勾股定理讲义.doc

中国领先的个性化教育品牌环球雅思学校学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：初二 课 时 数： 3 学员姓名：卞婉睿 辅导科目：数学 学科教师：曹秀敏 授课类型T 勾股定理T 勾股定理逆定理 T 勾股定理的的应用星 级教学目的1、熟练掌握勾股定理，能用勾股定理解题；2、熟练掌握勾股定理逆定理，要知道其与勾股定理的区别；3、在掌握勾股定理及其逆定理的基础上熟练勾股定理的应用。教学内容 1.什么叫勾股定理？它是如何证明的？ 2.勾股定理的逆定理是如何定义的，它与勾股定理有什么样的联系和区别？ 3.你能用所学过的勾股定理及其逆定理解决实际问题吗？你生活中会遇到相关的问题吗？ 知识梳理1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2c2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，则，）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2，则ABC为锐角三角形）。（定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常见方法如下：方法一：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。 ，化简可证 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为 所以 方法三：，化简得证4：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数） 题型一：直接考查勾股定理 在中，已知，求的长已知，求的长 分析：直接应用勾股定理 解： 1.在RtABC中，a=3，b=4，则c边长为_ 2.在ABC中，C=90， AB5，则+=_ 题型二：应用勾股定理建立方程 在中，于， 已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可 根据勾股定理列方程求解 解：， 设两直角边的长分别为， 设两直角边分别为，则，可得：1. 已知:如图13,ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高.BAC2. 如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理 如图有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了分析：根据题意建立数学模型，如图，过点作，垂足为，则，在中，由勾股定理得答案：1.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点AB之间的距离是（ ）A 13 B 9 C 18 D 102.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？_E_B_D_A_C_p3.有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，40 cm ，30 cm的木箱中，能放进去吗？ 题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 已知三角形的三边长为，判定是否为，解：，是直角三角形且，不是直角三角形三边长为，满足，的三角形是什么形状？ 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 已知中，边上的中线，求证： 证明：为中线， 在中， ， ，1如图，ABC中，B=90，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（ ）A1B3C4D52.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,则BD的长为（ ）A3B4 C5 D6 题型六：最短问题在本章中，求解长方体、圆柱体等例题图形表面上两点间最短距离问题，通常是将其表面展开为平面图形，然后根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理计算出结果CDGPFEAB 如图是一个边长6厘米的立方体ABCD-EFGH， 一只甲虫在棱EF上且距F点1厘米的P处. 它要爬到顶点D，需要爬行的最近距离是_厘米.H 有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对AA1BB1QP的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=4cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=3cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是 cm.（结果用带和根号的式子表示） 小结：1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解 师生总结： 这节课我学习了 我学会了 一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm（D）12 cm3. 已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） （A）25（B）14（C）7（D）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ） 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.7直角三角形边长为，斜边上高为，则下列各式总能成立的是（）A、BCD8. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形 （C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.9.ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知C=90，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮元计算，那么共需要资金（ ）.（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元10.如图，ABCD于B，ABD和BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为（ ）.（A）12 （B）7 （C）5 （D）13EABCD （第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要_米.12. 在直角三角形中，斜边=2，则=_.13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .14. 如图，在ABC中，C=90，BC=3，AC=4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是_. （第15题） （第16题） （第17题）15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.16. 如图，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D，若BC=8，AD=5，则AC等于_.17. 如图，四边形是正方形，垂直于，且=3，=4，阴影部分的面积是_.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.ABCD第18题图7cm19.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_.三、解答题（每小题8分，共40分）20.P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B顺时针旋转90到CBE的位置，若BP8.求：以PE为边长的正方形的面积.21.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在