高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 两个计数原理的综合应用课件 新人教A版选修23.ppt

第2课时两个计数原理的综合应用 第一章 1 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习目标1 进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别 2 会正确应用这两个计数原理计数 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一两个计数原理的区别与联系 解决较为复杂的计数问题 一般要将两个计数原理综合应用 使用时要做到目的明确 层次分明 先后有序 还需特别注意以下两点 1 合理分类 准确分步 处理计数问题 应扣紧两个原理 根据具体问题首先弄清楚是 分类 还是 分步 要搞清楚 分类 或者 分步 的具体标准 分类时需要满足两个条件 类与类之间要互斥 保证不重复 总数要完备 保证不遗漏 也就是要确定一个合理的分类标准 分步时应按事件发生的连贯过程进行分析 必须做到步与步之间互相独立 互不干扰 并确保连续性 知识点二两个计数原理的应用 2 特殊优先 一般在后 解含有特殊元素 特殊位置的计数问题 一般应优先安排特殊元素 优先确定特殊位置 再考虑其他元素与其他位置 体现出解题过程中的主次思想 题型探究 例1用0 1 2 3 4五个数字 1 可以排成多少个三位数字的电话号码 解三位数字的电话号码 首位可以是0 数字也可以重复 每个位置都有5种排法 共有5 5 5 53 125 种 类型一组数问题 解答 2 可以排成多少个三位数 解三位数的首位不能为0 但可以有重复数字 首先考虑首位的排法 除0外共有4种方法 第二 三位可以排0 因此 共有4 5 5 100 种 3 可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数 解被2整除的数即偶数 末位数字可取0 2 4 因此 可以分两类 一类是末位数字是0 则有4 3 12 种 排法 一类是末位数字不是0 则末位有2种排法 即2或4 再排首位 因0不能在首位 所以有3种排法 十位有3种排法 因此有2 3 3 18 种 排法 因而有12 18 30 种 排法 即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数 解答 引申探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数 解完成 组成无重复数字的四位奇数 这件事 可以分四步 第一步定个位 只能从1 3中任取一个 有2种方法 第二步定首位 把1 2 3 4中除去用过的一个剩下的3个中任取一个 有3种方法 第三步 第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法 再排十位有2种方法 由分步乘法计数原理知共有2 3 3 2 36 个 解答 反思与感悟对于组数问题 应掌握以下原则 1 明确特殊位置或特殊数字 是我们采用 分类 还是 分步 的关键 一般按特殊位置 末位或首位 分类 分类中再按特殊位置 或特殊元素 优先的策略分步完成 如果正面分类较多 可采用间接法求解 2 要注意数字 0 不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 跟踪训练1从0 2中选一个数字 从1 3 5中选两个数字 组成无重复数字的三位数 其中奇数的个数为a 24b 18c 12d 6 解析由于题目要求是奇数 那么对于此三位数可以分成两种情况 奇偶奇 偶奇奇 如果是第一种奇偶奇的情况 可以从个位开始分析 3种情况 之后十位 2种情况 最后百位 2种情况 共12种 如果是第二种情况偶奇奇 个位 3种情况 十位 2种情况 百位 不能是0 一种情况 共6种 因此总共有12 6 18 种 情况 故选b 答案 解析 例2高三年级的三个班到甲 乙 丙 丁四个工厂进行社会实践 其中工厂甲必须有班级去 每班去何工厂可自由选择 则不同的分配方案有a 16种b 18种c 37种d 48种 类型二选 抽 取与分配问题 答案 解析 解析方法一 直接法 以甲工厂分配班级情况进行分类 共分为三类 第一类 三个班级都去甲工厂 此时分配方案只有1种情况 第二类 有两个班级去甲工厂 剩下的班级去另外三个工厂 其分配方案共有3 3 9 种 第三类 有一个班级去甲工厂 另外两个班级去其他三个工厂 其分配方案共有3 3 3 27 种 综上所述 不同的分配方案有1 9 27 37 种 方法二 间接法 先计算3个班级自由选择去何工厂的总数 再扣除甲工厂无人去的情况 即4 4 4 3 3 3 37 种 方案 反思与感悟解决抽取 分配 问题的方法 1 当涉及对象数目不大时 一般选用列举法 树状图法 框图法或者图表法 2 当涉及对象数目很大时 一般有两种方法 直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理 一般地 若抽取是有顺序的就按分步进行 若是按对象特征抽取的 则按分类进行 间接法 去掉限制条件 计算所有的抽取方法数 然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 跟踪训练23个不同的小球放入5个不同的盒子 每个盒子至多放一个小球 共有多少种方法 解 以小球为研究对象 分三步来完成 第一步 放第一个小球有5种选择 第二步 放第二个小球有4种选择 第三步 放第三个小球有3种选择 