《弹性静力学总结》PPT课件.ppt

工程力学 复习课第二篇弹性静力学 杆件的基本变形 目录 第五章轴向拉伸和压缩第六章剪切和挤压第七张扭转第八章梁弯曲时内力和应力第九章梁的弯曲变形 四种基本变形 轴向拉伸 压缩 剪切 扭转与弯曲 a 轴向拉压 b 剪切 c 扭转 d 弯曲 第五章轴向拉伸和压缩 轴向拉伸和压缩 杆的受力特点 外力 或外力的合力 的作用线与杆件的轴线重合 变形特点 杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短 轴力 因轴向拉压引起的内力也与杆的轴线一致 称为轴向内力 简称轴力 方向约定 拉伸引起的轴力为正值 方向背离横截面 压缩引起的轴力为负值 指向向着横截面 截面法 1 确定研究对象 截面 2 画受力图 3 列平衡方程 4 求轴力 5 画轴力图 轴力图 例4 1直杆受外力作用如图 求此杆各段的轴力 并作轴力图 解 1 AB段 2 AC段 3 CD段 绘制轴力图 压 正应力 横截面上应力的方向垂直于横截面 称为 正应力 并以 表示 FN为横截面上的轴力 A为横截面面积 当轴力为正时 为拉应力取正号 当轴力为负时 为压应力 取负号 应力的国际单位为Pa 1Pa 1N m2 拉压杆的应力 应力 受力物体截面上内力的集度 即单位面积上的内力 例4 2一阶梯杆如图所示 AB段横截面面积为 A1 100mm2 BC段横截面面积为A2 180mm2 试求 各段杆横截面上的正应力 解 1 计算各段内轴力 并绘制轴力图 BC段 2 确定应力 AB段 BC段 AB段 拉压杆的变形 胡克定律 在弹性范围内 杆件上任一点的正应力与线应变成正比 E称为材料的弹性模量 与应力单位相同 EA称为杆件的抗拉 或抗压 刚度 例4 3钢制阶梯杆如图 已知轴向外力F1 50kN F2 20kN 各段杆长为l1 150mm l2 l3 120mm 横截面面积为 A1 A2 600mm2 A3 300mm2 钢的弹性模量E 200GPa 求各段杆的纵向变形和线应变 解 1 作轴力图 2 计算纵向变形 3 计算各段杆的线应变 轴向拉伸和压缩的强度计算 设计截面尺寸 强度校核 确定许用载荷 构件的最大工作应力必须小于材料的许用应力 即 强度计算三类问题 例4 4如图所示一结构由钢杆1和铜杆2在A B C处铰接而成 在节点A点悬挂一个G 40kN的重物 钢杆AB的横截面面积为A1 150mm2 铜杆的横截面面积为A2 300mm2 材料的许用应力分别为 1 160MPa 2 98MPa 试校核此结构的强度 解 1 求各杆的轴力 取节点A为研究对象 作出其受力图 1 求各杆的轴力 故 此结构的强度足够 2 求各杆横截面上的应力 解得 第六章剪切和挤压 剪切的概念 剪切变形 构件在一对大小相等 方向相反 作用线相隔很近的外力 或外力的合力 作用下 截面沿着力的方向发生相对错动的变形 称剪切变形 剪切应力 1 内力的计算 剪切胡克定律 切应力 与切应变 成正比 G 材料的剪切弹性模量 单位为Pa 挤压的概念 挤压 接触面上相互压紧 这种现象称为挤压 Abs 挤压面面积 Fbs 挤压力 例5 2如图示的起重机吊钩 用销钉联接 已知吊钩的钢板厚度t 24mm 吊起时所能承受的最大载荷F 100kN 销钉材料的许用切应力 60MPa 许用挤压应力 bs 180MPa 试设计销钉直径 解 1 取销钉为研究对象 画受力图 用截面法求剪力 2 按照剪切的强度条件设计销钉直径 圆截面销钉的面积为 3 设销钉的挤压应力各处均相同 按挤压的强度条件设计销钉直径 