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06 17 1 6矩阵乘积的行列式与矩阵的逆 矩阵乘积的行列式两个矩阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积矩阵的逆方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零 矩阵的逆的计算公式 伴随矩阵 行列式按一行 一列 展开公式的应用 06 17 2 矩阵乘积的行列式 逆 设A B为n阶矩阵 则它们的乘积AB还是一个n阶矩阵 proof proof 06 17 3 注记 定理6 2不但给出了方阵可逆的充分必要条件 同时还给出了一种求逆矩阵的方法 但是 用伴随矩阵求逆的计算量太大 不实用 我们将介绍一种通过矩阵的初等行变换求逆的实用方法 利用线性变换与矩阵的一一对应关系容易证明 线性变换可逆的充分必要条件是它的矩阵是可逆的 06 17 4 例题6 1 利用伴随矩阵计算以下矩阵的逆矩阵 可以求得 所以 06 17 5 例题 证明 因此A可逆 06 17 6 例题 解 注意到 这时有 06 17 7 定理6 1的证明 用两种方法计算D的行列式 1 直接利用拉普拉斯定理 06 17 8 定理6 1的证明 续 2 先利用第一类初等行变换把D的左上主子矩阵化为零 再利用拉普拉斯定理 06 17 9 定理6 1的证明 续 06 17 10 定理6 1的证明 续 AB的 i j 元 back 06 17 11 定理6 2的证明 只需证明充分性 由行列式按一行展开的公式知 定义A的伴随矩阵
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