由分步乘法计数原理得 总方法数n 5 4 3 60 解答 例3 1 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中 每块种植一种作物 且相邻的试验田不能种同一种作物 则不同的种植方法共有 种 类型三涂色与种植问题 42 答案 解析 解析分别用a b c代表3种作物 先安排第一块田 有3种方法 不妨设放入a 再安排第二块田 有两种方法b或c 不妨设放入b 第三块也有2种方法a或c 1 若第三块田放c 第四 五块田分别有2种方法 共有2 2 4 种 方法 2 若第三块田放a 第四块有b或c两种方法 若第四块放c 第五块有2种方法 若第四块放b 第五块只能种作物c 共1种方法 综上 共有3 2 2 2 2 1 42 种 方法 2 将红 黄 蓝 白 黑五种颜色涂在如图所示 田 字形的4个小方格内 每格涂一种颜色 相邻两格涂不同的颜色 如果颜色可以反复使用 共有多少种不同的涂色方法 解第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上 有5种不同的涂法 当第2个 第3个小方格涂不同颜色时 有4 3 12 种 不同的涂法 第4个小方格有3种不同的涂法 由分步乘法计数原理可知有5 12 3 180 种 不同的涂法 当第2个 第3个小方格涂相同颜色时 有4种涂法 由于相邻两格不同色 因此 第4个小方格也有4种不同的涂法 由分步乘法计数原理可知有5 4 4 80 种 不同的涂法 由分类加法计数原理可得共有180 80 260 种 不同的涂法 解答 引申探究本例 2 中的区域改为如图所示 其他条件均不变 则不同的涂法共有多少种 解答 解依题意 可分两类情况 不同色 同色 第一类 不同色 则 所涂的颜色各不相同 我们可将这件事情分成4步来完成 第一步涂 从5种颜色中任选一种 有5种涂法 第二步涂 从余下的4种颜色中任选一种 有4种涂法 第三步涂 与第四步涂 时 分别有3种涂法和2种涂法 于是由分步乘法计数原理得 不同的涂法为5 4 3 2 120 种 第二类 同色 则 不同色 我们可将涂色工作分成三步来完成 第一步涂 有5种涂法 第二步涂 有4种涂法 第三步涂 有3种涂法 于是由分步乘法计数原理得 不同的涂法有5 4 3 60 种 综上可知 所求的涂色方法共有120 60 180 种 反思与感悟解决涂色 种植 问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解 有几种常用方法 1 按区域的不同 以区域为主分步计数 用分步乘法计数原理分析 2 以颜色为主分类讨论 适用于 区域 点 线段 等问题 用分类加法计数原理分析 3 将空间问题平面化 转化为平面区域的涂色问题 种植问题按种植的顺序分步进行 用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类 用分类加法计数原理计数 跟踪训练3如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两个端点异色 如果只有5种颜色可供使用 则不同染色方法的总数为 答案 解析 420 解析按照s a b c d的顺序进行染色 按照a c是否同色分类 第一类 a c同色 则有5 4 3 1 3 180 种 不同的染色方法 第二类 a c不同色 则有5 4 3 2 2 240 种 不同的染色方法 根据分类加法计数原理 共有180 240 420 种 不同的染色方法 达标检测 1 有a b两种类型的车床各一台 现有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都会操作两种车床 丙只会操作a种车床 要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床 则不同的选派方法有a 6种b 5种c 4种d 3种 解析不同的选派情况可分为3类 若选甲 乙 有2种方法 若选甲 丙 有1种方法 若选乙 丙 有1种方法 根据分类加法计数原理知 不同的选派方法有2 1 1 4 种 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 2 用0 1 9这10个数字 可以组成有重复数字的三位数的个数为a 243b 252c 261d 648 解析0 1 2 9共能组成9 10 10 900 个 三位数 其中无重复数字的三位数有9 9 8 648 个 所以有重复数字的三位数有900 648 252 个 1 2 3 4 5 答案 解析 3 某班有3名学生准备参加校运会的100米 200米 跳高 跳远四项比赛 如果每班每项限报1人 则这3名学生的参赛的不同方法有a 24种b 48种c 64种d 81种 解析由于每班每项限报1人 故当前面的学生选了某项之后 后面的学生不能再报 由分步乘法计数原理 共有4 3 2 24 种 不同的参赛方法 1 2 3 4 5 答案 解析 4 火车上有10名乘客 沿途有5个车站 乘客下车的可能方式有a 510种b 105种c 50种d 500种 1 2 3 4 5 解析分10步 第1步 考虑第1名乘客下车的所有可能有5种 第2步 考虑第2名乘客下车的所有可能有5种 第10步 考虑第10名乘客下车的所有可能有5种 故共有乘客下车的可能方式 510 种 1 2 3 4 5 答案 解析 5 如图 用4种不同的颜色涂入图中的矩形a b c d中 要求相邻的矩形涂色不同 则不同的涂法有 种 解析a有4种涂法 b有3种涂法 c有3种涂法 d有3种涂法 共有4 3 3 3 108 种 涂法 1 2 3 4 5 108