DE=CD=,又CDB=30,COE=60,OE=1,OC=2,BE=1,SBED=SOEC,S阴影=S扇形BOC=.3.【解析】连接OD,OE.C,D,E,F是上的五等分点,DOE=180=36,S扇形DOE=.答案:4.【解析】ACB=90,CB=AC,AB=2,AC=BC=,ABC绕点A按顺时针方向旋转45后得到ABC,AC=AC=,AB=AB=2,BA