第四章导数的应用.doc

文科微积分学习指导（3）第四章 导数的应用第一部分 重点、难点及分析一、 费马定理与中值定理：由拉格朗日中值定理可以推导出一元函数微积分中一系列重要结论，如：在（a，b）内一个函数是常数的充分条件：若，则f（x）是常数。由此可知：两个函数的导数相等，那么这两个函数只相差一个常数。即，。 f（x）在a，b单调性的充分条件：，f（x）在a，b上严格单调增加；，f（x）在a，b上严格单调减少。洛必达法则。也应了解拉格朗日中值定理的特例“罗尔定理”， 罗尔中值定理：设f（x）在a，b上连续，在（a，b）内可导，若f（a）= f（b），则一定存在 。在应用拉格朗日中值定理时，当f（a）= f（b）时，就得到罗尔定理的结论。在解决问题时，常用罗尔中值定理判别一个函数的零点。如：证明方程令，根据罗尔中值定理，必有，而，这说明二、 洛必达法则：用洛必达法则解决形式的极限问题，使用该法则时须注意已知条件，如：又如：错误的作法：，错误在于倒数第二个等号，由于并不知道是否连续，因而不能认为等于。正确的作法是：上面两题的错误作法都是忽略了洛必达法则中“存在”这个条件，只有确认存在时，才可以运用洛必达法则。在应用洛必达法则求极限时，要注意，应该对分子、分母分别求导数，即而不可认为是对整个分式求导数，不可以为。另外的五种未定型：都可以转换成未定 型，见下图：在求极限时，并非所有的不定式利用洛必达法则都能解决问题，如：这就是说，用洛必达法则不能解决这道题。可以这样考虑： 对于1的不定式，有时用重要极限来求解会便利得多，如：而用洛必达法则：对于五种不定式，在第三部分将有例题说明它们具体的解法。三、 函数的极值与最值：若f（x）是可导函数，f（x）的极值点只能是驻点，但驻点并不一定是极值点。某点是否是极值点，要检验这点两侧的符号是否改变，若改变，这个点就是极值点，否则不是。另外要注意的是，一个函数的极值点也可能是导数不存在的点，也就是说，要特别注意：当在某点，不存在，须检验这点两侧的符号是否改变，以决定它是否是极值点。在习题解答中第五题的就是这种情况。在下图中，在点f（x）的导数不存在（这个点是“尖点”，属于导数为无穷大的情形），但是极小值点。 函数极值与最值的区别与关系a) 一般的说，极值概念是“局部”的概念，而最值是函数的整体性质；b) 闭区间的连续函数有最值，但可能没有极值，如果有极值，有可能不止一个，而且极小值有可能大于极大值。c) 若函数在开区间内只有一个极值，这个极值就是最值；d) 最值可能在区间端点得到，也可能在区间内部达到，但极值只能在区间内部达到。第二部分 书后习题1）2) 解法一：解法二：4）5）6)设小正方形的边长是x，方盒子的容积是：，为使该问题有实际意义，。依题目要求，要求当x=？使得V最大。由于是极大值点，而v只有一个极值点，它就是最大值点，即x=a/4时，方盒的容积最大。7）设场地面积为s，按照下图所设9）当每批生产250件产品可使利润最大。10）；所给函数是多项式函数，在（，）上有意义，也是多项式函数，在（，）上有意义，即无导数不存在点。由于可能是极值点，可能是拐点。因此将（，）分为（，0）、（0，）、（）、（）四个区间，再分别讨论在着四个区间内及的符号，从而了解函数y的性质、画y的图形。第三部分 附加题1） 若。 在区间a1，x上，对于f（x）应用拉格朗日中值定理， 2） 若在 3） f (x) = sinx ,使拉格朗日公式成立。证明:.设f (x) = sinx ,在上f (x)连续,在()内f (x)可导,即f (x)满足拉格朗日公式,所以，存在，使得 从而， .4）设f (x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,证明存在(0,1)使得, 。 令,由拉格朗日公式,存在(0,1)使得,5）设f (x) = sinx ,使拉格朗日公式成立。这里，由拉格朗日公式，1因此， 。6）证明: ,(x 0) . 令由拉格朗日公式, 存在(0,x) ,使得 即 而,所以.7）当时，证明：。（2002年天津市文科数学竞赛题） 令 8）用罗比达法则求极限:= 这是1， 9）求。解法一：。解法二：10）证明：若x0,n1，则（1+x）n1+nx 。 11）设函数f（x）在a，b上连续，且 0,证明在上是单调增加的。因为 0 ,所以在上是单调增加的, 因此, 在上是单调增加的.12)证明当x 1时, 。 将原不等式改写成，这是的形式，令f (x)=xlnx ,在x，1+x上连续，在（x，1+x）内可导，由拉格朗日公式, 存在（x，1+x），（x 1）使得因为于是即由于lnx 0,所以 。13）求函数的单调区间与极值. x(-,-1)-1(-1,)(,1)1(1,+ )+0+0-0+f(x)0极大值0极小值14）15）要建一个体积为的有盖园柱形水池，已知上下底的造价是四周造价的2倍，问这个水池底面积半径为多大时，总造价最低？ 设底面积半径r，高为h，侧面造价a/单位面积，总面积，总造价 =当时水池的总造价最低。16）证明方程只有一个正根。 令当0个实根，而即方程只有一个正的实根。17）已知矩形的周长为2p，将它绕其一边旋转构成立体，试问，矩形的长、宽各为多少，所得到的立体体积最大？（2002年天津市文科数学竞赛题） 设矩形的长为x，宽为px，矩形绕其一边旋转构成立方体，体积v 18)已知f（x）在x =0点的某邻域内连续，且，证明：x=0 是f（x）的极小值点。 证明：此题需要证明存在x的某一邻域，在该邻域内，f （x）f (0) 。 由于，故当时，f（x）是无穷小量，又知f （x）在x=0连续，因而，于是，存在着，在 内f （x）0 ,也就是f （x） f （0）,故x=0 是f（x）的极小值点。19)已知f（x）在闭区间0，1上有二阶导数，且f（0）=0，试证是单调增加函数。由于，可知单增，因此，即的导数大于零。所以是单调增加函数。第四部分 英语参考材料indeterminate form Suppose that f (x)0 and g(x) 0 as xa .Then the limit of the quotient as xa is said to give an indeterminate form, sometimes denoted by . It may be that the limit of can nevertheless be found