为了保证销钉安全工作 必须同时满足剪切和挤压强度条件 应取d 33mm 挤压力 挤压面积 第七张扭转 扭转 构件两端受到两个作用面与杆的轴线垂直的 大小相等的 转向相反的力偶矩作用 使杆件的横截面绕轴线发生相对转动 一 扭矩 T 取左分析 同理取右段分析可得 扭矩和扭矩图 得 二 符号规定 右手螺旋法则 用右手四指表示扭矩的转向 若拇指的指向离开截面时 规定扭矩为正 如图a所示 若拇指指向截面时 则扭矩为负 如图b所示 b 例6 1求如图所示传动轴1 1截面和2 2截面的扭矩 并画扭矩图 解 用截面法求扭矩1 取1 1截面左侧 2 取2 2截面右侧 3 作出扭矩图如图 圆轴扭转时的应力 剪切胡克定律 R 切应力最大值 令称为抗扭截面系数 例6 2如图所示为阶梯形圆轴 其中实心AB段直径d1 40mm BD段为空心部分 外径D 55mm 内径d 45mm 轴上A D C处为皮带轮 已知主动轮C输入的外力偶矩为MC 1 8kN 从动轮A D传递的外力偶矩分别为MA 0 8kN m MD 1kN m 材料的许用切应力 80MPa 试校核该轴的强度 解 1 画扭矩图 用截面法 或简捷方法 可作出该阶梯形圆轴的扭矩图如图所示 2 强度校核 由于两段轴的截面面积和扭矩值不同 故要分别进行强度校核 AB段 CD段 轴的内外径之比 故 此阶梯形圆轴满足强度条件 圆轴扭转时的变形和刚度计算 扭转角 圆轴扭转时 两横截面相对转过的角度称为这两截面的相对扭转角 抗扭刚度 GIP称为圆轴的抗扭刚度 它反映了圆轴抵抗扭转变形的能力 单位长度扭转角 例6 3传动轴如图所示 已知轴的直径d 45mm 转速n 300r min 主动轮A输入的功率PA 36 7KW 从动轮B C D输出的功率分别为PB 14 7KW PC PD 11KW 轴材料的剪切弹性模量G 80GPa 许用切应力 40MPa 单位长度的许用扭转角 1 5 m 试校核轴的强度和刚度 解 1 计算外力偶矩 同理 2 绘制扭矩图 用截面法求1 1截面的扭矩 2 2截面的扭矩 3 3截面的扭矩 绘出的扭矩图如图所示 显然AC段扭矩最大 由于是等截面圆轴 故危险截面在AC段内 3 强度校核 4 刚度校核 因轴同时满足刚度条件 所以传动轴是安全的 轴满足强度条件 第八章梁弯曲时内力和应力 梁AB作用有外力F1 F2如图 支座反力FRA FRB可由平衡条件求得 现用截面法计算任一截面m m上的内力 考虑左侧部分平衡有 一 剪力和弯矩 剪力FQm 弯矩Mm 弯曲时的内力剪力和弯矩 和 和分别大小相等 方向相反 二 剪力和弯矩的正负号规定 剪力的正负号 使截面绕其内侧任一点有顺时针转趋势的剪力为正 如图a所示 反之则为负 如图b所示 弯矩的正负号 使受弯杆件下侧纤维受拉为正 如图c 所示 使受弯杆件上侧纤维受拉为负 如图d 所示 或者使受弯杆件向下凸时为正 反之为负 例7 1如图所示简支梁 求C D截面的弯曲内力 解 1 支座反力 取整体为研究对象 由平衡方程得 2 截面C处的剪力和弯矩 3 截面D处的剪力和弯矩 一 剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 以梁轴线为横坐标 分别以剪力值和弯矩值为纵坐标 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线 称作剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程 沿梁轴线选取坐标x表示梁截面位置 则剪力和弯矩是x的函数 例7 2如图所示 简支梁AB受载荷集度为q的均布载荷作用 试作梁AB的剪力图和弯矩图 1 求支座反力 解 2 求剪力方程和弯矩方程 3 作剪力图和弯矩图 剪力图 是一斜直线 当时 当时 剪力图如图所示 确定抛物线的极值点 弯矩图如图所示 弯矩图 是一抛物线 当时 当时 得 利用剪力 弯矩与载荷集度的微分关系作剪力图和弯矩图 剪力 弯矩与载荷集度的微分关系 FQ x 剪力 M x 弯矩 q x 载荷集度 剪力图和弯矩图的特点和规律 1 q 0的梁段 FQ为常数 剪力图为水平直线 M为x的一次函数 即弯矩图为斜直线 斜率由FQ值确定 2 q 常数的梁段 FQ为x的一次函数 剪力图为斜直线 斜率由q值确定 而M是x的二次函数 则弯矩图为二次抛物线 q 0时 为凹曲线 弯矩存在极小值 q 0时 为凸曲线 弯矩存在极大值 剪力图和弯矩图的特点和规律 当梁上仅有集中力作用时 剪力图在集中力作用处有突变 突变量是集中力的大小 弯矩图在集中力作用处产生尖角 当梁上仅有集中力偶作用时 剪力图在集中力偶作用处不变 弯矩图在集中力偶作用处有突变 突变量是集中力偶的大小 例7 6利用剪力 弯矩与载荷集度的微分关系作图所示的外伸梁的剪力图和弯矩图 解 1 求支座反力 2 作剪力图和弯矩图 剪力图 AB段 剪力图是水平线 大小为 2 5kN BD段 剪力图是斜直线 确定两点FQB 4kN FQD 0 注意 因B处作用有集中力FRB 所以剪力图在B处有突变 突变为4kN 2 5 kN 6 5kN FRB 弯矩图 AC段与CB段 弯矩图是斜直线 因C处作用有集中力偶M 弯矩图在C截面处有突变 BD段 由于有均布载荷作用 弯矩图是一段抛物线 如图c 所示 梁弯曲时横截面的正应力 M 弯矩y 梁截面上某一点到中性层的距离IZ 截面对Z轴的惯性矩 引入抗弯截面系数 最大正应力 截面的惯性矩 例7 7简支梁受均布载荷q作用如图所示 已知q 2kN m 梁跨度l 3m 截面为矩形 b 80mm h 100mm 求 1 C截面上a b c三点处的正应力 2 梁的最大正应力值及其位置 解 求支座反力 1 计算C截面的弯矩 计算截面对中性轴z的惯性矩 计算各点的正应力 2 作弯矩图 弯矩最大值发生在跨中截面处 其值为 梁的最大正应力发生在跨中截面的上 下边缘处 最大正应力值为 例7 8矩形截面的外伸梁 尺寸和载荷如图示 材料的弯曲许用应力 100MPa 试校核梁的强度 解 1 作梁的弯矩图 2 计算矩形截面的抗弯截面系数 3 梁的最大正应力 因此 梁满足正应力强度条件 第九章梁的弯曲变形 挠度和转角 挠度 y 截面形心线位移的垂直分量称为该截面的挠度 用y表示 一般用ymax表示全梁的最大挠度 转角 横截面绕中性轴转动产生了角位移 此角位移称转角 用 表示 二 积分法求梁的挠度与转角 积分一次得转角方程 对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分 积分二次得挠度方程 简支梁 悬臂梁 式中积分常数C D由边界条件 梁中已知的截面位移 确定 由边界条件 变形连续条件可确定积分常数 通过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度 这方法称积分法 例8 1如图所示简支梁 跨度为l 受均布载荷q作用 梁的抗弯曲刚度EI已知 求跨中截面C的挠度及截面A处的转角 解 梁的弯矩方程为 将上式一次积分得转角 再次积分 可得挠度方程 边界条件 时 时 故有 叠加法求梁的弯曲变形 叠加原理 梁在几个载荷